Casos de Semelhança de Triângulos: AA, LLL e LAL

A semelhança de triângulos é um dos tópicos mais importantes da geometria, com aplicações em problemas de proporção, semelhança de figuras e até no Teorema de Tales. Vamos estudar os três casos: AA (Ângulo-Ângulo), LLL (Lado-Lado-Lado) e LAL (Lado-Ângulo-Lado).

1º Caso: AA (Ângulo, Ângulo)

Dois triângulos são semelhantes quando possuem dois ângulos iguais. Isso garante que o terceiro ângulo também seja igual.

Se \( \hat{A} = \hat{A’} \) e \( \hat{B} = \hat{B’} \), então \( \triangle ABC \sim \triangle A’B’C’ \).

Exemplo resolvido

Se em um triângulo temos ângulos de 40° e 60°, e em outro triângulo temos ângulos de 40° e 60°, então os triângulos são semelhantes pelo caso AA.

2º Caso: LLL (Lado, Lado, Lado)

Dois triângulos são semelhantes quando os três lados correspondentes estão em proporção.

Se \( \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} \), então \( \triangle ABC \sim \triangle A’B’C’ \).

Exemplo resolvido

Se um triângulo tem lados 3, 4 e 5 cm, e outro tem lados 6, 8 e 10 cm, então eles são semelhantes pelo caso LLL com razão 1/2.

3º Caso: LAL (Lado, Ângulo, Lado)

Dois triângulos são semelhantes quando dois lados estão em proporção e o ângulo compreendido entre eles é congruente.

Se \( \frac{c}{c’} = \frac{a}{a’} \) e \( \hat{B} = \hat{B’} \), então \( \triangle ABC \sim \triangle A’B’C’ \).

Exemplo resolvido

Se em dois triângulos temos lados de 5 cm e 7 cm proporcionais a 10 cm e 14 cm, e o ângulo entre eles é 60°, então os triângulos são semelhantes pelo caso LAL.