Na matemática, a área do triângulo determinado pelos pontos A(x_a, y_a)A , B(x_b, y_b) e C(x_c, y_c) pode ser calculada usando a fórmula da área em geometria analítica:

Expansão do determinante:

Aqui, cada elemento da matriz corresponde às coordenadas dos pontos A, B, e C, com uma coluna adicional de 1s para ajustar a matriz a uma forma que permita o cálculo do determinante. O valor absoluto é utilizado para garantir que a área seja positiva, independentemente da ordem dos pontos.

Exemplo 1: Considere os pontos A(1, 2), B(4, 6), e C(6, 3). Vamos calcular a área do triângulo formado por esses pontos.

Primeiro, montamos a matriz com as coordenadas dos pontos:

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Simplificando:

Agora, calculamos a área usando o valor absoluto e multiplicando por 1/2​:

Conclusão:

A área do triângulo formado pelos pontos A(1, 2), B(4, 6), e C(6, 3) é 8.5 unidades quadradas.

Exemplo 2: Considere os pontos A(1, 2), B(4, 5), e C(7,8). Queremos calcular a área do triângulo formado por esses pontos.

Primeiro, montamos a matriz com as coordenadas dos pontos:

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Simplificando:

Como o determinante é zero, isso indica que os pontos A, B, e C são colineares, ou seja, não formam um triângulo (eles estão em uma linha reta). Para o triângulo existir e ter uma área positiva, os pontos precisam ser não colineares.

Conclusão:

Neste exemplo, a área é zero, confirmando que os pontos A(1, 2), B(4, 5), e C(7, 8) são colineares e, portanto, não formam um triângulo. Para um exemplo que forma um triângulo, precisaríamos de três pontos não colineares.