O Logaritmo Definido como uma Integral
O logaritmo natural, denotado por \(\ln x\), é uma das funções mais importantes da matemática. Embora seja comumente apresentado como o inverso da função exponencial, existe uma forma alternativa e bastante elegante de defini-lo: como uma integral. Essa definição baseia-se na área sob a curva de uma função simples e conecta conceitos de cálculo com funções elementares.
1. Definição do Logaritmo pela Integral
Podemos definir o logaritmo natural de \(x > 0\) pela integral:
\[ \ln x = \int_1^x \frac{1}{t} \, dt \]Essa definição se apoia no cálculo da área sob a curva da função \(f(t) = \frac{1}{t}\), no intervalo de \(1\) até \(x\). Note que \(\ln 1 = 0\), pois a área de \(1\) até \(1\) é nula.
2. Por Que Esta Definição Funciona?
A função \(f(t) = \frac{1}{t}\) é contínua e positiva para \(t > 0\). A integral definida acima fornece uma função crescente que respeita propriedades fundamentais do logaritmo, como:
- \(\ln(xy) = \ln x + \ln y\)
- \(\ln \frac{x}{y} = \ln x – \ln y\)
- \(\ln x^r = r \ln x\), para \(r \in \mathbb{R}\).
Essas propriedades podem ser provadas usando regras de integração e o Teorema Fundamental do Cálculo.
3. Derivada do Logaritmo
Com essa definição, podemos determinar a derivada de \(\ln x\) diretamente:
\[ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{d}{dx} \int_1^x \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{x}. \]Essa relação reforça a ideia de que o logaritmo natural é uma função fundamental no estudo de crescimento e decaimento.
4. Exemplo Prático de Cálculo
Exemplo 1:
Calcule \(\ln 2\) usando a definição de integral.
Solução:
\[ \ln 2 = \int_1^2 \frac{1}{t} \, dt. \]Esse cálculo pode ser aproximado numericamente, resultando em \(\ln 2 \approx 0,6931\).
Exemplo 2:
Verifique a propriedade \(\ln(4) = 2 \ln 2\).
Solução:
\[ \ln 4 = \int_1^4 \frac{1}{t} \, dt = \int_1^2 \frac{1}{t} \, dt + \int_2^4 \frac{1}{t} \, dt. \]Usando a substituição \(t = 2u\), mostramos que \(\int_2^4 \frac{1}{t} \, dt = \int_1^2 \frac{1}{u} \, du = \ln 2.\) Logo, \(\ln 4 = \ln 2 + \ln 2 = 2 \ln 2.\)
5. Relação com a Função Exponencial
A partir desta definição, podemos construir a função exponencial \(e^x\) como a função inversa de \(\ln x\). O número \(e\) é definido como o único valor de \(x\) tal que \(\ln e = 1\), isto é:
\[ \int_1^e \frac{1}{t} \, dt = 1. \]Isso estabelece uma conexão profunda entre logaritmos, exponenciais e cálculo integral.
6. Conclusão
Definir o logaritmo como uma integral não só oferece uma visão geométrica (área sob uma curva), como também revela sua relação íntima com a função \(1/x\) e com o número \(e\). Essa abordagem é particularmente útil em cursos de cálculo, onde os conceitos de área, crescimento e derivadas se encontram em um único ponto: o logaritmo natural.
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