Concurso: MPE-RJ – Analista (2025) – Banca FGV
Área: Aritmética e Problemas
Enunciado:
Seja \( N = \frac{64}{3x + 1} \).
A soma dos valores inteiros de \(x\) para os quais o valor de \(N\) também é inteiro é:
- A) 18
- B) 15
- C) 12
- D) 10
- E) 9
Ver Solução
1. Análise da expressão:
Queremos que \( N = \frac{64}{3x + 1} \) seja inteiro.
Isso significa que o denominador \( 3x + 1 \) deve ser um divisor inteiro de 64.
2. Divisores inteiros de 64:
Divisores positivos: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
Divisores negativos: -1, -2, -4, -8, -16, -32, -64
Total: 14 divisores
3. Para cada divisor \(d\), resolvemos \(3x + 1 = d\):
\( x = \frac{d – 1}{3} \)
Listando os divisores \(d\) para os quais \( x = \frac{d – 1}{3} \) é inteiro:
- \( d = -64 \Rightarrow x = \frac{-65}{3} \) → não serve
- \( d = -32 \Rightarrow x = \frac{-33}{3} = -11 \)
- \( d = -16 \Rightarrow x = \frac{-17}{3} \) → não
- \( d = -8 \Rightarrow x = \frac{-9}{3} = -3 \)
- \( d = -4 \Rightarrow x = \frac{-5}{3} \) → não
- \( d = -2 \Rightarrow x = \frac{-3}{3} = -1 \)
- \( d = -1 \Rightarrow x = \frac{-2}{3} \) → não
- \( d = 1 \Rightarrow x = \frac{0}{3} = 0 \)
- \( d = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \) → não
- \( d = 4 \Rightarrow x = 1 \)
- \( d = 8 \Rightarrow x = \frac{7}{3} \) → não
- \( d = 16 \Rightarrow x = 5 \)
- \( d = 32 \Rightarrow x = \frac{31}{3} \) → não
- \( d = 64 \Rightarrow x = 21 \)
Valores inteiros válidos de \(x\):
\( x = -11, -3, -1, 0, 1, 5, 21 \)
4. Soma desses valores:
\( -11 – 3 – 1 + 0 + 1 + 5 + 21 = 12 \)
Resposta correta: Letra C
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