Aumento e Desconto Percentual — Fórmulas, Exemplos, Casos Sucessivos e Exercícios Resolvidos

Aprenda como calcular aumentos e descontos percentuais, incluindo casos sucessivos e mistos, com as fórmulas FV = PV(1 + i) e FV = PV(1 − i). Veja aplicações reais, exemplos e exercícios passo a passo.

📘 O que é Aumento e Desconto Percentual?

O aumento percentual e o desconto percentual representam variações de preço, salário ou valor em função de uma taxa percentual. Quando há um aumento, o valor cresce proporcionalmente; quando há um desconto, o valor diminui proporcionalmente.

São conceitos essenciais para compreender porcentagem, juros simples e juros compostos.

🧮 Fórmulas de Aumento e Desconto Percentual

Aumento Percentual

FV = PV(1 + i)

FV → Valor Futuro (após aumento)
PV → Valor Presente
i → Taxa percentual (em forma decimal)

Desconto Percentual

FV = PV(1 − i)

FV → Valor Futuro (após desconto)
PV → Valor Presente
i → Taxa percentual (em forma decimal)

🔹 Interpretação das Fórmulas

As duas expressões indicam a multiplicação do valor inicial pelo fator percentual:

Para aumentar 10%, multiplicamos por (1 + 0,10) = 1,10;
Para reduzir 10%, multiplicamos por (1 − 0,10) = 0,90.

O número 1 representa o valor total (100%), e o termo ± i corresponde à variação percentual.

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📈 Exemplos de Aumento Percentual

Exemplo 1

Um produto custava R$ 500,00 e teve aumento de 20%. Qual é o novo preço?

FV = 500 × (1 + 0,20) = 500 × 1,20 = R$ 600,00

Exemplo 2

Um salário de R$ 2.000,00 foi reajustado em 8%. Qual será o novo salário?

FV = 2000 × (1 + 0,08) = 2000 × 1,08 = R$ 2.160,00

💰 Exemplos de Desconto Percentual

Exemplo 1

Um celular custa R$ 2.500,00 e está com 15% de desconto. Qual será o preço final?

FV = 2500 × (1 − 0,15) = 2500 × 0,85 = R$ 2.125,00

Exemplo 2

Uma calça custa R$ 180,00 e recebeu desconto de 12%. Qual o valor a pagar?

FV = 180 × (1 − 0,12) = 180 × 0,88 = R$ 158,40

📊 Aumento Sucessivo, Desconto Sucessivo e Desconto com Aumento

🔹 Aumento Sucessivo

Ocorre quando um valor sofre dois ou mais aumentos consecutivos. A fórmula geral é:

FV = PV × (1 + i₁) × (1 + i₂)

Exemplo: Um produto custa R$ 100,00. Primeiro sofre aumento de 10%, depois de 20%.

FV = 100 × (1 + 0,10) × (1 + 0,20) = 100 × 1,10 × 1,20 = R$ 132,00

A taxa total não é 30%, e sim 32%, pois o segundo aumento incide sobre o valor já reajustado.

🔸 Desconto Sucessivo

Quando há mais de um desconto aplicado em sequência. A fórmula é:

FV = PV × (1 − i₁) × (1 − i₂)

Exemplo: Um produto de R$ 200,00 tem desconto de 10% e, em seguida, outro de 5%.

FV = 200 × (1 − 0,10) × (1 − 0,05) = 200 × 0,9 × 0,95 = R$ 171,00

O desconto total não é 15%, mas 14,5%.

🟢 Desconto seguido de Aumento (ou vice-versa)

Quando um produto sofre um desconto e depois um aumento, o resultado final não é neutro. As operações percentuais não se cancelam, pois o segundo cálculo é feito sobre um novo valor.

Exemplo: Um produto custa R$ 100,00, tem 20% de desconto e depois aumento de 20%.

FV = 100 × (1 − 0,20) × (1 + 0,20) = 100 × 0,8 × 1,2 = R$ 96,00

Mesmo com aumentos e descontos de mesma taxa, o valor final é menor que o inicial, devido à base de cálculo diferente.

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