A fórmula do Binômio de Newton é uma das mais importantes na álgebra e aparece frequentemente em provas, concursos e vestibulares. Ela permite expandir expressões do tipo \((x + y)^n\) sem precisar multiplicar o binômio \(n\) vezes.
Neste artigo, você vai entender o significado de cada parte da fórmula, ver exemplos práticos e compreender como ela se conecta com o Triângulo de Pascal.
A fórmula do Binômio de Newton em somatório
A expansão de \((x + y)^n\) pode ser escrita de forma compacta usando a notação de somatório:
Essa fórmula é extremamente poderosa porque resume todos os termos da expansão em uma única linha. Cada termo do somatório corresponde a:
- um coeficiente binomial \(\binom{n}{p}\);
- a potência de \(x\): \(x^{n-p}\);
- a potência de \(y\): \(y^{p}\).
Para entender de onde vêm esses coeficientes, é essencial conhecer o Triângulo de Pascal , onde cada linha contém exatamente os valores \(\binom{n}{p}\).
Interpretação da fórmula
O índice \(p\) percorre todos os valores de \(0\) até \(n\). Para cada valor de \(p\), obtemos um termo diferente da expansão. A soma de todos esses termos é exatamente \((x + y)^n\).
O coeficiente binomial é calculado por:
Essa expressão vem da combinatória e indica quantas maneiras existem de escolher \(p\) elementos de um conjunto com \(n\) elementos. É exatamente esse raciocínio combinatório que gera a estrutura do Binômio de Newton.
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Exemplo prático
Exemplo: Expanda \((x + y)^4\) utilizando a fórmula em somatório.
Aplicando o somatório: \[ (x+y)^4 = \sum_{p=0}^{4} \binom{4}{p} x^{\,4-p} y^{\,p} \]
Calculando termo a termo:
\(\binom{4}{0}x^4 = x^4\)
\(\binom{4}{1}x^3y = 4x^3y\)
\(\binom{4}{2}x^2y^2 = 6x^2y^2\)
\(\binom{4}{3}xy^3 = 4xy^3\)
\(\binom{4}{4}y^4 = y^4\)
Resultado final:
Quando o problema pede um termo específico (por exemplo, “o 5º termo” ou “o termo com \(x^3y^2\)”), a melhor ferramenta é o Termo Geral do Binômio de Newton.
Por que a fórmula funciona?
A notação de somatório agrupa todos os termos que surgem ao multiplicarmos o binômio repetidamente. O coeficiente binomial indica quantas vezes cada combinação de potências aparece, e é por isso que o Triângulo de Pascal organiza exatamente os mesmos números.
Em resumo:
- A fórmula descreve toda a expansão de \((x + y)^n\);
- Os coeficientes vêm diretamente da combinatória;
- Os expoentes de \(x\) e \(y\) em cada termo somam sempre \(n\);
- A fórmula é compacta, elegante e extremamente útil em provas.
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O Binômio de Newton é uma ponte entre álgebra e combinatória. Dominar essa fórmula simplifica cálculos, amplia o raciocínio matemático e ajuda a resolver problemas clássicos de concursos e vestibulares.
Exercícios resolvidos sobre a Fórmula do Binômio de Newton
A seguir, alguns exercícios essenciais para fixar a aplicação da fórmula em somatório do Binômio de Newton. Tente resolver antes de abrir cada solução.
Exercício 1
Expanda completamente a expressão \((x + y)^5\) utilizando a fórmula em somatório.
Ver solução passo a passo
Usando a fórmula:
\[ (x+y)^5 = \sum_{p=0}^{5} \binom{5}{p}x^{5-p}y^{p} \]Calculando termo a termo:
\[ \binom{5}{0}x^5 = x^5 \]\[ \binom{5}{1}x^4y = 5x^4y \]\[ \binom{5}{2}x^3y^2 = 10x^3y^2 \]\[ \binom{5}{3}x^2y^3 = 10x^2y^3 \]\[ \binom{5}{4}xy^4 = 5xy^4 \]\[ \binom{5}{5}y^5 = y^5 \]Resposta final:
\[ (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5 \]Exercício 2
Use a fórmula em somatório para encontrar o coeficiente do termo \(x^3y^4\) na expansão de \((x + y)^7\).
Ver solução passo a passo
O termo geral da expansão é:
\[ \binom{7}{p} x^{7-p} y^{p} \]Queremos o termo com \(x^3 y^4\). Portanto:
\[ 7 – p = 3 \Rightarrow p = 4 \]Logo, o coeficiente é:
\[ \binom{7}{4} = 35 \]Resposta: O coeficiente é \(35\).
Exercício 3
Determine o termo independente de \(x\) (aquele que não possui \(x\) na expressão) na expansão de \((2x + \frac{1}{x})^8\).
Ver solução passo a passo
O termo geral é:
\[ T_{p+1} = \binom{8}{p} (2x)^{8-p} \left(\frac{1}{x}\right)^p \]A potência de \(x\) nesse termo é:
\[ x^{\,8-p} \cdot x^{-p} = x^{\,8 – 2p} \]Para ser independente de \(x\):
\[ 8 – 2p = 0 \Rightarrow p = 4 \]Substituindo:
\[ T_{5} = \binom{8}{4} (2x)^4 \left(\frac{1}{x}\right)^4 \]\[ (2x)^4 = 16x^4, \qquad \left(\frac{1}{x}\right)^4 = \frac{1}{x^4} \]Simplificando:
\[ 16x^4 \cdot \frac{1}{x^4} = 16 \]Logo:
\[ T_5 = \binom{8}{4} \cdot 16 = 70 \cdot 16 = 1120 \]Resposta: o termo independente vale 1120.
Exercício 4
Calcule o valor numérico da expressão \((3 + 2)^6\) usando a fórmula do Binômio de Newton (sem usar potência direta).
Ver solução passo a passo
Aplicando o binômio:
\[ (3+2)^6 = \sum_{p=0}^{6} \binom{6}{p} 3^{6-p} 2^{p} \]Mas observe que \(3+2 = 5\), então:
\((3+2)^6 = 5^6 = 15625
Essa verificação mostra como o binômio funciona mesmo quando não usamos a fórmula explicitamente.
Resposta: \(15625\)
Exercício 5
Determine o coeficiente do termo \(x^5\) na expansão de \((x + 2)^9\).
Ver solução passo a passo
O termo geral é:
\[ \binom{9}{p} x^{9-p} 2^{p} \]Queremos potência \(x^5\):
\[ 9 – p = 5 \Rightarrow p = 4 \]Coeficiente:
\[ \binom{9}{4} \cdot 2^4 = 126 \cdot 16 = 2016 \]Resposta: O coeficiente é 2016.
