Cubo (Geometria): definições, fórmulas e exercícios
Guia completo de cubo (geometria) na geometria espacial: o que é cubo (geometria), fórmulas do cubo (área total e lateral, volume, diagonal), planificação do cubo, elementos (faces, arestas, vértices) e exercícios de cubo com gabarito.
1) O que é cubo (geometria)?
Definição curta: cubo é um hexaedro regular — poliedro convexo com 6 faces quadradas, 12 arestas congruentes e 8 vértices. Todos os ângulos diedros e planos são retos, e todas as arestas medem o mesmo lado \(a\).
- Faces: 6 (todas quadradas)
- Arestas: 12
- Vértices: 8
- Nome alternativo: cubo = hexaedro regular
1) O que é cubo (Geometria Espacial)?
Definição curta: cubo é um hexaedro regular — poliedro convexo com 6 faces quadradas, 12 arestas congruentes e 8 vértices. Todos os ângulos diedros e planos são retos, e todas as arestas medem o mesmo lado \(a\).
- Faces: 6 (todas quadradas)
- Arestas: 12
- Vértices: 8
- Nome alternativo: cubo = hexaedro regular
2) Fórmulas do cubo (resumo rápido)
Área total do cubo
\(A_{\text{total}}=6a^2\)
Soma das áreas das 6 faces quadradas.
Área lateral do cubo
\(A_{\text{lateral}}=4a^2\)
Quatro faces que “envolvem” o sólido (sem as tampas superior e inferior).
Volume do cubo
\(V=a^3\)
Cresce com o lado ao cubo: dobrar \(a\) multiplica o volume por 8.
Diagonal do cubo
\(d_{\text{cubo}}=a\sqrt{3}\)
Relacionada ao teorema de Pitágoras em 3D (diagonal do paralelepípedo). Diagonal da face: \(d_{\text{face}}=a\sqrt{2}\).
Planificação do cubo
Existem 11 planificações distintas (redes) que formam um cubo ao serem dobradas. Todas têm 6 quadrados congruentes.
3) Por que as fórmulas funcionam?
- Área total: cada face tem \(a^2\) → \(6a^2\).
- Área lateral: 4 faces \(\Rightarrow 4a^2\).
- Volume: bloco \(a\times a\times a\) \(\Rightarrow a^3\).
- Diagonal do cubo: em uma face, \(a\sqrt{2}\); depois com a altura \(a\): \(d=\sqrt{(a\sqrt2)^2+a^2}=a\sqrt{3}\).
4) Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — área total e lateral
Enunciado. Um cubo tem aresta \(a=5\ \text{cm}\). Calcule \(A_{\text{total}}\) e \(A_{\text{lateral}}\).
Ver solução
\(A_{\text{lateral}}=4a^2=4\cdot25=100\ \text{cm}^2\).
Exemplo 2 — volume
Enunciado. Um cubo tem aresta \(a=2{,}4\ \text{m}\). Calcule o volume.
Ver solução
Exemplo 3 — diagonal do cubo
Enunciado. Determine a diagonal de um cubo com aresta \(a=9\ \text{cm}\).
Ver solução
Exemplo 4 — “problema de cubo (área e volume)”
Enunciado. Uma caixa cúbica será pintada por fora (todas as faces) e preenchida com areia. Se \(a=0{,}8\ \text{m}\), qual a área a pintar e o volume interno?
Ver solução
Volume: \(a^3=0{,}8^3=0{,}512\ \text{m}^3\).
5) Tabela-resumo: fórmulas do cubo
| Grandeza | Fórmula | Observação |
|---|---|---|
| Área total do cubo | \(6a^2\) | 6 faces iguais |
| Área lateral do cubo | \(4a^2\) | sem topo e base |
| Volume do cubo | \(a^3\) | aresta ao cubo |
| Diagonal do cubo | \(a\sqrt{3}\) | Pitágoras em 3D |
| Diagonal da face | \(a\sqrt{2}\) | Pitágoras no quadrado |
6) Planificação do cubo
Planificação do cubo é o arranjo plano das 6 faces quadradas que, ao dobrar, formam o sólido. Existem 11 planificações não congruentes.
7) Cubo = hexaedro regular
Na família dos sólidos de Platão, o cubo é o hexaedro regular: faces congruentes e regulares (quadrados), mesmo número de faces em cada vértice e alta simetria.
8) Exercícios de cubo
- Área do cubo. Para \(a=7\ \text{cm}\), calcule \(A_{\text{total}}\) e \(A_{\text{lateral}}\).
- Volume do cubo. Uma caixa cúbica tem \(a=32\ \text{cm}\). Qual o volume em \(\text{cm}^3\) e em \(\text{L}\)?
- Diagonal do cubo. Encontre \(d\) para \(a=11\ \text{cm}\). Dê valor exato e aproximado.
- Problema aplicado (pintura). Um tanque cúbico com \(a=1{,}2\ \text{m}\) será pintado por fora (R\$ 18,00/m²). Qual o custo?
- Problema de cubo (área e volume). Um cubo de gelo com \(a=5\ \text{cm}\) derrete e vira água. Quantos mililitros de água são obtidos?
Ver gabarito comentado
- \(A_{\text{total}}=6\cdot49=294\ \text{cm}^2\);\ \(A_{\text{lateral}}=4\cdot49=196\ \text{cm}^2\).
- \(V=32^3=32768\ \text{cm}^3=32{,}768\ \text{L}\) (pois \(1000\ \text{cm}^3=1\ \text{L}\)).
- \(d=11\sqrt{3}\ \text{cm}\approx 19{,}05\ \text{cm}\).
- \(A_{\text{total}}=6\cdot1{,}44=8{,}64\ \text{m}^2\Rightarrow\) custo \(=8{,}64\times18=\text{R\$ 155{,}52}\).
- \(V=5^3=125\ \text{cm}^3=125\ \text{mL}\).
9) Questões sobre cubo com gabarito (múltipla escolha)
Questão 1 — diagonal
Um cubo tem aresta \(a=6\ \text{cm}\). A diagonal do cubo é:
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Gabarito: B. \(d=a\sqrt{3}=6\sqrt{3}\).
Questão 2 — área total
Para um cubo de aresta \(a\), a área total é:
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Gabarito: D. São 6 faces: \(6a^2\).
Questão 3 — volume
O volume de um cubo de aresta \(a\) é:
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Gabarito: B. \(V=a^3\).
10) Perguntas frequentes — cubo (geometria)
| O que é cubo na geometria espacial? | Poliedro com 6 faces quadradas congruentes, 12 arestas e 8 vértices — também chamado de hexaedro regular. |
|---|---|
| Quais são as fórmulas do cubo? | Área total \(6a^2\); área lateral \(4a^2\); volume \(a^3\); diagonal do cubo \(a\sqrt{3}\); diagonal da face \(a\sqrt{2}\). |
| Qual a diferença entre área total e área lateral do cubo? | Área total inclui as 6 faces; área lateral considera apenas as 4 faces “da volta” (sem topo e base). |
| Quantas planificações do cubo existem? | Existem 11 redes (planificações) não congruentes formadas por 6 quadrados. |
