Conjuntos Numéricos: \( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R} \)
Um mapa direto para revisão: o que cada conjunto representa, como identificar e exemplos típicos de prova.
1) A ideia central
Em Matemática, conjunto numérico é uma forma de organizar números por características.
As inclusões clássicas são:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
\[ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} \quad \text{e} \quad \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \varnothing \]
Como pensar rápido em prova
- Inteiro? Não tem parte decimal.
- Racional? Pode ser escrito como \( \frac{a}{b} \), com \( a,b \in \mathbb{Z} \) e \( b \neq 0 \).
- Irracional? Decimal infinito não periódico.
- Real? Tudo que está na reta numérica.
2) Notação
- \( \mathbb{N} \) – Naturais
- \( \mathbb{Z} \) – Inteiros
- \( \mathbb{Q} \) – Racionais
- \( \mathbb{I} \) – Irracionais
- \( \mathbb{R} \) – Reais
Observação: alguns autores incluem o 0 em \( \mathbb{N} \).
3) Naturais \( \mathbb{N} \)
Usados para contar: \( 0,1,2,3,\dots \)
4) Inteiros \( \mathbb{Z} \)
Incluem negativos, zero e positivos:
\( \dots,-2,-1,0,1,2,\dots \)
5) Racionais \( \mathbb{Q} \)
Podem ser escritos como fração.
Exemplos: \( \frac{1}{2}, -3, 0,25, 0,\overline{3} \)
6) Irracionais \( \mathbb{I} \)
Não podem ser escritos como fração.
Exemplos: \( \sqrt{2}, \pi, e \)
7) Reais \( \mathbb{R} \)
Reúnem racionais e irracionais.
8) Exercícios rápidos
Classifique \( -5 \)
\(-5 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Classifique \( 0,125 \)
Decimal finito → racional → \( \in \mathbb{Q} \)
Classifique \( \sqrt{16} \)
\(\sqrt{16}=4 \in \mathbb{N}\)
Exercícios — Conjuntos Numéricos
Marque a alternativa correta. Em seguida, abra a solução para conferir o raciocínio.
1) O número \( -12 \) pertence a qual conjunto mais específico?
- A) \( \mathbb{N} \)
- B) \( \mathbb{Z} \)
- C) \( \mathbb{I} \)
- D) \( \mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z} \)
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Resposta: B)
\(-12\) é inteiro, portanto \(-12 \in \mathbb{Z}\).
2) Qual dos números abaixo é irracional?
- A) \( 0,2 \)
- B) \( \sqrt{49} \)
- C) \( \sqrt{2} \)
- D) \( -\frac{7}{3} \)
Ver solução
Resposta: C)
\(\sqrt{2}\) não é raiz exata, logo é irracional.
3) O decimal \( 0,\overline{36} \) pertence a:
- A) \( \mathbb{I} \)
- B) \( \mathbb{Q} \)
- C) \( \mathbb{Z} \)
- D) \( \mathbb{N} \)
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Resposta: B)
Decimal periódico é racional. Logo \(0,\overline{36}\in\mathbb{Q}\).
4) Qual opção representa um número que está em \( \mathbb{Q} \) mas não está em \( \mathbb{Z} \)?
- A) \( -5 \)
- B) \( 0 \)
- C) \( \frac{7}{2} \)
- D) \( 9 \)
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Resposta: C)
\(\frac{7}{2}=3,5\) é racional, mas não é inteiro.
5) Qual afirmação é verdadeira?
- A) \( \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}\neq\varnothing \)
- B) \( \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \)
- C) \( \mathbb{I}\subset\mathbb{Q} \)
- D) Todo número real é inteiro
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Resposta: B)
As inclusões corretas são \( \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \).
6) O número \( \sqrt{81} – \sqrt{9} \) pertence a qual conjunto mais específico?
- A) \( \mathbb{N} \)
- B) \( \mathbb{I} \)
- C) \( \mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z} \)
- D) \( \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \)
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Resposta: A)
\(\sqrt{81}=9\) e \(\sqrt{9}=3\). Então \(9-3=6\in\mathbb{N}\).
7) Qual dos números abaixo é real e irracional?
- A) \( -\frac{11}{4} \)
- B) \( 2,75 \)
- C) \( \pi \)
- D) \( -8 \)
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Resposta: C)
\(\pi\) é irracional e pertence aos reais.
8) Se \(x = 0,070707\ldots\), então \(x\) pertence a:
- A) \( \mathbb{I} \)
- B) \( \mathbb{Q} \)
- C) \( \mathbb{Z} \)
- D) \( \mathbb{N} \)
Ver solução
Resposta: B)
Decimal periódico é racional.
9) Qual opção está corretamente classificada?
- A) \( \sqrt{5}\in\mathbb{Q} \)
- B) \( -3\in\mathbb{N} \)
- C) \( 0,5\in\mathbb{Q} \)
- D) \( 0,\overline{2}\in\mathbb{I} \)
Ver solução
Resposta: C)
\(0,5=\frac{1}{2}\) é racional.
10) Qual conjunto contém simultaneamente \( -2 \), \( 0,3 \) e \( \sqrt{2} \)?
- A) \( \mathbb{Z} \)
- B) \( \mathbb{Q} \)
- C) \( \mathbb{I} \)
- D) \( \mathbb{R} \)
Ver solução
Resposta: D)
O único conjunto que contém todos é \( \mathbb{R} \).
