Descrição: Questão da FGV, concurso MPE-RJ – Analista (2025), aborda Análise Combinatória com arranjos circulares e restrições entre posições.
Enunciado:
Em volta de uma mesa circular há 6 cadeiras iguais. Uma família composta por pai, mãe e dois filhos deve ocupar 4 dessas cadeiras.
O pai e a mãe não devem se sentar em cadeiras vizinhas e duas cadeiras devem permanecer vazias.
Duas disposições são consideradas diferentes se pelo menos dois membros estiverem em posições relativas diferentes.
Quantas maneiras diferentes existem de essa família se sentar?
- A) 18
- B) 24
- C) 32
- D) 36
- E) 72
Ver Solução
Passo 1 – Fixar a posição da mãe:
Como a mesa é circular, podemos fixar a posição da mãe em uma das 6 cadeiras, sem perda de generalidade.
Passo 2 – Escolher uma posição para o pai (não vizinha da mãe):
Das 5 cadeiras restantes, 2 são vizinhas da mãe e 3 não são vizinhas.
Logo, o pai pode se sentar em 3 lugares distintos.
Passo 3 – Escolher posições para os dois filhos:
Depois de fixar a mãe e o pai (em cadeiras não vizinhas), sobram 4 cadeiras.
Como pai e mãe já estão em 2 delas, restam 2 cadeiras livres para os filhos.
Os filhos são diferentes (por serem chamados de “primeiro” e “segundo” filho), então devemos contar as permutações:
→ 2 posições restantes × permutação entre os filhos = \( 2 \times 1 = 2 \)
Passo 4 – Total de maneiras:
• 3 posições possíveis para o pai
• Para cada uma, 2 posições para o primeiro filho
• E 1 posição para o segundo filho
Total =
3 × 2 × 1 = 6 configurações de cadeiras
Mas ainda precisamos considerar as ordens possíveis dos filhos entre essas cadeiras:
→ 2! = 2 arranjos
Portanto:
Total final = 3 (pai) × 4 (1º filho) × 3 (2º filho) = 36
Resposta correta: Letra D
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