Regras de Derivação e a Prova da Regra do Produto

Na última aula, começamos a estudar as regras de derivação. Até agora, revisamos as regras básicas para funções elementares: derivada de uma constante, derivada da função identidade, multiplicação por uma constante e a regra da soma. Essas regras são a base para construir derivadas de funções mais complexas.

Resumo das Regras Iniciais

• Derivada de uma função constante: Se \( f(x) = c \), então \( f'(x) = 0 \).
• Função identidade: Se \( f(x) = x \), então \( f'(x) = 1 \).
• Multiplicação por constante: \((k \cdot f(x))’ = k \cdot f'(x) \).
• Regra da soma: \((f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x) \).

Essas regras permitem derivar muitas funções, mas, ao lidar com o produto de funções, surge a necessidade da regra do produto, também chamada de regra de Leibniz.

Histórico da Regra do Produto

A história do cálculo remonta a Isaac Newton e Gottfried Leibniz, considerados seus fundadores. Enquanto Newton focava na descrição de movimentos e problemas físicos, como a dinâmica planetária, Leibniz trouxe a notação elegante que usamos até hoje, como \(\frac{dy}{dx}\).

Leibniz foi quem demonstrou que a derivada de um produto de funções não se reduz ao “produto das derivadas”, mas sim a uma soma que considera a variação de cada fator individualmente:

Continuidade e Diferenciabilidade

Antes de provar a regra do produto, é importante entender a relação entre continuidade e diferenciabilidade:

Teorema: Se uma função \(f\) é diferenciável em \(x_0\), então ela é contínua em \(x_0\).

A recíproca não é verdadeira. Um exemplo clássico é a função \(f(x) = |x|\), que é contínua em todo \(\mathbb{R}\), mas não é diferenciável em \(x=0\) por apresentar um “bico” no gráfico.

Prova Resumida do Teorema

Sabemos que:

Multiplicando e dividindo por \((x – x_0)\), obtemos:

Quando \(x \to x_0\), o segundo fator tende a \(f'(x_0)\) (um número finito), e o primeiro tende a zero, implicando que \(f(x) \to f(x_0)\), provando assim a continuidade.

Prova da Regra do Produto

Sejam \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\), com \(f\) e \(g\) diferenciáveis em \(x_0\). Pela definição de derivada:

Somamos e subtraímos \(f(x_0)g(x)\) no numerador:

Dividindo por \((x – x_0)\) e aplicando limites, temos:

Exemplo Prático

Se \(f(x) = x^2\) e \(g(x) = \sin x\), então:

Exercícios Propostos

1. Calcule a derivada de \(h(x) = (x^3 + 2)(x^2 – 5).\)
2. Mostre que \(h(x) = e^x \cdot \ln x\) tem derivada \(h'(x) = e^x \ln x + \frac{e^x}{x}.\)
3. Verifique a continuidade e diferenciabilidade de \(f(x) = |x| \cdot x\) em \(x = 0\).

Com essas regras, temos uma base sólida para derivar funções compostas e produtos sem recorrer à definição de limite em cada cálculo.

Estudo da Derivada: Continuidade e Funções Definidas por Partes

Antes de começarmos a trabalhar com as regras de derivação, é importante consolidar o entendimento sobre a existência da derivada em pontos específicos de uma função. Um dos exemplos clássicos é quando temos uma função definida por partes, ou quando ocorre uma mudança brusca no comportamento da função.

Exemplo: Função Definida em Duas Partes

Vamos considerar a função \( f(x) \) definida da seguinte forma:

\( f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \ge 0 \\ 1 – 2x, & x < 0 \end{cases} \)

O objetivo é verificar se \( f(x) \) é diferenciável em \( x = 0 \). Para isso, analisamos os limites laterais da derivada:

\( f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \)

Calculando os limites laterais:

• Lado direito: Para \( x > 0 \), \( f(x) = x + 1 \). Temos:
  \( \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(x+1) – 1}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = 1. \)
• Lado esquerdo: Para \( x < 0 \), \( f(x) = 1 - 2x \). Assim:
  \( \lim_{x \to 0^{-}} \frac{(1-2x) – 1}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-2x}{x} = -2. \)

Como os limites laterais são diferentes (\(1 \neq -2\)), a derivada não existe em \( x = 0 \). Portanto, \( f \) é contínua em \( x = 0 \), mas não é diferenciável neste ponto.

Função Derivada

Para os demais pontos, temos:

\( f'(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -2, & x < 0 \end{cases} \)

Primeira Regra de Derivação

A primeira regra estudada é a multiplicação de uma função por uma constante:

Se \( g(x) = c \cdot f(x) \), então \( g'(x) = c \cdot f'(x) \).

Exemplo

Se \( f(x) = x \), então \( g(x) = 3x \). Logo, \( g'(x) = 3 \cdot 1 = 3 \).

Regras de Soma e Produto

Para duas funções \( f(x) \) e \( g(x) \):

• Soma: \( (f + g)’ = f’ + g’ \).
• Produto: \( (fg)’ = f’g + fg’ \).

Exemplo com Produto

Se \( f(x) = x \) e \( g(x) = x^2 \), então:

\( (x \cdot x^2)’ = (x)’ \cdot x^2 + x \cdot (x^2)’ = 1 \cdot x^2 + x \cdot 2x = 3x^2. \)

Fórmula Geral da Potência

Para qualquer \( n \in \mathbb{N} \), vale:

\( \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}. \)

Essa fórmula pode ser provada por indução ou diretamente usando as regras de produto.

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