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Questão de Analise Combinatória – Permutação e Arranjo
De quantas maneiras um técnico de futebol pode formar um quadro de 11 jogadores, escolhidos entre 22, dos quais 3 são goleiros e só o goleiro tem posição fixa?
Ver Solução
1 – Análise Combinatória – Arranjo Simples
Neste caso, o técnico deve formar um time de 11 jogadores, considerando que:
- Apenas 1 goleiro pode ser escalado.
- A posição dos 10 jogadores de linha importa, pois cada posição é distinta (por exemplo, ser centroavante ou ponta-direita são configurações diferentes).
Assim, utilizamos o conceito de Arranjo Simples para os jogadores de linha, pois a ordem é relevante, e multiplicamos pelas possibilidades de escolha do goleiro.
A fórmula para o Arranjo Simples é:
onde:
- n é o número total de elementos,
- k é o número de elementos a serem escolhidos.
2 – Entendendo o Enunciado
O técnico deve escolher 1 goleiro entre os 3 disponíveis: C(3, 1) = 3
Após escolher o goleiro, os 10 jogadores de linha devem ser selecionados e organizados nas posições. Isso é feito com um Arranjo Simples de 10 jogadores entre os 19 disponíveis:
3 – Cálculo do Arranjo Simples
Expansão do cálculo do Arranjo:
A(19, 10) = 19×18×17×16×15×14×13×12×11×10
A(19, 10) = 335.221.286.400
Agora multiplicamos pelo número de goleiros:
Total de possibilidades = 3×A(19,10) = 3×335.221.286.400 = 1.005.663.859.200
4 – Resposta
O número total de maneiras distintas de formar o time, considerando goleiro e a sequência ordenada de 10 jogadores de linha, é 1.005.663.859.200.
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