Como calcular a área do triângulo usando coordenadas no plano?

Como calcular a área do triângulo pelas coordenadas do plano?

Calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas dos vértices é um truque elegante e poderoso da Geometria Analítica. A técnica usa um determinante simples (ou uma fórmula equivalente com módulo) e aparece direto em provas, ENEM e concursos. Neste guia rápido, você vai entender o método, ver exemplos resolvidos passo a passo e praticar com exercícios comentados.

Área do triângulo a partir de coordenadas

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Leituras complementares:

Fórmula da área usando determinante das coordenadas

Sejam os vértices $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ e $C(x_3,y_3)$. A área $S$ do triângulo é dada por:

$$ S=\frac{1}{2}\,\left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right| $$

A vantagem é que você só precisa substituir as coordenadas e calcular o determinante. O valor absoluto garante área positiva, independente da ordem dos pontos.

Forma equivalente: expressão expandida sem matriz

$$ S=\frac{1}{2}\,\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right| $$

É a mesma ideia, útil quando você quer evitar montar a matriz.

Exemplo resolvido com vértices dados no plano cartesiano

Enunciado. Calcule a área do triângulo com $A(4,1)$, $B(-2,3)$ e $C(0,-6)$.

Ver solução passo a passo

$$ D= \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1\\ -2 & 3 & 1\\ 0 & -6 & 1 \end{vmatrix} $$ $$ D=4\cdot(3\cdot1-1\cdot(-6)) -1\cdot(-2\cdot1-1\cdot0) +1\cdot(-2\cdot(-6)-3\cdot0) $$ $$ D=4\cdot(3+6)-1\cdot(-2)+1\cdot(12) $$ $$ D=4\cdot9+2+12=36+2+12=50 $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\,|D|=\tfrac{1}{2}\cdot50=25 $$

Resposta: $S=25$ unidades de área.

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Passo a passo para não errar no cálculo da área

Liste os três pontos na ordem $A$, $B$, $C$ (qualquer ordem funciona, mas mantenha-a).
Monte a matriz $3\times3$ com a última coluna de 1’s.
Calcule o determinante por Laplace ou regra de Sarrus (adaptada).
Tire o módulo do resultado e divida por $2$.

Quando usar a técnica das coordenadas dos vértices

Use quando você conhece apenas os pontos do triângulo ou quando os lados não são paralelos aos eixos. É comum em questões que misturam funções e geometria analítica.

Relação com bases e alturas no plano cartesiano

Se um lado for horizontal/vertical, você pode preferir base × altura ÷ 2. Mas a fórmula pelo determinante funciona sempre, sem precisar localizar a altura.

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Mais exemplos práticos de área por coordenadas

Triângulo com um vértice na origem

Enunciado. Encontre a área do triângulo com $A(0,0)$, $B(5,2)$, $C(3,-4)$.

Mostrar solução

$$ S=\tfrac{1}{2}\left| 0(2-(-4))+5((-4)-0)+3(0-2) \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\left| 0+5(-4)+3(-2) \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\left| -20-6 \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\cdot 26=13 $$

Resposta: $S=13$.

Triângulo “estreito” com y’s grandes em módulo

Enunciado. Calcule a área do triângulo com $A(-1,8)$, $B(2,-7)$, $C(4,5)$.

Mostrar solução

$$ S=\tfrac{1}{2}\left| -1(-7-5)+2(5-8)+4(8-(-7)) \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\left| -1(-12)+2(-3)+4(15) \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\left| 12-6+60 \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\cdot 66=33 $$

Resposta: $S=33$.

Lista de exercícios com solução no sistema abre e fecha

Exercício 1 — área com pontos inteiros

Enunciado. Determine a área do triângulo com $A(2,3)$, $B(-1,1)$ e $C(4,-2)$.

Ver solução

$$ S=\tfrac{1}{2}\left| 2(1-(-2))+(-1)((-2)-3)+4(3-1) \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\left| 2\cdot3+(-1)\cdot(-5)+4\cdot2 \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\left| 6+5+8 \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\cdot 19=\tfrac{19}{2} $$

Resposta: $S=\frac{19}{2}$.

Exercício 2 — ordem dos pontos trocada

Enunciado. Calcule a área de $A(1,4)$, $B(6,1)$, $C(-2,0)$.

Ver solução

$$ S=\tfrac{1}{2}\left| 1(1-0)+6(0-4)+(-2)(4-1) \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\left| 1+6(-4)+(-2)\cdot3 \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\left| 1-24-6 \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\cdot 29=\tfrac{29}{2} $$

Resposta: $S=\frac{29}{2}$.

Exercício 3 — ponto com coordenada zero

Enunciado. Encontre a área do triângulo $A(0,5)$, $B(3,0)$, $C(-2,-1)$.

Ver solução

$$ S=\tfrac{1}{2}\left| 0(0-(-1))+3((-1)-5)+(-2)(5-0) \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\left| 0+3(-6)+(-2)\cdot5 \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\left| -18-10 \right| $$ $$ S=\tfrac{1}{2}\cdot 28=14 $$

Resposta: $S=14$.

Conclusão: uma ferramenta certeira para provas e concursos

A área por coordenadas é uma técnica universal: vale para qualquer triângulo e evita procurar alturas. Memorize a fórmula, treine o cálculo do determinante e ganhe rapidez para acertar questões de geometria analítica, ENEM e concursos.

Autor: Adriano Rocha

FAQ — dúvidas rápidas

Qual é a fórmula da área do triângulo pelas coordenadas?

A área é $S=\tfrac{1}{2}\left| \begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}\right|$. Basta substituir os pontos dos vértices, calcular o determinante, tirar o módulo e dividir por dois. Serve para qualquer triângulo no plano.

A ordem dos pontos muda o resultado do determinante?

Muda apenas o sinal do determinante. Como usamos valor absoluto na fórmula da área, o resultado final permanece o mesmo. Por isso, qualquer ordem dos vértices funciona.

Posso usar base e altura em vez do determinante?

Sim. Se for fácil identificar um lado horizontal/vertical e a respectiva altura, a área é $S=\frac{b\cdot h}{2}$. O determinante é vantajoso quando as alturas não são imediatas.

Essa técnica cai no ENEM e em concursos militares?

Com frequência. Questões de geometria analítica costumam dar os vértices e pedir a área. Dominar a fórmula encurta o cálculo e evita erros com alturas e distâncias.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.