Depois de estudar permutações (simples e com repetição), o próximo passo natural em Análise Combinatória é entender os arranjos simples. Eles aparecem sempre que fazemos uma seleção de alguns elementos de um conjunto, mas em que a ordem faz diferença.
Neste artigo você vai ver:
- o que são arranjos simples;
- a fórmula geral \(A(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!}\);
- como relacionar arranjos com permutações;
- exemplos resolvidos passo a passo;
- uma lista de exercícios com soluções em abre e fecha.
Conecte com o que você já estudou
Se você já dominou permutações simples e Permutações com Repetição , aprender arranjos será apenas um pequeno ajuste de raciocínio: agora nem sempre usamos todos os elementos do conjunto, mas a ordem continua sendo importante.
O que são arranjos simples?
Em termos intuitivos, um arranjo simples ocorre quando escolhemos k elementos distintos de um conjunto com n elementos distintos, sem repetição, e nos importamos com a ordem em que esses elementos aparecem.
Seja um conjunto com \(n\) elementos distintos. Chamamos de arranjo simples de \(n\) elementos tomados \(k\) a \(k\) qualquer ordenação de \(k\) desses elementos, sem repetição.
O número de arranjos simples de \(n\) elementos, tomados \(k\) a \(k\), é denotado por \(A(n,k)\) ou \(A_n^k\) e é dado por:
\[ A(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!} \]
com \(1 \leq k \leq n\).
Perceba que, se usarmos todos os elementos do conjunto (\(k = n\)), a fórmula de arranjos vira exatamente a fórmula de permutações simples:
\[ A(n,n) = \dfrac{n!}{(n-n)!} = \dfrac{n!}{0!} = n! \]
Ou seja, toda permutação é um arranjo em que usamos todos os elementos.
Exemplos resolvidos – Arranjos simples
Temos \(n = 4\) letras distintas (A, B, C, D), e queremos formar senhas de \(k = 3\) letras distintas, com ordem importante (ABC ≠ BAC).
Logo, o número de senhas é dado por:
\[ A(4,3) = \dfrac{4!}{(4-3)!} = \dfrac{4!}{1!} = 4! = 24 \]
Portanto, existem 24 senhas diferentes.
Temos \(n = 10\) candidatos distintos e vamos escolher \(k = 3\) para ocupar posições ordenadas (1º, 2º, 3º).
Como a ordem importa e não há repetição, temos um arranjo simples:
\[ A(10,3) = \dfrac{10!}{(10-3)!} = \dfrac{10!}{7!} \]
Podemos simplificar:
\[ \dfrac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \]
Portanto, os prêmios podem ser distribuídos de 720 maneiras diferentes.
Primeiro consideramos a parte numérica: precisamos de 2 algarismos distintos escolhidos entre 6 possíveis (0,1,2,3,4,5), e a ordem importa.
Número de formas de escolher os algarismos:
\[ A(6,2) = \dfrac{6!}{(6-2)!} = \dfrac{6!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30 \]
Para cada escolha de 2 algarismos, há 3 opções para a letra (A, B ou C).
Logo, pelo princípio fundamental da contagem:
\[ \text{Total de senhas} = 30 \cdot 3 = 90 \]
Portanto, existem 90 senhas diferentes.
Quando usar arranjos simples em vez de permutações?
Para identificar se um problema envolve arranjos simples, use a seguinte lista de verificação:
- Os elementos do conjunto são distintos?
- Você está escolhendo apenas parte dos elementos (k < n)?
- A ordem dos escolhidos importa para o problema?
Se a resposta for “sim” para esses três itens, a contagem é feita, em geral, por arranjos simples.
Se usar todos os elementos e a ordem importar, voltamos a permutações simples. Se existirem elementos repetidos, entramos em permutações com repetição . E, se a ordem não for relevante, o caminho será o estudo de combinações.
Lista de exercícios – Arranjos simples
Resolva os exercícios a seguir aplicando a fórmula dos arranjos simples e o raciocínio de contagem por etapas. Em seguida, confira as soluções no sistema de abre e fecha.
Usando as letras A, B, C, D e E, quantas palavras de 3 letras distintas podem ser formadas, considerando que a ordem das letras importa?
Temos \(n = 5\) letras distintas e queremos formar palavras de \(k = 3\) letras, sem repetição, com ordem importante.
Logo:
\[ A(5,3) = \dfrac{5!}{(5-3)!} = \dfrac{5!}{2!} = \dfrac{120}{2} = 60 \]
Portanto, podem ser formadas 60 palavras diferentes.
Uma escola vai escolher um presidente, um vice e um secretário dentre 8 alunos que se candidataram. De quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita?
Há 8 alunos e vamos escolher 3 cargos diferentes (presidente, vice, secretário), em que a ordem dos cargos importa.
Temos um arranjo simples de 8 elementos tomados 3 a 3:
\[ A(8,3) = \dfrac{8!}{(8-3)!} = \dfrac{8!}{5!} \]
\[ \dfrac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 \]
Logo, há 336 maneiras diferentes de distribuir os cargos.
Um código de acesso é formado por 3 algarismos distintos escolhidos entre os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Quantos códigos diferentes podem ser formados?
Existem \(n = 10\) algarismos possíveis (0 a 9) e queremos formar códigos de \(k = 3\) algarismos distintos, com ordem importante.
Então:
\[ A(10,3) = \dfrac{10!}{(10-3)!} = \dfrac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \]
Assim, há 720 códigos diferentes.
Uma loja dispõe de 7 modelos diferentes de camisetas. Um manequim será montado com 3 camisetas, vestidas em camadas (uma sobre a outra), todas diferentes. De quantas maneiras distintas o manequim pode ser montado?
As camisetas são todas diferentes e serão usadas 3 por vez, em ordem (camada de dentro, intermediária e externa).
Temos um arranjo simples de 7 elementos tomados 3 a 3:
\[ A(7,3) = \dfrac{7!}{(7-3)!} = \dfrac{7!}{4!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \]
Portanto, o manequim pode ser montado de 210 maneiras diferentes.
Uma corrida conta com 12 participantes. Serão premiados os 4 primeiros colocados, em ordem. Quantas classificações possíveis existem para os 4 primeiros lugares?
Temos 12 corredores e queremos ordenar apenas os 4 primeiros (1º, 2º, 3º e 4º), sem empates.
Assim:
\[ A(12,4) = \dfrac{12!}{(12-4)!} = \dfrac{12!}{8!} \]
\[ \dfrac{12!}{8!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880 \]
Logo, existem 11880 classificações possíveis para os 4 primeiros lugares.
Arranjos, permutações e o caminho para combinações
Com arranjos simples, você completa a tríade básica da contagem em que a ordem é importante: Introdução à Contagem (regra do produto), Permutações (quando usamos todos os elementos) e Arranjos (quando usamos apenas parte deles).
Em muitos problemas, será necessário decidir rapidamente se é caso de arranjo ou de permutação com ou sem repetição. Por isso, é útil revisar periodicamente:
- as permutações com repetição , para quando existem elementos iguais;
- as permutações simples, quando todos os elementos são distintos e usados;
- e, em seguida, avançar para combinações, quando a ordem deixa de importar.
Para consolidar o conteúdo, vale combinar estes artigos com listas de questões dos 10 eBooks de Matemática e com o Curso Matemática Básica , que organiza toda a parte de contagem, probabilidade e raciocínio lógico em uma trilha clara e progressiva.
