Área do Circulo

Área do Círculo — fórmulas, exemplos e exercícios

Área do Círculo

A área do círculo mede a “região pintada” do disco. A fórmula mais usada é \( \mathbf{A=\pi r^2} \), onde \(r\) é o raio. A seguir você vê variações úteis (em função do diâmetro e do comprimento da circunferência), além de exemplos práticos, setor circular e exercícios.

Círculo com raio r e a fórmula A = π r²
Disco de raio \(r\). A área é \(A=\pi r^2\).
Reforce a base em: Área do Triângulo (decomposição), Polígonos Regulares (aproximação do círculo por polígonos), Lei dos Senos e Lei dos Cossenos (geometria do setor).

Fórmulas da área (todas empilhadas)

\[ \textbf{1) Fórmula básica:}\quad \boxed{A=\pi r^2} \]
\[ \textbf{2) Em função do diâmetro}\ (d=2r):\quad \boxed{A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{\pi d^2}{4}} \]
\[ \textbf{3) Em função do comprimento da circunferência}\ (C=2\pi r):\quad \boxed{A=\frac{C^2}{4\pi}} \]
\[ \textbf{4) Setor circular de ângulo central }\theta:\quad \boxed{A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^\circ}\,\pi r^2} \quad \text{ou}\quad \boxed{A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{2}\,r^2\ \ (\theta\text{ em rad})} \]
\[ \textbf{5) Coroa circular (anel):}\quad \boxed{A=\pi\left(R^2-r^2\right)} \]

Exemplos resolvidos (situação-problema)

1

Raio conhecido

Uma tampa circular de pote tem raio \(r=7\,\text{cm}\).

Dados
\(r=7\,\text{cm}\).

Qual é a área da tampa?

Ver solução
\[ \begin{aligned} A&=\pi r^2\\ &=\pi\cdot 7^2\\ &=49\pi\\ &\approx \boxed{153{,}94\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]
2

Diâmetro informado

Um jardim circular tem diâmetro \(d=20\,\text{m}\).

Dados
\(d=20\,\text{m}\Rightarrow r=10\,\text{m}\).

Qual é a área do jardim?

Ver solução
\[ \begin{aligned} A&=\frac{\pi d^2}{4}\\ &=\frac{\pi\cdot 20^2}{4}\\ &=\frac{400\pi}{4}\\ &=100\pi\\ &\approx \boxed{314{,}16\ \text{m}^2} \end{aligned} \]
3

A partir do comprimento C

A borda de uma mesa circular tem comprimento \(C=31{,}4\,\text{cm}\).

Dados
\(C=31{,}4\,\text{cm}\).

Qual é a área do tampo?

Ver solução
\[ \begin{aligned} A&=\frac{C^2}{4\pi}\\ &=\frac{31{,}4^2}{4\pi}\\ &=\frac{985{,}96}{12{,}56637\ldots}\\ &\approx \boxed{78{,}5\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

Dica: esta é a mesma área de um disco com \(r\approx 5\,\text{cm}\) (pois \(C\approx 2\pi r\)).

4

Setor circular

Um identificador de pizza marca uma fatia como setor de raio \(r=12\,\text{cm}\) e ângulo central \(\theta=60^\circ\).

Dados
\(r=12\,\text{cm}\), \(\theta=60^\circ\).

Qual é a área dessa fatia?

Ver solução
\[ \begin{aligned} A_{\text{setor}}&=\frac{\theta}{360^\circ}\,\pi r^2\\ &=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 12^2\\ &=\frac{1}{6}\cdot \pi\cdot 144\\ &=24\pi\\ &\approx \boxed{75{,}40\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

Para mais prática com ângulos e triângulos, veja Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.

Erros comuns (e como evitar)

  • Confundir raio com diâmetro. Lembre: \(d=2r\). Se o enunciado der o diâmetro, use \(A=\dfrac{\pi d^2}{4}\).
  • Trocar \(\pi\) por um valor aproximado errado. Use \(\pi\approx 3{,}1416\) (ou deixe em termos de \(\pi\)).
  • Setor em radianos. Se \(\theta\) vier em rad, use \(A_{\text{setor}}=\dfrac{\theta}{2}r^2\). Em graus, \(A_{\text{setor}}=\dfrac{\theta}{360^\circ}\pi r^2\).

Para decompor regiões circulares em figuras simples, consulte também área do triângulo, área do trapézio e área do paralelogramo.

Exercícios propostos (múltipla escolha)

1

Raio simples

Uma moeda tem raio \(r=4\,\text{m}\) (modelo ampliado).

A área é:

  • A) \(12\pi\ \text{m}^2\)
  • B) \( \mathbf{16\pi\ \text{m}^2\ (\approx 50{,}27\ \text{m}^2)} \)
  • C) \(32\pi\ \text{m}^2\)
  • D) \(8\pi\ \text{m}^2\)
Gabarito
\[ A=\pi r^2=\pi\cdot 4^2=16\pi\approx \boxed{50{,}27\ \text{m}^2}\ (\text{B}) \]
2

Com diâmetro

Um relógio circular tem diâmetro \(d=14\,\text{cm}\).

A área do mostrador é:

  • A) \(36\pi\ \text{cm}^2\)
  • B) \(49\pi\ \text{cm}^2\)
  • C) \( \mathbf{153{,}94\ \text{cm}^2} \)
  • D) \(196\pi\ \text{cm}^2\)
Gabarito
\[ A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi\cdot 14^2}{4}=\frac{196\pi}{4}=49\pi\approx \boxed{153{,}94\ \text{cm}^2}\ (\text{C}) \]
3

A partir de C

Um canteiro circular possui comprimento de borda \(C=62{,}8\,\text{m}\).

A área do canteiro é:

  • A) \( \mathbf{313{,}9\ \text{m}^2} \)
  • B) \(628\ \text{m}^2\)
  • C) \(157{,}0\ \text{m}^2\)
  • D) \(100\pi\ \text{m}^2\)
Gabarito
\[ \begin{aligned} A&=\frac{C^2}{4\pi}=\frac{62{,}8^2}{4\pi}\\ &=\frac{3943{,}84}{12{,}56637\ldots}\\ &\approx \boxed{313{,}9\ \text{m}^2}\ (\text{A}) \end{aligned} \]
4

Coroa circular (anel)

Um anel metálico tem raio externo \(R=10\,\text{cm}\) e interno \(r=6\,\text{cm}\).

A área do anel é:

  • A) \(64\ \text{cm}^2\)
  • B) \( \mathbf{201{,}06\ \text{cm}^2} \)
  • C) \(64\pi\ \text{cm}^2\)
  • D) \( \mathbf{64\pi\ \text{cm}^2\ (\approx 201{,}06\ \text{cm}^2)} \)
Gabarito
\[ A=\pi(R^2-r^2)=\pi(100-36)=\pi\cdot 64=64\pi\approx \boxed{201{,}06\ \text{cm}^2}\ (\text{D}) \]

Quer mais prática? Veja o nosso banco de questões e os mapas mentais de geometria.

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.

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