Desigualdade Triangular — condição para formar triângulo

Para três segmentos \(a\), \(b\) e \(c\) formarem um triângulo, cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois e maior que o valor absoluto de sua diferença.

Imagem: matematicaoje.blog — \( |b-a| < c < a+b \)

Regra geral (para qualquer lado \(x\)): \( |y – z| < x < y + z \)

Especificamente para o lado \(c\): \( |b-a| < c < a+b \). A propriedade vale de modo cíclico para \(a\) e \(b\).

Essas ideias se conectam aos ângulos do triângulo: confira a Soma dos Ângulos Internos, a Soma dos Ângulos Externos e o Teorema do Ângulo Externo.

Intuição geométrica

Se um lado fosse maior ou igual à soma dos outros dois, os segmentos “esticariam” sem se encontrar, não fechando o triângulo. Se um lado fosse menor ou igual à diferença dos outros, um deles “encobriria” o outro, também impedindo o fechamento.

Condição de existência Triângulos e polígonos Problemas de construção

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Como aplicar a desigualdade triangular

Validar lados: dados três números positivos, verifique as três desigualdades.
Encontrar intervalo do terceiro lado: com dois lados fixos, o terceiro deve ficar entre a diferença e a soma.
Classificação: combinada com ângulos, ajuda a antecipar se o triângulo pode ser agudo, reto ou obtuso.

Exemplos resolvidos (passo a passo)

Exemplo 1 — Validar um trio de lados

Os comprimentos \(a=7\), \(b=10\) e \(c=18\) formam triângulo?

Ver solução

Verificar \( |b-a| < c < a+b \)
\( |10-7| < 18 < 7+10 \)
\( 3 < 18 < 17 \)
Afirmação final: \(18 < 17\) é falsa
Logo, não formam triângulo.

Exemplo 2 — Intervalo para o terceiro lado

Com \(a=6\) e \(b=9\), determine o intervalo de valores possíveis para \(c\).

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\( |b-a| < c < a+b \)
\( |9-6| < c < 6+9 \)
\( 3 < c < 15 \)

Exemplo 3 — Problema com parâmetro

Os lados são \(x\), \(12\) e \(17\). Encontre o intervalo de \(x\) para existir triângulo.

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Usando \( |17-12| < x < 17+12 \) \( 5 < x < 29 \)

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Exercícios propostos (com toggle)

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1) Discursiva — Hastes de metal

Um técnico possui hastes de \(8\) cm e \(13\) cm. Qual o intervalo de comprimentos que a terceira haste \(x\) pode ter para montar um triângulo?

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\( |13-8| < x < 13+8 \) \( 5 < x < 21 \)

2) Múltipla escolha — Triângulo possível?

Quais das trincas podem ser lados de um triângulo?

(4, 5, 10)
(7, 8, 14)
(6, 9, 14)
(3, 4, 6)

Mostrar resposta

A) \(4+5 \nless 10\) ⇒ nãoB) \(7+8 \nless 14\) (é 15 > 14, ok) mas teste completo:\( |8-7| < 14 < 7+8 \Rightarrow 1 < 14 < 15\) ⇒ simC) \( |9-6| < 14 < 6+9 \Rightarrow 3 < 14 \nless 15\) ⇒ 14 < 15 é verdadeiro; testar os outros pares também satisfaz ⇒ simD) \( |4-3| < 6 < 3+4 \Rightarrow 1 < 6 \nless 7\) ⇒ 6 < 7 é verdadeiro; testar os outros pares: \(3+4>6\), \(3+6>4\), \(4+6>3\) ⇒ simGabarito: B, C e D.

3) Discursiva — Intervalo com variável

Os lados são \(5\), \(x\) e \(x+4\). Determine os valores de \(x\) para que o triângulo exista.

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Condições:
\(5 + x > x+4\)
\(5 + (x+4) > x\)
\(x + (x+4) > 5\)
Simplificando:
\(5 > 4\) — sempre verdadeira
\(x < 9\)
\(2x + 4 > 5\)
\(2x > 1\)
\(x > \dfrac{1}{2}\)
Intervalo final: \(\dfrac{1}{2} < x < 9\)

Links internos e produtos do blog

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Conclusão

A Desigualdade Triangular é a condição de existência de qualquer triângulo. Use-a para validar medidas e para obter o intervalo possível do terceiro lado. Reforce o estudo com os artigos de ângulos — soma dos internos, soma dos externos e teorema do ângulo externo.

Próximo passo: baixe o eBook gratuito de Fórmulas e acompanhe a rota de estudos no ENEM Matemática.