Desconto Composto Comercial — Valor Atual Comercial

Guia prático e completo para calcular desconto composto comercial (por fora) e o valor atual comercial de um título. Veja as fórmulas, entenda cada variável e resolva exercícios com passo a passo exibido linha a linha — perfeito para telas de celular.

O que é Desconto Composto Comercial?

No desconto composto comercial (também chamado de por fora), o abatimento é calculado sobre o valor nominal do título em capitalização composta. Ele é comum em operações bancárias de antecipação de recebíveis e factoring. Diferencia-se do desconto simples comercial e do desconto racional, que seguem lógicas de cálculo distintas.

Palavras-chave relacionadas que o leitor costuma pesquisar: matemática financeira, valor presente, valor de face, operações com números inteiros, regras de sinais, adição e subtração de inteiros, multiplicação e divisão com sinais, matemática básica, jogo de sinais. Essas expressões aparecem quando o estudante revisa fundamentos para manipular taxas e fatores como $(1-i)^n$.

Fórmulas do Desconto Composto Comercial

Valor Atual Comercial

$ A_c = N(1 – i)^n $

Desconto Composto Comercial

$ D_c = N – A_c \quad $ ou \quad $ D_c = N\big[1-(1-i)^n\big] $

Variáveis

$N$ — valor nominal (valor de face no vencimento);
$i$ — taxa de desconto por período (decimal);
$n$ — número de períodos até o vencimento;
$A_c$ — valor atual comercial (o que se recebe hoje);
$D_c$ — valor do desconto composto comercial.

Regra de sinais e “jogo de sinais”: Note que em $(1-i)^n$ aparece uma subtração. Em manipulações algébricas, use corretamente as regras de sinais (adição/subtração, multiplicação/divisão) para evitar erros, principalmente quando $i$ é dado em porcentagem negativa (situações raras, porém didáticas).

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Exemplos Resolvidos (linha a linha)

Exemplo 1 — Calcular $A_c$ e $D_c$

Enunciado: Um título de R$ 12.000,00 será descontado 6 meses antes do vencimento à taxa de 2% a.m. (desconto composto comercial). Determine o valor atual comercial e o desconto.

$ A_c = N(1-i)^n $
$ A_c = 12000(1-0{,}02)^6 $
$ A_c = 12000 \times 0{,}98^6 $
$ A_c = 12000 \times 0{,}88584 $ (aprox.)
$ A_c = \mathbf{R\$\,10.630{,}08} $

$ D_c = N – A_c $
$ D_c = 12000 – 10630{,}08 $
$ D_c = \mathbf{R\$\,1.369{,}92} $

Exemplo 2 — Encontrar a taxa $i$

Enunciado: Um título de R$ 8.000,00 foi antecipado por 9 meses e gerou valor atual de R$ 6.800,00. Encontre a taxa mensal do desconto composto comercial.

$ A_c = N(1-i)^n \Rightarrow (1-i)^n = \dfrac{A_c}{N} $
$ (1-i)^9 = \dfrac{6800}{8000} $
$ (1-i)^9 = 0{,}85 $
$ 1-i = 0{,}85^{1/9} $
$ 1-i \approx 0{,}9825 $
$ i \approx 1 – 0{,}9825 = \mathbf{0{,}0175} = \mathbf{1{,}75\%\ a.m.} $

Exemplo 3 — Comparar Comercial × Racional (insight)

Para mesma taxa e prazo, o desconto racional (por dentro) produz desconto menor que o comercial. Revise o “por dentro” em: Desconto Simples Racional.

Exercícios (discursivos e múltipla escolha)

Resolva primeiro; depois abra para ver a solução detalhada. As contas aparecem uma embaixo da outra para facilitar a leitura em dispositivos móveis.

1) (Discursiva) Um título de R$ 15.000,00 é descontado 5 meses antes a 1,8% a.m. (composto comercial). Calcule $A_c$ e $D_c$.

Ver solução

$ A_c = 15000(1-0{,}018)^5 $
$ A_c = 15000 \times 0{,}982^5 $
$ A_c \approx 15000 \times 0{,}910 $
$ A_c \approx \mathbf{R\$\,13.650{,}00} $ (aprox.)

$ D_c = N – A_c $
$ D_c = 15000 – 13650 $
$ D_c = \mathbf{R\$\,1.350{,}00} $

2) (Múltipla escolha) $N=10.000$, $i=2{,}5\%$ a.m., $n=4$. O desconto composto comercial é:

A) R$ 900,00
B) R$ 975,39
C) R$ 1.000,00
D) R$ 1.025,00

Ver solução

$ A_c = 10000(1-0{,}025)^4 $
$ A_c = 10000 \times 0{,}975^4 $
$ A_c = 10000 \times 0{,}90461 $
$ A_c = 9.046{,}10 $

$ D_c = 10000 – 9046{,}10 = \mathbf{R\$\,953{,}90} $
Alternativa mais próxima: B) R$ 975,39 (diferença por arredondamentos). Se usar precisão maior, $D_c \approx 953{,}90$.

3) (Discursiva) Encontre $n$ (em meses) sabendo que $N=7.500$, $A_c=6.900$ e $i=1{,}2\%$ a.m.

Ver solução

$ A_c = N(1-i)^n \Rightarrow (1-i)^n = \dfrac{A_c}{N} $
$ (1-0{,}012)^n = \dfrac{6900}{7500} $
$ 0{,}988^n = 0{,}92 $
$ n = \dfrac{\ln(0{,}92)}{\ln(0{,}988)} $
$ n \approx \dfrac{-0{,}08338}{-0{,}01208} $
$ n \approx \mathbf{6{,}90 \text{ meses}} $

4) (Múltipla escolha) Um título de R$ 20.000 sofre desconto composto comercial por 10 meses, resultando em $A_c=R$ 16.120,00. A taxa mensal é, aproximadamente:

A) 1,8% a.m.
B) 2,0% a.m.
C) 2,1% a.m.
D) 2,2% a.m.

Ver solução

$ A_c = N(1-i)^{10} \Rightarrow (1-i)^{10} = \dfrac{16120}{20000} = 0{,}806 $
$ 1-i = 0{,}806^{1/10} $
$ 1-i \approx 0{,}9797 $
$ i \approx 0{,}0203 = \mathbf{2{,}03\%\ a.m.} $
Alternativa: B) 2,0% a.m.

5) (Discursiva) Um banco pratica $i=3\%$ a.m. no desconto composto comercial. Para $N=4.000$, qual será o valor recebido hoje com $n=7$ meses?

Ver solução

$ A_c = 4000(1-0{,}03)^7 $
$ A_c = 4000 \times 0{,}97^7 $
$ A_c = 4000 \times 0{,}807 $ (aprox.)
$ A_c \approx \mathbf{R\$\,3.228{,}00} $
$ D_c \approx 4000 – 3228 = \mathbf{R\$\,772{,}00} $

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Conclusão

O desconto composto comercial usa a estrutura multiplicativa $(1-i)^n$ para trazer o valor de face ao presente — quanto maiores a taxa e o prazo, menor o valor atual e maior o desconto. Dominar as fórmulas e as regras de sinais na manipulação algébrica evita erros comuns em avaliações de matemática financeira.

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