A matemática é um universo de conceitos que se interligam, formando a base de diversas áreas do conhecimento, desde as ciências exatas até a tecnologia. Com tantas definições, fórmulas e termos técnicos, é comum que estudantes e profissionais precisem consultar rapidamente o significado de uma palavra ou expressão.
Pensando nisso, preparamos um Dicionário de Matemática Completo de A a Z, reunindo termos essenciais acompanhados de definições claras e objetivas, facilitando o estudo, a revisão para provas e a preparação para concursos. Aqui você encontrará desde noções básicas, como ângulo e fração, até conceitos mais avançados, como logaritmo e transformada de Fourier.
Este guia é ideal para alunos, professores, candidatos a concursos e qualquer pessoa que deseje compreender melhor a linguagem matemática. Vamos começar?
📘 Dicionário de Matemática — Letra A
Verbete por verbete, um abaixo do outro, com destaque para termo, definição e fórmulas.
Como usar
Role a página e consulte os verbetes. Cada bloco contém o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e, quando pertinente, uma fórmula ou exemplo (faixa roxa).
AbscissaGeometria Analítica
Coordenada horizontal de um ponto no plano cartesiano (eixo \(x\)). No ponto \((3,-2)\), a abscissa é \(3\).
\(\text{Ponto }P=(x,y)\;\Rightarrow\;\text{abscissa}=x\)
AbstraçãoFundamentos
Processo de generalização que foca estruturas essenciais, ignorando detalhes irrelevantes.
AceleraçãoCálculo · Física Matemática
Taxa de variação da velocidade no tempo.
\(a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\quad\) e \(\quad a(t)=\dfrac{dv}{dt}=v'(t)\)
Acréscimo PercentualPorcentagem
Aumento relativo a um valor inicial \(P\) por uma taxa \(r\%\).
Novo valor \(=P\,(1+\tfrac{r}{100})\)
AdiçãoAritmética
Operação que combina números para obter a soma. Possui propriedades comutativa, associativa e elemento neutro \(0\).
\(a+b=b+a\), \((a+b)+c=a+(b+c)\), \(a+0=a\)
AdjacenteGeometria
Lado/ângulo imediatamente ao lado de outro em uma figura geométrica.
Afim (Função Afim)Funções
Função cujo gráfico é uma reta não vertical. Coeficiente angular \(a\) e linear \(b\).
\(f(x)=ax+b\)
ÁlgebraRamo
Estudo de símbolos, estruturas e operações: polinômios, equações, anéis, corpos, espaços vetoriais.
AlgoritmoFundamentos
Sequência finita e ordenada de passos para resolver um problema ou efetuar um cálculo.
ÂnguloGeometria
Abertura entre duas semirretas com origem comum; medido em graus ou radianos.
\(\text{rad}=\text{graus}\cdot\dfrac{\pi}{180}\)
Ângulos Alternos (Internos/Externos)Geometria
Formados por uma transversal que corta duas retas. Se as retas são paralelas, alternos internos/externos são congruentes.
Amplitude (Estatística)Estatística
Diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados.
\(\text{amplitude}=x_{\max}-x_{\min}\)
AmostraEstatística
Subconjunto da população usado para inferências; idealmente representativo para reduzir viés.
ANOVA (Análise de Variância)Estatística
Compara médias de vários grupos por meio da decomposição da variância (entre e dentro dos grupos).
Análise CombinatóriaContagem
Técnicas de contagem: arranjos, permutações, combinações.
\(A_{n,k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}\quad\;\; C_{n,k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
Análise RealCálculo
Estudo rigoroso de limites, continuidade, derivadas e integrais em \(\mathbb{R}\).
Análise VetorialCálculo Vetorial
Campos escalar/vetorial; operadores do nabla: gradiente, divergência e rotacional.
\(\nabla f=\text{grad}\,f,\;\nabla\cdot\vec F=\text{div}\,\vec F,\;\nabla\times\vec F=\text{rot}\,\vec F\)
Anotação CientíficaNotação
Escrita de números como \(a\times 10^n\), com \(1\le a<10\) e \(n\in\mathbb{Z}\).
Ex.: \(3{,}2\times 10^5=320\,000\)
Anti-simétrica (Relação)Teoria de Conjuntos
Se \(aRb\) e \(bRa\), então \(a=b\). A relação “\(\le\)” em \(\mathbb{R}\) é anti-simétrica.
AntiderivadaCálculo
Função \(F\) tal que \(F'(x)=f(x)\). Integral indefinida.
\(\int f(x)\,dx=F(x)+C\)
ApótemaGeometria
Distância do centro de um polígono regular ao meio de um lado; útil no cálculo da área.
Polígono regular: \(A=\dfrac{P\cdot ap}{2}\)
AproximaçãoAnálise
Estimativa do valor real por truncamento, arredondamento ou métodos numéricos.
Aproximação Linear (Tangente)Cálculo
Uso da reta tangente para estimar valores próximos a \(x=a\).
\(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\)
Aproximação de TaylorSéries
Expansão polinomial local de uma função suave.
\(f(x)\approx \sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\)
ArcoGeometria
Parte de circunferência limitada por dois pontos; medida em graus ou radianos.
ÁreaGeometria
Medida da superfície de figuras planas.
Retângulo \(A=bh\), Triângulo \(A=\frac{bh}{2}\), Círculo \(A=\pi r^2\)
ArgumentoFunções · Números Complexos
Valor de entrada de uma função; em complexos, ângulo do número no plano.
\(\operatorname{arg}(z)=\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big)\) para \(z=x+iy\) (ajustar quadrante)
ArranjoCombinatória
Ordenação de \(k\) elementos distintos dentre \(n\) com ordem relevante.
\(A_{n,k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}\)
AritméticaRamo
Estudo de números e operações básicas e suas propriedades.
Associação (Propriedade Associativa)Álgebra
Permite reagrupar termos sem alterar o resultado.
\((a+b)+c=a+(b+c)\quad\) e \(\quad (ab)c=a(bc)\)
AssimetriaGeometria · Estatística
Ausência de simetria; em dados, medida de inclinação (skewness) da distribuição.
Assíntota (Horizontal/Vertical/Oblíqua)Funções
Reta à qual o gráfico de uma função se aproxima.
Horizontal: \(y=L\); Vertical: \(x=a\); Oblíqua: \(y=mx+b\) para \(|x|\) grande
AssíntóticoAnálise
Comportamento de uma função quando a variável tende a um limite (geralmente \(\pm\infty\)).
AxiomaLógica · Fundamentos
Proposição tomada como verdadeira no sistema, base para deduções.
Axioma da EscolhaFundamentos
Afirma ser possível escolher um elemento de cada conjunto de uma família não vazia, mesmo infinita.
AutovalorÁlgebra Linear
Escalar \(\lambda\) tal que \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) para algum \(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\).
\(\det(A-\lambda I)=0\)
AutovetorÁlgebra Linear
Vetor não nulo cuja direção é preservada por \(A\).
\(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\)
Valor AbsolutoAritmética
Distância de \(x\) até o zero na reta numérica, independentemente do sinal.
\(|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}\)
Se faltar algum termo com “A”, me diga que eu adiciono na mesma estrutura.
📘 Dicionário de Matemática — Letra B
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de base e binômio a Bernoulli, binomial, bijeção e boxplot.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
Base (Potenciação)Aritmética • Álgebra
Número que será elevado a um expoente para formar uma potência.
Se \(a\) é a base e \(n\) o expoente, então \(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ vezes}}\).
Base (Logaritmo)Funções • Logaritmos
Número \(b>0, b\neq 1\) tal que \(\log_b a\) é o expoente ao qual \(b\) deve ser elevado para obter \(a\).
Mudança de base: \(\displaystyle \log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}\) (para \(b,c>0\), \(b,c\neq 1\)).
Base (Espaço Vetorial)Álgebra Linear
Conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o espaço.
Se \(B=\{v_1,\dots,v_n\}\) é base de \(V\), então \(\forall v\in V\), \(v=\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i\) de modo único.
Base CanônicaÁlgebra Linear
Base padrão do \(\mathbb{R}^n\) formada por vetores com 1 na \(i\)-ésima posição e 0 nas demais.
Em \(\mathbb{R}^3\): \(e_1=(1,0,0)\), \(e_2=(0,1,0)\), \(e_3=(0,0,1)\).
Base Numérica (Sistema)Aritmética • Teoria dos Números
Quantidade de símbolos usados para representar números em um sistema posicional.
Decimal (base 10), binário (base 2), hexadecimal (base 16). Ex.: \((1011)_2=(11)_{10}\).
Baricentro (Centroid)Geometria
Ponto de interseção das medianas de um triângulo; centro de massa geométrico.
Para vértices \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)\): \(G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\).
Barras de ErroEstatística • Gráficos
Indicam variabilidade/intervalo de confiança em um gráfico, ao redor de um estimador (média, proporção).
Para média \(\bar x\) com desvio-padrão \(s\) e \(n\) amostras: erro-padrão \(=\frac{s}{\sqrt{n}}\).
Bashkara (Fórmula de Bhaskara)Álgebra • Função Quadrática
Fórmula para as raízes de \(ax^2+bx+c=0\), \(a\neq 0\).
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). Discriminante: \(\Delta=b^2-4ac\).
BicondicionalLógica
Conectivo “se, e somente se” (\(\Leftrightarrow\)); é verdadeiro quando as proposições têm o mesmo valor lógico.
\(p\Leftrightarrow q \equiv (p\Rightarrow q)\land(q\Rightarrow p)\).
Bijeção (Bijetiva)Funções • Conjuntos
Função que é simultaneamente injetora e sobrejetora; estabelece correspondência 1–1 entre conjuntos.
Existe inversa \(f^{-1}\) tal que \(f^{-1}(f(x))=x\) e \(f(f^{-1}(y))=y\).
Binário (Sistema)Aritmética • Computação
Sistema numérico de base 2, com dígitos 0 e 1. Amplamente usado em computação.
Somar \((101)_2+(11)_2=(1000)_2\) \(\Rightarrow\) \((5)_{10}+(3)_{10}=(8)_{10}\).
BinômioÁlgebra
Expressão algébrica com dois termos somados/subtraídos.
Ex.: \(a+b\), \(x-3\). Produto notável: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
Binômio de NewtonCombinatória • Álgebra
Fórmula de expansão de \((a+b)^n\) com coeficientes binomiais.
\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\), \(\;\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
BissetrizGeometria
Semirreta que divide um ângulo em duas partes congruentes.
No triângulo, a bissetriz interna do ângulo \(A\) divide o lado oposto em razão \(c:b\).
Bloco (Matriz em Blocos)Álgebra Linear
Particionamento de uma matriz em submatrizes para facilitar operações e demonstrações.
\(\begin{bmatrix}A & B\\ C & D\end{bmatrix}\) com blocos compatíveis para soma/produto.
Bola (Métrica)Análise • Topologia
Conjunto de pontos a distância menor que \(r\) de um centro, segundo uma métrica.
Bola aberta: \(B_r(x)=\{y: d(x,y)<r\}\).
Booleano (Álgebra Booleana)Lógica • Computação
Estrutura algébrica com operações \(\land,\lor,\lnot\) e elementos 0 e 1, base de circuitos lógicos.
Leis de De Morgan: \(\lnot(p\land q)=\lnot p\lor \lnot q\); \(\lnot(p\lor q)=\lnot p\land \lnot q\).
Borda (Fronteira)Topologia
Conjunto de pontos onde todo entorno intersecta o conjunto e seu complemento.
\(\partial A=\overline{A}\setminus A^\circ\), onde \(\overline{A}\) é o fecho e \(A^\circ\) o interior.
Boxplot (Diagrama de Caixa)Estatística
Resumo gráfico com mediana, quartis e possíveis outliers.
Amplitude interquartil: \(\text{AIQ}=Q_3-Q_1\). Outliers usuais: pontos < \(Q_1-1{,}5\,\text{AIQ}\) ou > \(Q_3+1{,}5\,\text{AIQ}\).
Braço de Alavanca (Momento)Geometria • Física Matemática
Distância perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto de rotação.
Momento: \(\tau=rF\sin\theta\).
Brahmagupta (Fórmula)Geometria
Área de quadrilátero cíclico com lados \(a,b,c,d\).
Se \(s=\tfrac{a+b+c+d}{2}\), então \(A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\).
Break-even (Ponto de Equilíbrio)Matemática Financeira
Nível em que a receita total iguala os custos totais.
Para preço \(p\), custo fixo \(F\), custo variável unitário \(v\): quantidade crítica \(q=\dfrac{F}{p-v}\).
Bretschneider (Fórmula)Geometria
Área de quadrilátero geral pelos lados e pela soma dos ângulos opostos.
\(A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\!\frac{\alpha+\gamma}{2}}\).
Busca BináriaAlgoritmos
Procura eficiente em lista ordenada, com complexidade \(O(\log n)\).
Divide recorrente: intervalo \([L,R]\) reduzido pela metade a cada passo até encontrar o alvo.
Bernoulli (Experimento)Probabilidade
Experimento com dois resultados possíveis: “sucesso” (p) e “fracasso” (1−p).
\(\mathbb{P}(X=1)=p\), \(\mathbb{P}(X=0)=1-p\); \(\mathbb{E}[X]=p\), \(\mathrm{Var}(X)=p(1-p)\).
Distribuição de BernoulliProbabilidade
Distribuição discreta para variável binária (0/1) com parâmetro \(p\).
PMF: \(\mathbb{P}(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}\) para \(x\in\{0,1\}\).
Distribuição BinomialProbabilidade
Número de sucessos em \(n\) ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade \(p\).
\(\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), \(\mathbb{E}[X]=np\), \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Distribuição BetaProbabilidade • Estatística Bayesiana
Distribuição contínua em \([0,1]\) com parâmetros \(\alpha,\beta>0\); conjugada da Bernoulli/Binomial para \(p\).
Densidade: \(f(p)=\dfrac{1}{B(\alpha,\beta)}p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}\), \(B\) é a função beta.
Função BetaAnálise
Função especial relacionada à função gama.
\(B(x,y)=\displaystyle \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\).
Bivariada (Análise)Estatística
Estudo conjunto de duas variáveis para avaliar associação, correlação ou dependência.
Correlação de Pearson: \(r=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2}\sqrt{\sum (y_i-\bar y)^2}}\).
Método da BisseçãoCálculo Numérico
Localiza raízes de \(f(x)\) em \([a,b]\) dividindo o intervalo ao meio repetidamente, se \(f(a)f(b)<0\).
Erro após \(k\) iterações \(\le \dfrac{b-a}{2^k}\).
Bissetriz (Segmento Interno)Geometria
Segmento que divide o ângulo interno e encontra o lado oposto; relaciona lados adjacentes.
\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\) para triângulo \(ABC\) com \(AD\) bissetriz de \(A\).
Borda (Derivada por Partes, “by parts”)Cálculo
Mnemônico comum para “integração por partes”.
\(\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du\).
Sentiu falta de algum termo com “B”? Deixe nos comentários para atualização.
📘 Dicionário de Matemática — Letra C
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de círculo, combinação e coeficiente a continuidade, corpo, cosseno e covariância.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
CálculoAnálise
Ramo que estuda limites, derivadas, integrais, séries e equações diferenciais, com foco em variação e acumulação.
Cálculo DiferencialAnálise
Estudo de derivadas e aplicações (taxas de variação, tangentes, otimização).
\(\dfrac{d}{dx}\,x^n=n\,x^{n-1}\); regra do produto: \((fg)’=f’g+fg’\).
Cálculo IntegralAnálise
Estudo de integrais definidas/indefinidas e suas aplicações (áreas, volumes, acumulações).
Teorema Fundamental: \(\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\); \(\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)\).
CírculoGeometria
Região do plano formada por todos os pontos a distância menor ou igual a \(r\) de um centro.
Área: \(A=\pi r^2\); perímetro (circunferência): \(2\pi r\).
CircunferênciaGeometria
Conjunto de pontos no plano a distância exata \(r\) de um centro.
Equação: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
CilindroGeometria Espacial
Sólido gerado por translação de uma superfície retangular em torno de um eixo paralelo.
Volume: \(V=\pi r^2 h\); área lateral: \(A_L=2\pi r h\).
ConeGeometria Espacial
Sólido que possui uma base circular e vértice; geratriz \(g\) liga a borda ao vértice.
Volume: \(V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\); área lateral: \(A_L=\pi r g\).
Coeficiente AngularGeometria Analítica
Inclinação de uma reta no plano cartesiano.
Se \(P_1(x_1,y_1)\), \(P_2(x_2,y_2)\), então \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
Coeficiente LinearGeometria Analítica
Interseção da reta com o eixo \(y\) (valor de \(y\) quando \(x=0\)).
Equação da reta: \(y=mx+b\) (aqui \(b\) é o coeficiente linear).
Coeficiente BinomialCombinatória • Álgebra
Número de combinações de \(k\) elementos dentre \(n\).
\(\displaystyle \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
CombinaçãoCombinatória
Escolha de \(k\) elementos dentre \(n\) sem considerar ordem.
\(\displaystyle C_{n,k}=\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
Combinação com RepetiçãoCombinatória
Escolhas onde elementos podem se repetir.
\(\displaystyle C’_{n,k}=\binom{n+k-1}{k}\).
Combinação LinearÁlgebra Linear
Expressão \( \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_n v_n\) com escalares \(\alpha_i\).
Vetor \(v\) está no subespaço gerado por \(\{v_i\}\) se \(v=\sum \alpha_i v_i\).
Composição de FunçõesFunções
Aplicar \(g\) e depois \(f\): \((f\circ g)(x)=f(g(x))\).
Domínio: \(\{x\in D_g: g(x)\in D_f\}\).
Comutativa (Propriedade)Aritmética • Álgebra
A ordem dos termos não altera o resultado (para certas operações).
Adição: \(a+b=b+a\); multiplicação: \(ab=ba\) (em \(\mathbb{R}\)).
ConjuntoTeoria dos Conjuntos
Coleção bem definida de elementos.
Cardinalidade finita: \(|A|=n\); conjunto das partes (potência): \(\mathcal{P}(A)\).
Conjunto das PartesTeoria dos Conjuntos
Coleção de todos os subconjuntos de \(A\).
\(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}\).
Conjunto ComplementarTeoria dos Conjuntos
Elementos do universo \(U\) que não pertencem a \(A\).
Complemento: \(A^{c}=U\setminus A\).
ContradomínioFunções
Conjunto alvo de uma função, no qual os valores estão definidos (pode conter elementos não atingidos).
Se \(f:A\to B\), então \(B\) é o contradomínio e \(f(A)\subseteq B\) a imagem.
ContinuidadeAnálise
Função sem “saltos” no ponto \(a\): limite existe e iguala o valor da função.
\(f\) contínua em \(a\) se \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Critério da Derivada (Continuidade)Análise
Se \(f\) é derivável em \(a\), então é contínua em \(a\).
Se \(f'(a)\) existe \(\Rightarrow \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
ConvergênciaAnálise
Tendência de uma sequência/função aproximar-se de um valor limite.
Sequência \(\{a_n\}\) converge a \(L\) se \(\forall \varepsilon>0\), \(\exists N\) tal que \(|a_n-L|<\varepsilon\) para \(n\ge N\).
Convergência CondicionalSéries
Série converge, mas a série de valores absolutos diverge.
Ex.: série harmônica alternada converge; \(\sum |a_n|\) diverge.
Corpo (Field)Álgebra
Estrutura com duas operações (adição, multiplicação) onde todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.
\((K,+,\cdot)\) cumpre: comutatividade, associatividade, distributividade, elementos neutros \(0,1\) e inversos.
Complexo (Número)Números Complexos
Número da forma \(z=x+iy\), com \(i^2=-1\).
Módulo: \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\); argumento: \(\arg(z)\); forma polar: \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\).
Conjugado (Complexo)Números Complexos
Para \(z=x+iy\), seu conjugado é \(\overline{z}=x-iy\).
\(z\,\overline{z}=|z|^2=x^2+y^2\).
cis (função)Números Complexos • Trigonometria
Abreviação \(\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta\).
Forma polar: \(z=r\,\operatorname{cis}\theta\).
CossenoTrigonometria
Relação entre cateto adjacente e hipotenusa em triângulo retângulo; função trigonométrica.
\(\cos\alpha=\dfrac{\text{adj}}{\text{hip}}\); Lei dos Cossenos: \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\).
CovariânciaEstatística
Medida de como duas variáveis variam conjuntamente.
\(\operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]\).
Correlação de PearsonEstatística
Grau de associação linear entre duas variáveis.
\(\rho=\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\), \(-1\le\rho\le 1\).
Cramer (Regra de Cramer)Álgebra Linear
Método para resolver sistemas lineares \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) usando determinantes quando \(\det(A)\neq 0\).
\(x_i=\dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}\), onde \(A_i\) substitui a coluna \(i\) de \(A\) por \(\mathbf{b}\).
Curva de NívelCálculo Multivariável
Conjunto onde uma função \(f(x,y)\) assume um valor constante \(k\).
\(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f(x,y)=k\}\).
Chão (Função Piso)Funções
Mapeia \(x\) para o maior inteiro \(\le x\).
\(\lfloor 3{,}7\rfloor=3\), \(\lfloor -1{,}2\rfloor=-2\).
Cadeia de MarkovProbabilidade • Processos Estocásticos
Processo com a propriedade de Markov: o próximo estado depende apenas do atual.
Matriz de transição \(P\); distribuição após \(n\) passos: \(\pi^{(n)}=\pi^{(0)}P^n\).
Completa (Indução Completa)Lógica • Provas
Técnica de demonstração por indução onde se assume verdade para todos os casos até \(k\) para provar \(k+1\).
Base \(n_0\); passo: \(\big(\forall n\le k, P(n)\big)\Rightarrow P(k+1)\).
Cond. Necessária / SuficienteLógica • Análise
“Necessária”: sem ela, o fato não ocorre; “suficiente”: garante o fato.
\(A\Rightarrow B\) (A suficiente para B); \(B\Leftarrow A\) (B necessário para A).
Sentiu falta de algum termo com “C”? Deixe nos comentários para atualização.
📘 Dicionário de Matemática — Letra D
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de derivada e diferencial a determinante, desigualdades, distância e distribuições.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
DerivadaCálculo
Taxa de variação instantânea de uma função em um ponto; inclinação da tangente ao gráfico.
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\);\; \(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\).
Derivada ParcialCálculo Multivariável
Derivada de \(f(x,y,\dots)\) em relação a uma variável, mantendo as demais constantes.
\(\displaystyle f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\; f_y=\frac{\partial f}{\partial y}\).
Derivada DirecionalCálculo Multivariável
Variação de \(f\) na direção do vetor unitário \(\mathbf{u}\).
\(\displaystyle D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot \mathbf{u}\).
GradienteCálculo Vetorial
Vetor das derivadas parciais; aponta a direção de máximo crescimento de \(f\).
\(\nabla f=\left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\dots \right\rangle\).
DiferencialCálculo
Incremento linear aproximado de \(f\) devido a pequena variação em \(x\).
Para \(y=f(x)\): \(dy=f'(x)\,dx\) (aproximação linear).
DomínioFunções
Conjunto de valores de entrada para os quais a função está definida.
Ex.: \(f(x)=\sqrt{x-1}\Rightarrow D_f=[1,\infty)\).
DiâmetroGeometria
Segmento que passa pelo centro e liga dois pontos da circunferência.
\(d=2r\).
DiagonalGeometria
Segmento que une vértices não adjacentes de um polígono.
Número de diagonais de um \(n\)-gono: \(\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}\).
DeterminanteÁlgebra Linear
Escalar associado a uma matriz quadrada que indica invertibilidade, área/volume com orientação etc.
\(\det(A)\neq0\Rightarrow A\) invertível; \( \det(AB)=\det(A)\det(B)\).
DiagonalizaçãoÁlgebra Linear
Escrever \(A=PDP^{-1}\), com \(D\) diagonal, usando base de autovetores.
Possível se há \(n\) autovetores linearmente independentes em \(\mathbb{R}^n\).
Dependência LinearÁlgebra Linear
Conjunto \(\{v_i\}\) é dependente se existem escalares não todos nulos com \(\sum \alpha_i v_i=0\).
Independência: única solução é \(\alpha_i=0\) para todos \(i\).
DivisibilidadeTeoria dos Números
Diz-se que \(a\) divide \(b\) se \(\exists k\in\mathbb{Z}\) tal que \(b=ak\).
Escreve-se \(a\mid b\).
DivisorAritmética
Número inteiro que divide outro sem deixar resto.
Divisores de \(12\): \(1,2,3,4,6,12\).
Divisão EuclidianaAritmética
Para inteiros \(a,b\) (\(b\neq0\)), existem únicos \(q,r\) com \(a=bq+r\) e \(0\le r<|b|\).
Ex.: \(a=23\), \(b=5\Rightarrow 23=5\cdot4+3\).
Distância EuclidianaGeometria Analítica
Medida padrão entre dois pontos em \(\mathbb{R}^n\).
\(\displaystyle d(A,B)=\sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}\).
Distância de ManhattanGeometria / Dados
Soma das distâncias absolutas por coordenada.
\(\displaystyle d_1(A,B)=\sum_{i=1}^n |a_i-b_i|\).
Densidade (PDF)Probabilidade
Função \(f\) tal que \(\mathbb{P}(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx\) e \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1\).
Para Normal \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\): \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\).
Distribuição (Geral)Probabilidade
Descrição probabilística de uma variável aleatória (discreta/contínua) por PMF/PDF/CDF.
CDF: \(F(x)=\mathbb{P}(X\le x)\); PMF: \(p(x)=\mathbb{P}(X=x)\).
Distribuição NormalProbabilidade
Distribuição contínua simétrica definida por média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\).
Padronização: \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim \mathcal{N}(0,1)\).
Distribuição ExponencialProbabilidade
Tempo entre eventos de um processo Poisson com taxa \(\lambda\).
PDF: \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) para \(x\ge0\); \(\mathbb{E}[X]=1/\lambda\).
Desvio PadrãoEstatística
Raiz quadrada da variância; mede a dispersão dos dados.
\(\displaystyle s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2}\) (amostral).
Desigualdade TriangularAnálise / Vetores
A distância entre dois pontos é menor ou igual à soma de distâncias por um terceiro ponto.
\(|x+y|\le |x|+|y|\); \(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|\le \|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|\).
Desigualdade de Cauchy–SchwarzÁlgebra Linear / Análise
Limita o produto interno pelo produto das normas.
\(|\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle|\le \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\).
D’Alembert (Teste da Razão)Séries
Critério para convergência de séries de termos positivos.
Se \(L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\): converge se \(L<1\); diverge se \(L>1\).
Densidade (Conjuntos Densos)Análise / Topologia
Subconjunto \(A\) é denso em \(X\) se todo ponto de \(X\) é limite de pontos de \(A\).
Em \(\mathbb{R}\), os racionais \(\mathbb{Q}\) são densos: \(\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\).
Sistema DinâmicoAnálise / Modelagem
Evolução temporal regida por regra determinística ou estocástica.
Contínuo: \(\dot{\mathbf{x}}=F(\mathbf{x},t)\); discreto: \(\mathbf{x}_{n+1}=G(\mathbf{x}_n)\).
Delta (Símbolos)Notação
\(\Delta\) costuma denotar variação ou discriminante em quadráticas.
Quadrática: \(\Delta=b^2-4ac\); variação: \(\Delta y=y_2-y_1\).
Divergência (Operador)Cálculo Vetorial
Mede a “fonte” líquida de um campo vetorial em um ponto.
\(\displaystyle \nabla\cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}\).
Divergente (Série/Sequência)Análise
Quando a sequência/série não converge a um valor finito.
Série harmônica \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) é divergente.
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📘 Dicionário de Matemática — Letra E
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de equação e equação diferencial a espaço amostral, esperança, exponencial, elipse e esfera.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
EquaçãoÁlgebra
Igualdade com incógnita(s) cujo(s) valor(es) satisfaz(em) a expressão.
Ex.: \(2x+5=11 \Rightarrow x=3\).
Equação LinearÁlgebra
Equação de primeiro grau nas incógnitas.
Em uma variável: \(ax+b=0\); em várias: \(a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b\).
Equação QuadráticaÁlgebra
Equação do 2º grau na variável \(x\).
Raízes: \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), \(\Delta=b^2-4ac\).
Equação ExponencialFunções
Contém a incógnita no expoente.
Ex.: \(3^{x+1}=27 \Rightarrow x=2\).
Equação LogarítmicaFunções
Apresenta a incógnita dentro de logaritmo(s).
Ex.: \(\log_2(x-1)=3 \Rightarrow x=9\).
Equação ParamétricaGeometria Analítica
Representa curva via parâmetro \(t\).
Reta: \(x=x_0+at,\; y=y_0+bt\).
Equação Diferencial Ordinária (EDO)EDO
Relação entre função desconhecida e suas derivadas em uma variável independente.
Linear 1ª ordem: \(y’+p(x)y=q(x)\); solução: \(y=e^{-\int p}\!\Big(\int q\,e^{\int p} dx+C\Big)\).
Equação Diferencial Parcial (EDP)EDP
Envolve derivadas parciais de função de várias variáveis.
Calor: \(u_t=\alpha\,u_{xx}\); Onda: \(u_{tt}=c^2u_{xx}\); Laplace: \(u_{xx}+u_{yy}=0\).
Existência e Unicidade (EDO)Análise
Sob condições de Lipschitz e continuidade, o PVI possui solução única local.
PVI: \(y’=f(x,y),\; y(x_0)=y_0\).
ElipseGeometria Analítica
Conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante.
\(\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1\) (\(a\ge b\)); excentricidade \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\).
EsferaGeometria Espacial
Conjunto de pontos do espaço a distância \(r\) de um centro.
Superfície: \(S=4\pi r^2\); volume: \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\).
Eixo de SimetriaGeometria
Reta que divide uma figura em duas partes espelhadas.
Parábola \(y=ax^2+bx+c\): eixo \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
Espaço AmostralProbabilidade
Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.
Lançar um dado: \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).
EventoProbabilidade
Subconjunto do espaço amostral; ocorre quando o resultado observado pertence a ele.
Par no dado: \(A=\{2,4,6\}\) com \(\mathbb{P}(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).
Esperança (Valor Esperado)Probabilidade
Média teórica de uma variável aleatória.
Discreta: \(\mathbb{E}[X]=\sum x_i p_i\); contínua: \(\mathbb{E}[X]=\int x f(x)\,dx\).
EstimadorEstatística
Função dos dados que aproxima um parâmetro populacional.
Ex.: \(\bar X\) estima \(\mu\); \(S^2\) estima \(\sigma^2\).
Erro PadrãoEstatística
Desvio padrão da distribuição amostral de um estimador.
Para a média: \(SE(\bar X)=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) (ou \(s/\sqrt{n}\)).
Erro Tipo I / Tipo IITeste de Hipóteses
Tipo I: rejeitar \(H_0\) verdadeira (\(\alpha\)). Tipo II: não rejeitar \(H_0\) falsa (\(\beta\)).
Poder do teste: \(1-\beta\).
Exponencial (Função)Funções
Crescimento/decadência proporcional ao próprio valor.
\(f(x)=a\cdot b^x\) (\(b>0, b\neq1\)); contínua: \(f(x)=Ce^{kx}\).
ExpoenteAritmética
Indica quantas vezes a base é multiplicada por si mesma.
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\); \((a^m)^n=a^{mn}\);\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).
Euler (Número \(e\))Análise
Constante \(e\approx 2{,}71828\) base do logaritmo natural.
Def.: \(e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\); \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\).
Identidade de EulerAnálise Complexa
Relação fundamental entre exponencial complexa e trigonometria.
\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).
EscalarÁlgebra Linear
Elemento de um corpo usado para escalar vetores em um espaço vetorial.
\(\alpha\mathbf{v}\) estica/encolhe o vetor \(\mathbf{v}\) pelo fator \(\alpha\).
Espaço VetorialÁlgebra Linear
Conjunto com operações de adição de vetores e multiplicação escalar satisfazendo axiomas.
Base \(B=\{v_i\}\): todo \(\mathbf{v}\) se escreve \(\mathbf{v}=\sum \alpha_i v_i\).
Épsilon–Delta (Definição)Análise
Definição formal de limite de função real.
\(\lim_{x\to a}f(x)=L\) se \(\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\;0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\).
Eliminação de GaussÁlgebra Linear
Procedimento de operações elementares para escalonar e resolver sistemas lineares.
Opera em linhas: permutar, multiplicar por escalar \(\neq0\), somar múltiplos de linhas.
Equilátero (Triângulo)Geometria
Triângulo com três lados congruentes e três ângulos de \(60^\circ\).
Altura \(h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\); área \(A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\).
Equivalência (Relação)Conjuntos • Lógica
Relação reflexiva, simétrica e transitiva; particiona o conjunto em classes de equivalência.
\(x\sim y\) se pertencem à mesma classe; quociente \(X/{\sim}\).
Estritamente ConvexaAnálise / Otimização
Função com corda sempre acima do gráfico (exceto nas extremidades).
\(f(\lambda x+(1-\lambda)y)<\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\), \(0<\lambda<1\).
Erro AbsolutoAnálise Numérica
Diferença entre o valor aproximado e o verdadeiro.
\(|E_a|=|x_{\text{aprox}}-x_{\text{verd}}|\).
Erro RelativoAnálise Numérica
Erro absoluto em relação ao tamanho do valor verdadeiro.
\(|E_r|=\dfrac{|x_{\text{aprox}}-x_{\text{verd}}|}{|x_{\text{verd}}|}\).
Espaço MétricoTopologia
Par \((X,d)\) onde \(d\) é uma distância que satisfaz positividade, simetria e desigualdade triangular.
Bola aberta: \(B_r(x)=\{y\in X: d(x,y)<r\}\).
Exponencial (Série de Taylor)Séries
Expansão em série de potências do \(e^x\).
\(e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\).
Equilíbrio (Ponto Crítico)Sist. Dinâmicos / Otimização
Ponto onde a derivada (ou campo de vetores) se anula.
1D: \(f'(x^*)=0\); dinâmico: \(\dot x=F(x),\; F(x^*)=0\).
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📘 Dicionário de Matemática — Letra F
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de fatorial, fatoração e fração a Fibonacci, Fourier, frequência e distribuição F.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
FatorialAritmética • Combinatória
Produto dos inteiros positivos até \(n\); por convenção, \(0!=1\).
\(n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1\).
FatorAritmética
Número ou expressão que multiplica outro para formar um produto.
Ex.: em \(12=3\cdot 4\), 3 e 4 são fatores de 12.
FatoraçãoÁlgebra
Escrever um número ou polinômio como produto de fatores mais simples.
Quadrado da soma: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\); diferença de quadrados: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
FraçãoAritmética
Representa a razão entre duas quantidades: numerador sobre denominador, com denominador \(\neq 0\).
\(\dfrac{a}{b}=\) “\(a\) partes de \(b\) iguais”; redução: \(\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\).
Fração AparenteAritmética
Fração cujo valor é inteiro (denominador divide o numerador).
Ex.: \(\dfrac{8}{4}=2\).
Fração GeratrizAritmética
Fração que gera um número decimal periódico.
Para \(x=0{,}\overline{36}\): \(100x-x=36 \Rightarrow x=\dfrac{36}{99}=\dfrac{4}{11}\).
FunçãoFunções
Relação que associa a cada elemento do domínio exatamente um elemento do contradomínio.
Notação: \(f:A\to B\), \(y=f(x)\).
Função Par / ÍmparAnálise • Funções
Par: simetria em relação ao eixo \(y\). Ímpar: simetria em relação à origem.
Par: \(f(-x)=f(x)\) (ex.: \(\cos x\)); Ímpar: \(f(-x)=-f(x)\) (ex.: \(\sin x\)).
Função InversaFunções
Reverte a ação de \(f\), quando \(f\) é bijetora.
\(f^{-1}(f(x))=x\) e \(f(f^{-1}(y))=y\).
Frequência AbsolutaEstatística
Número de ocorrências de um valor/classe nos dados.
Tabela: valores \(x_i\) com contagens \(f_i\); total \(n=\sum f_i\).
Frequência RelativaEstatística
Proporção de ocorrências em relação ao total.
\(\text{fr}_i=\dfrac{f_i}{n}\); em %, \(\text{fr}_i\times 100\%\).
Frequência AcumuladaEstatística
Soma progressiva das frequências até a classe/valor considerado.
\(F_k=\sum_{i\le k} f_i\) (absoluta) ou \(F^{(r)}_k=\sum_{i\le k}\text{fr}_i\) (relativa).
Fibonacci (Sequência)Sucessões
Sequência definida por \(F_0=0\), \(F_1=1\) e \(F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\).
Fórmula de Binet: \(F_n=\dfrac{\varphi^n-\psi^n}{\varphi-\psi}\), \(\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\), \(\psi=\dfrac{1-\sqrt5}{2}\).
Fourier (Série)Análise de Sinais
Representação de funções periódicas como soma de senos e cossenos.
\(f(x)\sim \dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)\).
Transformada de FourierAnálise • Sinais
Decompõe uma função (sinal) em frequências contínuas.
\(\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt\).
Foco (Cônicas)Geometria Analítica
Ponto notável nas cônicas (parábola, elipse, hipérbole) que define propriedades geométricas.
Parábola \(y=ax^2\): foco \(\left(0,\dfrac{1}{4a}\right)\), diretriz \(y=-\dfrac{1}{4a}\).
Falso (Constante Lógica)Lógica
Valor lógico 0; negação de Verdadeiro; símbolo \(\bot\).
Tabela-verdade: \(p\land\bot=\bot\), \(p\lor\bot=p\), \(p\Rightarrow\bot\) é \(\lnot p\).
Fecho (Fechamento)Topologia
Menor conjunto fechado que contém \(A\); inclui \(A\) e seus pontos de acumulação.
\(\overline{A}=A\cup A’\) (união com o conjunto de pontos limite).
FronteiraTopologia
Pontos onde todo entorno intersecta \(A\) e seu complemento.
\(\partial A=\overline{A}\setminus A^\circ\) (fecho menos interior).
Função Densidade de Probabilidade (PDF)Probabilidade
Para variável contínua, \(f(x)\ge0\) e \(\int f=1\); probabilidades como áreas.
\(\mathbb{P}(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx\).
Função Distribuição Acumulada (CDF)Probabilidade
Dá a probabilidade acumulada até \(x\).
\(F(x)=\mathbb{P}(X\le x)\); se contínua, \(F'(x)=f(x)\).
Distribuição F (Snedecor)Estatística
Distribuição contínua de razão de qui-quadrados normalizados; usada em ANOVA e testes de variância.
Se \(U\sim\chi^2_{\nu_1}\), \(V\sim\chi^2_{\nu_2}\) independentes, então \(F=\dfrac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\sim F_{\nu_1,\nu_2}\).
Fermat (Pequeno Teorema)Teoria dos Números
Para primo \(p\) e inteiro \(a\) não múltiplo de \(p\), vale \(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\).
Equivalente: \(a^{p}\equiv a\pmod p\).
Forma QuadráticaÁlgebra Linear
Expressão \(Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A \mathbf{x}\) com \(A\) simétrica.
Definida positiva se \(Q(\mathbf{x})>0\) para \(\mathbf{x}\neq 0\).
Função ConvexaAnálise • Otimização
Gráfico abaixo de suas cordas; mínimos locais são globais.
\(f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\), \(0\le\lambda\le1\).
Produto Vetorial (ou “Externo”)Álgebra / Geometria
Em \(\mathbb{R}^3\), vetor perpendicular a \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) com módulo \(\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\sin\theta\).
\(\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\det\!\begin{bmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3\end{bmatrix}\).
Função Piso (Floor)Funções
Mapeia \(x\) para o maior inteiro \(\le x\).
\(\lfloor 2{,}9\rfloor=2\), \(\lfloor -1{,}2\rfloor=-2\). (Ver também: “Chão (Função Piso)” na Letra C.)
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📘 Dicionário de Matemática — Letra G
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de gaussiana, função gama e Gram–Schmidt a grafos, grupos, PG e série geométrica.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
Gaussiana (Distribuição Normal)Probabilidade
Distribuição contínua simétrica determinada por média \(\mu\) e desvio-padrão \(\sigma\).
PDF: \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\!\big(-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\big)\).
Gama (Função \(\Gamma\))Análise
Extensão do fatorial para argumentos reais/complexos positivos.
\(\Gamma(n)=(n-1)!\) para \(n\in\mathbb{N}\);\; \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\).
Distribuição GamaProbabilidade
Distribuição contínua com parâmetros de forma \(k\) e escala \(\theta\) (ou taxa \(\lambda\)).
PDF: \(f(x)=\dfrac{1}{\Gamma(k)\theta^k}x^{k-1}e^{-x/\theta}\), \(x>0\).
Gram–Schmidt (Ortogonalização)Álgebra Linear
Processo para construir base ortonormal a partir de vetores independentes.
\(u_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}\),\; \(w_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle v_k,u_i\rangle u_i\),\; \(u_k=\frac{w_k}{\|w_k\|}\).
Gauss–JordanÁlgebra Linear
Variante da eliminação de Gauss que reduz a matriz à forma identidade para obter \(A^{-1}\) ou solução exata.
Aplica operações elementares até \([A|I]\to[I|A^{-1}]\).
Gauss–Seidel (Método Iterativo)Cálculo Numérico
Iteração para resolver sistemas lineares \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), usando valores atualizados a cada passo.
\(\mathbf{x}^{(k+1)}=-(D+L)^{-1}U\,\mathbf{x}^{(k)}+(D+L)^{-1}\mathbf{b}\) (decomposição \(A=D+L+U\)).
Teorema de Gauss (Divergência)Cálculo Vetorial
Relaciona o fluxo de \(\vec F\) por uma superfície fechada com a divergência no volume.
\(\displaystyle \iiint_V (\nabla\!\cdot\!\vec F)\,dV=\iint_{\partial V}\vec F\cdot \hat n\,dS\).
Teorema de GreenCálculo Vetorial
Versão plana do teorema de Stokes: converte integral de linha em integral dupla.
\(\displaystyle \oint_{\partial D} (P\,dx+Q\,dy)=\iint_D\!\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\!dA\).
Geometria EuclidianaGeometria
Geometria baseada nos postulados de Euclides (planos “planos” e soma dos ângulos internos de um triângulo \(=180^\circ\)).
Geometria Não EuclidianaGeometria
Geometrias onde o postulado das paralelas é substituído: hiperbólica (muitas paralelas) e elíptica (nenhuma paralela).
Geometria AnalíticaGeometria Analítica
Estudo de figuras por coordenadas e equações (retas, cônicas, planos).
Reta: \(y=mx+b\); circunferência: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Geometria FractalGeometria
Estudo de objetos autossimilares de dimensão fracionária (ex.: conjunto de Cantor, floco de Koch).
Dimensão de Hausdorff do conjunto de Cantor: \(d=\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\).
GeodésicaGeometria / Otimização
Caminho de menor comprimento entre pontos em uma superfície/variedade (reta no plano; arco de grande círculo na esfera).
Geratriz (de Cone/Cilindro)Geometria Espacial
Segmento gerador da superfície lateral (reta que, ao “varrer”, forma a superfície).
Cone reto: área lateral \(A_L=\pi r g\), onde \(g\) é a geratriz.
GrafoTeoria dos Grafos
Estrutura \(G=(V,E)\) com vértices \(V\) e arestas \(E\) conectando pares de vértices.
Grau médio: \(\bar d=\dfrac{2|E|}{|V|}\) (grafo simples).
Grau (de um Vértice)Teoria dos Grafos
Número de arestas incidentes ao vértice (entrada/saída em grafos direcionados).
Em grafo simples: \(\sum_{v\in V}\deg(v)=2|E|\) (handshaking lemma).
Grafo CompletoTeoria dos Grafos
Grafo onde todo par de vértices é conectado por uma aresta.
Número de arestas de \(K_n\): \(|E|=\dfrac{n(n-1)}{2}\).
Grafo BipartidoTeoria dos Grafos
Vértices particionados em \(U\) e \(W\) com arestas apenas entre os conjuntos.
Completo bipartido: \(K_{m,n}\) tem \(|E|=mn\).
Grau (de um Polinômio)Álgebra
Maior expoente de \(x\) com coeficiente não nulo no polinômio.
\(\deg(pq)=\deg p+\deg q\) se os coeficientes dominantes não anulam.
GrupoÁlgebra Abstrata
Conjunto \(G\) com operação associativa, elemento neutro e inversos; pode ser abeliano (comutativo) ou não.
\((G,\*)\): \(\forall a,b,c\in G\), \((a*b)*c=a*(b*c)\); \(\exists e\) tal que \(e*a=a*e=a\); \(\forall a\), \(\exists a^{-1}\).
Grupo CíclicoÁlgebra Abstrata
Gerado por um único elemento \(g\): todo elemento é \(g^k\) (ou \(kg\) aditivo).
Grupo dos restos \(\mathbb{Z}_n\) é cíclico de ordem \(n\).
Gradiente DescendenteOtimização
Método iterativo para minimizar \(f(\theta)\) movendo-se na direção oposta ao gradiente.
\(\theta_{k+1}=\theta_k-\eta\,\nabla f(\theta_k)\).
Gradiente Descendente Estocástico (SGD)Otimização / Estatística
Atualiza parâmetros usando amostras/minilotes para estimar \(\nabla f\), reduzindo custo por iteração.
\(\theta\leftarrow \theta-\eta\,\widehat{\nabla} f(\theta;\,\mathcal{B})\).
Grau (Ângulo)Medidas
Unidade de medida angular: \(360^\circ\) em uma volta completa.
Conversão: \(1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\,\text{rad}\).
Progressão Geométrica (PG)Sucessões
Sequência em que a razão entre termos consecutivos é constante \(q\).
Termo geral: \(a_n=a_1 q^{n-1}\);\; soma dos \(n\) primeiros: \(S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}\) (\(q\neq1\)).
Série GeométricaSéries
Soma de termos de uma PG.
Converge para \(|q|<1\): \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a\,q^k=\frac{a}{1-q}\).
Média GeométricaEstatística / Análise
Média apropriada para taxas multiplicativas e crescimentos proporcionais.
De \(x_1,\dots,x_n>0\): \(G=(\prod_{i=1}^n x_i)^{1/n}\).
Função GeradoraCombinatória / Probabilidade
Série de potências que codifica sequência \(\{a_n\}\) para facilitar contagens e probabilidades.
Ordinar.: \(A(x)=\sum_{n\ge0} a_n x^n\);\; de prob.: \(G_X(s)=\mathbb{E}[s^X]\).
Gödel (Teoremas de Incompletude)Lógica
Em sistemas formais suficientemente ricos, há proposições verdadeiras não demonstráveis; e a consistência não é provável internamente.
Gráfico de FunçãoFunções
Conjunto de pontos \((x,f(x))\) no plano cartesiano; visualiza comportamento de \(f\).
Giro (Rotação)Geometria Analítica
Transformação que preserva distâncias e gira pontos em torno de um centro/ângulo.
Matriz 2D: \(R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\).
Distribuição GumbelProbabilidade
Modelo para máximos/mínimos (valores extremos) em diversas áreas.
CDF: \(F(x)=\exp\{-e^{-(x-\mu)/\beta}\}\), \(\beta>0\).
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📘 Dicionário de Matemática — Letra H
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de harmônico, Heron, Heaviside e Hessiana a hipérbole, hipergeométrica, hipercubo, Hilbert e homeomorfismo.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
Harmônica (Média)Estatística
Média adequada a taxas/velocidades: enfatiza valores menores.
De \(x_1,\dots,x_n>0\): \(\displaystyle H=\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}\).
Série HarmônicaSéries
Série \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\), divergente apesar de termos irem a zero.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty\).
Hexágono RegularGeometria
Polígono de 6 lados iguais e ângulos internos iguais.
Área: \(A=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\); soma dos ângulos internos: \((6-2)\cdot 180^\circ=720^\circ\).
HipotenusaGeometria
Lado oposto ao ângulo reto em triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras: \(c^2=a^2+b^2\).
Hipérbole (Cônica)Geometria Analítica
Conjunto de pontos cuja diferença das distâncias a dois focos é constante.
\(\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\);\; assíntotas: \(y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)\).
Seno HiperbólicoAnálise
Função ligada à hipérbole; análoga a seno circular.
\(\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\);\; ident.: \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\).
Cosseno HiperbólicoAnálise
Par de \(\sinh\); cresce sempre \(\ge1\).
\(\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\).
Distribuição HipergeométricaProbabilidade
Número de sucessos em \(n\) retiradas sem reposição de uma população com \(K\) sucessos e \(N\) total.
\(\displaystyle \mathbb{P}(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\).
HomomorfismoÁlgebra Abstrata
Aplicação que preserva a operação entre estruturas algébricas.
Grupos: \(\varphi(a*b)=\varphi(a)\circ\varphi(b)\).
IsomorfismoÁlgebra Abstrata
Homomorfismo bijetor com inversa também homomorfismo; “mesma” estrutura algébrica.
Se \(\varphi:G\to H\) é isomorfismo, então \(G\cong H\).
HomeomorfismoTopologia
Bijeção contínua com inversa contínua; preserva estrutura topológica.
Circunferência \(S^1\) é homeomorfa a um quadrado “sem cantos” (mesma topologia).
Espaço de HilbertAnálise Funcional
Espaço vetorial normado completo com produto interno; generaliza geometria euclidiana.
Ortogonalidade: \(\langle x,y\rangle=0\Rightarrow x\perp y\); projeção mínima em subespaços fechados.
Hessiana (Matriz)Cálculo Multivariável
Matriz das derivadas parciais de 2ª ordem de \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\); informa curvatura local.
\(\displaystyle H_{ij}(x)=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}(x)\). Teste de 2ª ordem para extremos.
Método de HornerÁlgebra / Numérico
Avaliação eficiente de polinômios e divisão sintética.
Para \(p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\): esquema recursivo reduz multiplicações.
HistogramaEstatística
Gráfico de barras contíguas que mostra distribuição de frequências por classes.
Área total proporcional ao tamanho da amostra; altura \(\propto\) densidade por classe.
Distância de HammingCombinatória / Códigos
Número de posições onde duas cadeias de mesmo tamanho diferem.
Para \(x,y\in\{0,1\}^n\): \(d_H(x,y)=\sum_{i=1}^n \mathbf{1}[x_i\ne y_i]\).
Função Degrau de HeavisideSinais / EDO
Ativa a partir de um ponto; útil para entradas por partes.
\(u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a\\1,&t\ge a\end{cases}\); \(\dfrac{d}{dt}u(t)=\delta(t)\) (em distribuições).
HipercuboGeometria / Grafos
Generalização do cubo para \(n\) dimensões; vértices são seqs. binárias de tamanho \(n\).
Número de vértices: \(2^n\); arestas: \(n\,2^{n-1}\).
HiperplanoGeometria / Álgebra Linear
Subespaço afim de codimensão 1 em \(\mathbb{R}^n\); “plano” que separa o espaço.
Equação: \(w^\top x=b\); separadores lineares em aprendizado de máquina.
HiperparâmetroEstatística / ML
Parâmetro ajustado fora do modelo para controlar sua complexidade/treino (ex.: taxa de aprendizado, \(k\) em \(k\)-NN).
HipergrafoTeoria dos Grafos
Generaliza grafo: arestas (hiperarestas) podem conectar mais de dois vértices.
Fórmula de HeronGeometria
Área de triângulo a partir dos lados \(a,b,c\).
Com semiperímetro \(s=\tfrac{a+b+c}{2}\): \(A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\).
Hipótese Nula (\(H_0\))Teste de Hipóteses
Afirmação de referência a ser testada; rejeitar \(H_0\) requer evidência estatística suficiente.
Erro tipo I: prob. de rejeitar \(H_0\) verdadeira \(=\alpha\); poder \(=1-\beta\).
Hipótese Alternativa (\(H_1\))Teste de Hipóteses
Afirmação concorrente à \(H_0\), aceita quando há evidência contra \(H_0\).
Uni/bilateral; região crítica definida pelo nível \(\alpha\).
Transformada de HilbertSinais / Análise
Operador integral que produz o sinal em quadratura; útil em análise de envoltória/fase instantânea.
\((\mathcal{H}f)(t)=\dfrac{1}{\pi}\,\text{p.v.}\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(\tau)}{t-\tau}\,d\tau\).
Produto de HadamardÁlgebra Linear
Produto elemento a elemento de matrizes de mesma ordem.
\((A\circ B)_{ij}=A_{ij}B_{ij}\).
Matriz de HadamardÁlgebra / Códigos
Matriz quadrada com entradas \(\pm1\) e linhas/colunas mutuamente ortogonais.
Ordem \(n\) com \(H H^\top=nI\) (existe para várias ordens múltiplas de 4).
Diagrama de HasseTeoria dos Conjuntos / Ordem
Representação gráfica de um conjunto parcialmente ordenado omitindo arestas dedutíveis por transitividade.
Sentiu falta de algum termo com “H”? Deixe nos comentários para atualização.
📘 Dicionário de Matemática — Letra I
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de integral, intervalo e injetora a inversa, íntimo/ínfimo, isometria, independência e intervalo de confiança.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
Integral IndefinidaCálculo
Família de antiderivadas de \(f\); difere por constante aditiva.
\(\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C,\; F'(x)=f(x)\).
Integral DefinidaCálculo
Acúmulo/área assinada de \(f\) entre \(a\) e \(b\).
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) (Teorema Fundamental do Cálculo).
Integração por PartesCálculo
Regra baseada no produto: útil para integrais de produtos de funções.
\(\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du\).
Integral por SubstituiçãoCálculo
Mudança de variável para simplificar a integração.
Se \(x=g(t)\), então \(\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))\,g'(t)\,dt\).
Imagem (de uma Função)Funções
Conjunto de valores efetivamente assumidos por \(f\).
Se \(f:A\to B\), então \(f(A)=\{f(x):x\in A\}\subseteq B\).
Injetora (Função)Funções
Não colapsa pontos distintos: valores de saída distintos para entradas distintas.
\(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\) (ou contrapos: \(x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)\)).
Inversa (Função)Funções
Função que desfaz \(f\); existe quando \(f\) é bijetora (ou monotônica em domínio adequado).
\(f^{-1}(f(x))=x\) e \(f(f^{-1}(y))=y\).
Matriz InversaÁlgebra Linear
Para matriz quadrada \(A\) com \(\det(A)\ne0\), existe \(A^{-1}\) tal que \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\).
Para \(2\times2\): \(A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\), se \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\).
Matriz IdentidadeÁlgebra Linear
Matriz diagonal com 1s na diagonal principal; elemento neutro da multiplicação matricial.
\(I_n\mathbf{x}=\mathbf{x}\), \(AI_n=I_nA=A\).
InterseçãoTeoria dos Conjuntos
Elementos comuns a \(A\) e \(B\).
\(A\cap B=\{x:x\in A \text{ e } x\in B\}\).
Intervalo (Aberto/Fechado)Análise
Subconjunto de \(\mathbb{R}\) entre dois pontos, com ou sem extremidades.
Aberto: \((a,b)=\{x:a<x<b\}\); Fechado: \([a,b]=\{x:a\le x\le b\}\).
InteriorTopologia
Conjunto dos pontos com vizinhança inteiramente contida em \(A\).
\(A^\circ=\bigcup\{B_r(x)\subseteq A\}\).
Ínfimo / SupremosAnálise
Ínfimo: maior limitante inferior; supremo: menor limitante superior.
\(\inf A\le a\le \sup A\) para todo \(a\in A\); se atingidos, são mínimo/máximo.
Ponto de InflexãoCálculo
Ponto onde a concavidade de \(f\) muda (sinal de \(f”\) troca).
Critério: \(f”(x_0)=0\) (ou não definida) e \(f”\) muda de sinal em \(x_0\).
Inteiro (ℤ)Aritmética
Conjunto \(\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\) com operações de adição e multiplicação usuais.
Propriedades: comutatividade, associatividade, distributividade; ausência de divisores de zero.
IrracionalTeoria dos Números
Número que não pode ser expresso como razão de inteiros; expansão decimal infinita e não periódica.
Ex.: \(\sqrt{2}, \pi, e\).
Indução MatemáticaLógica / Provas
Técnica para provar afirmações sobre inteiros: base + passo indutivo.
Se \(P(n_0)\) é verdadeira e \(P(k)\Rightarrow P(k+1)\), então \(P(n)\) é verdadeira para \(n\ge n_0\).
Independência (Eventos)Probabilidade
Ocorrência de um evento não altera a probabilidade do outro.
\(A\perp B \iff \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\).
Intervalo de ConfiançaEstatística
Faixa de valores que, com certo nível (ex.: 95%), contém o parâmetro populacional.
Para média (σ conhecida): \(\bar x \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
IsometriaGeometria
Transformação que preserva distâncias (translação, rotação, reflexão).
\(\|T(x)-T(y)\|=\|x-y\|\) para todos \(x,y\).
Isoperimétrico (Teorema)Geometria / Análise
Dentre figuras de mesmo perímetro, o círculo tem a maior área.
Desigualdade: \(4\pi A \le P^2\), com igualdade apenas para o círculo.
IdempotenteÁlgebra
Elemento \(e\) tal que \(e\cdot e=e\) (ou operador \(T\) com \(T^2=T\)).
Projetor linear \(P\): \(P^2=P\).
Interior RelativoAnálise Convexa
Interior calculado no menor afim que contém o conjunto (útil para conjuntos “achatados”).
\(\operatorname{ri}(C)=\{x\in C:\exists\,\varepsilon>0,\; B_\varepsilon(x)\cap \operatorname{aff}(C)\subseteq C\}\).
Integral de LinhaCálculo Vetorial
Integração ao longo de uma curva: escalar (comprimento ponderado) ou vetorial (trabalho).
\(\displaystyle \int_C f\,ds\) ou \(\displaystyle \int_C \vec F\cdot d\vec r\).
Integral de SuperfícieCálculo Vetorial
Integração sobre uma superfície; pode somar campo escalar ou fluxo de campo vetorial.
\(\displaystyle \iint_S f\,dS\) ou \(\displaystyle \iint_S \vec F\cdot \hat n\,dS\).
Integral de Linha ComplexaAnálise Complexa
Integração de funções complexas ao longo de contornos no plano complexo.
Teorema de Cauchy: \(\oint_\gamma f(z)\,dz=0\) se \(f\) é holomorfa num domínio simplesmente conexo.
IncógnitaÁlgebra
Valor desconhecido a ser determinado em uma equação.
Ex.: em \(2x+5=11\), a incógnita é \(x\).
Sentiu falta de algum termo com “I”? Deixe nos comentários para atualização.
📘 Dicionário de Matemática — Letra J
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de Jacobiano e Juros a Jogos Justos e Jacobi.
Como usar
Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando aplicável.
JacobianoCálculo Multivariável
Determinante da matriz de derivadas parciais de uma transformação vetorial.
Se \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) tem \(J_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial u_j}\), então \(\det(J)\) é o Jacobiano.
Jacobi (Método)Álgebra Numérica
Algoritmo iterativo para resolver sistemas lineares, atualizando cada variável com base nos valores anteriores.
Para \(Ax=b\), \(x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i – \sum_{j\ne i} a_{ij}x_j^{(k)}\right)\).
Jogos JustosProbabilidade
Situações em que o valor esperado do ganho é zero, não favorecendo nenhum jogador a longo prazo.
Jogo é justo se \(E[\text{ganho}]=0\).
Juros SimplesMatemática Financeira
O valor dos juros cresce linearmente com o tempo, calculado apenas sobre o capital inicial.
\(J = C \cdot i \cdot t\).
Juros CompostosMatemática Financeira
O valor dos juros é calculado sobre o capital atualizado, produzindo crescimento exponencial.
\(M = C \cdot (1+i)^t\).
Julgamento EstatísticoEstatística
Tomada de decisão com base em evidências amostrais e métodos estatísticos.
Envolve testes de hipótese, estimativas e análise de confiabilidade.
Jacobi Elliptic FunctionsAnálise
Funções periódicas generalizadas que surgem na resolução de integrais elípticas.
Incluem sn(u, k), cn(u, k), dn(u, k) com parâmetro de módulo \(k\).
Jacobiano PolarCálculo Multivariável
Fator de escala ao transformar integrais duplas de coordenadas cartesianas para polares.
\(\iint_R f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{R’} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r\, dr\, d\theta\).
Se lembrar de mais algum termo matemático com “J”, posso adicionar no mesmo padrão visual.
📘 Dicionário de Matemática — Letra K
Termos matemáticos, físicos e estatísticos que começam com a letra K, com definições e fórmulas quando aplicável.
Como usar
Cada verbete apresenta o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e, quando aplicável, uma fórmula ou exemplo (faixa roxa).
Kappa (Coeficiente de Concordância)Estatística
Medida que avalia o grau de concordância entre avaliadores, ajustando o acaso.
\( \kappa = \frac{p_o – p_e}{1 – p_e} \), onde \(p_o\) é a proporção de concordância observada e \(p_e\) a esperada ao acaso.
KelvinFísica/Matemática
Unidade de temperatura absoluta no Sistema Internacional.
\(T(K) = T(°C) + 273,15\).
Kilobyte (KB)Informática
Unidade de armazenamento digital equivalente a 1024 bytes (em base binária) ou 1000 bytes (em base decimal).
Kilômetro (km)Medidas
Unidade de medida de comprimento equivalente a 1000 metros.
Koenig (Teorema de Koenig)Teoria dos Grafos
Afirma que, em um grafo bipartido, o tamanho do emparelhamento máximo é igual ao tamanho da cobertura mínima de vértices.
Kronecker (Delta de Kronecker)Álgebra Linear
Função definida como \( \delta_{ij} = 1 \) se \(i=j\) e \(0\) caso contrário, usada para simplificar somatórios.
Kuroda (Identidade de Kuroda)Lógica
Transformação usada na lógica intuicionista para converter negações duplas em formas mais manejáveis.
K-médiasEstatística/Aprendizado de Máquina
Algoritmo de agrupamento que divide dados em \(k\) grupos com base na proximidade ao centróide.
Caso surjam novos termos com “K” aplicáveis à matemática, este verbete poderá ser atualizado.
📘 Dicionário de Matemática — Letra L
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de limite e logaritmo a Laplace, Lagrange, Lei dos Senos, LGN e espaços \(L^p\).
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
Limite (Definição \(\varepsilon\)–\(\delta\))Análise
Valor que \(f(x)\) se aproxima quando \(x\) tende a \(a\).
\(\lim_{x\to a}f(x)=L \iff \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\).
Limite LateralAnálise
Aproximação de \(f\) por apenas um lado do ponto.
\(\lim_{x\to a^-}f(x)\) (pela esquerda), \(\lim_{x\to a^+}f(x)\) (pela direita).
\(\limsup\) e \(\liminf\)Sequências
Limite superior/inferior acumulado de uma sequência \(\{a_n\}\).
\(\displaystyle \limsup a_n=\inf_{n}\sup_{k\ge n} a_k\), \(\;\liminf a_n=\sup_{n}\inf_{k\ge n} a_k\).
Regra de L’HôpitalCálculo
Avalia limites indeterminados do tipo \(0/0\) ou \(\infty/\infty\).
\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f}{g}=\lim_{x\to a}\frac{f’}{g’}\) se condições de derivabilidade forem atendidas.
LogaritmoFunções
Expoente ao qual a base \(b>0\) (e \(b\neq1\)) deve ser elevada para produzir \(a\).
\(\log_b a=\dfrac{\log_c a}{\log_c b}\);\; propriedades: \(\log(ab)=\log a+\log b\), \(\log(a^k)=k\log a\).
Logaritmo NaturalFunções
Logaritmo na base \(e\) (\(\approx2{,}71828\)).
\(\ln x=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt\);\; \(\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}\) (\(x>0\)).
Lognormal (Distribuição)Probabilidade
Se \(\ln X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), então \(X\) é lognormal.
PDF: \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\; x>0\).
Logística (Função)Modelagem
Curva em “S” para crescimento limitado por capacidade de suporte \(K\).
\(f(t)=\dfrac{K}{1+Ae^{-rt}}\);\; logit: \(\operatorname{logit}(p)=\ln\frac{p}{1-p}\).
Transformada de LaplaceEDO / Sinais
Converte funções do tempo para o domínio \(s\), facilitando a resolução de EDOs lineares.
\(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt\).
LaplacianoCálculo Vetorial
Operador diferencial que mede a curvatura/“difusão” de um campo escalar.
\(\Delta f=\nabla\cdot\nabla f=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\).
Multiplicadores de LagrangeOtimização
Método para extremos de \(f(x)\) com restrições \(g(x)=0\).
\(\nabla f(x^\*)=\lambda \nabla g(x^\*)\), \(\;g(x^\*)=0\).
Interpolação de LagrangeNumérico
Polinômio que interpola pontos \((x_i,y_i)\).
\(P(x)=\sum_{i=0}^n y_i\,\ell_i(x)\), \(\ell_i(x)=\prod_{j\ne i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}\).
Lei dos SenosGeometria
Relação entre lados e ângulos de um triângulo qualquer.
\(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\) (onde \(R\) é o raio da circunferência circunscrita).
Lei dos Grandes Números (LGN)Probabilidade
A média amostral converge (em probabilidade) para a média verdadeira quando \(n\to\infty\).
\(\bar X_n \xrightarrow{P} \mu\) se \(X_i\) i.i.d. com \(\mathbb{E}[X_i]=\mu\).
Espaços \(L^p\)Análise Funcional
Funções com \(p\)-ésima potência integrável (norma \(L^p\)).
\(\|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}\right)^{1/p}\) (\(1\le p<\infty\)); \(L^\infty\): norma essencial suprema.
LinearizaçãoCálculo
Aproximação de \(f\) perto de \(x_0\) por sua reta tangente.
\(L(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\).
Linearidade (Operadores)Álgebra / Análise
Preservação de somas e escalares por operadores/funções.
Ex.: \(\mathbb{E}[aX+bY]=a\mathbb{E}[X]+b\mathbb{E}[Y]\); \(\mathcal{L}\{af+bg\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}\).
Teste da Comparação LimiteSéries
Compara \(\sum a_n\) com \(\sum b_n\) via limite do quociente.
Se \(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c\in(0,\infty)\), então \(\sum a_n\) e \(\sum b_n\) têm o mesmo comportamento de convergência.
Lasso (Regularização \(L^1\))Estatística / ML
Penalização \(L^1\) que incentiva esparsidade nos coeficientes do modelo.
\(\min_\beta \; \|y-X\beta\|_2^2+\lambda\|\beta\|_1\).
Likelihood (Verossimilhança)Estatística
Função dos parâmetros dada a amostra; base para estimação por máxima verossimilhança.
\(L(\theta\mid x)=\prod_{i=1}^n f(x_i\mid \theta)\);\; \(\ell(\theta)=\ln L(\theta)\).
Sentiu falta de algum termo com “L”? Deixe nos comentários para atualização.
📘 Dicionário de Matemática — Letra M
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de matriz, médias e momento a MDC/MMC, módulo (congruência), mínimos quadrados, Monte Carlo e multinomial.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
MatrizÁlgebra Linear
Arranjo retangular de números/elementos em linhas e colunas, representando transformações lineares e sistemas.
Multiplicação: \((AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}\).
Matriz Diagonal / TriangularÁlgebra Linear
Diagonal: elementos fora da diagonal principal são 0. Triangular: zeros acima (inferior) ou abaixo (superior) da diagonal.
\(\det(\text{triangular})=\) produto da diagonal.
Matriz Simétrica / Definida PositivaÁlgebra Linear
Simétrica: \(A=A^{\top}\). Definida positiva: \(x^{\top}Ax>0\) para \(x\neq 0\).
Autovalores de \(A\succ0\) são positivos; fatoração de Cholesky \(A=LL^{\top}\).
MDC (Máximo Divisor Comum)Aritmética
Maior inteiro que divide \(a\) e \(b\).
Algoritmo de Euclides: \(\gcd(a,b)=\gcd(b,\,a\bmod b)\).
MMC (Mínimo Múltiplo Comum)Aritmética
Menor inteiro múltiplo de \(a\) e \(b\).
\(\operatorname{mmc}(a,b)=\dfrac{|ab|}{\gcd(a,b)}\).
Módulo (Congruência)Teoria dos Números
\(a\equiv b \pmod m\) se \(m\) divide \(a-b\); aritmética em classes residuais.
Inverso de \(a\) mod \(m\) existe se \(\gcd(a,m)=1\).
Módulo (Número Complexo)Números Complexos
Distância de \(z=x+iy\) à origem no plano complexo.
\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\); \(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\).
Norma \( \ell_p \) (Média Quadrática etc.)Análise / Vetores
Medida de comprimento em \(\mathbb{R}^n\). Casos: \(p=2\) (euclidiana/RMS), \(p=1\) (Manhattan), \(p=\infty\) (máximo).
\(\|\mathbf{x}\|_p=\left(\sum_i |x_i|^p\right)^{1/p}\).
Média AritméticaEstatística
Soma dos valores dividida pelo total de observações.
\(\bar x=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\).
Média PonderadaEstatística
Cada valor contribui segundo um peso.
\(\bar x_w=\dfrac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\).
MedianaEstatística
Valor central quando os dados estão em ordem; robusta a outliers.
Para \(n\) ímpar: posição \((n+1)/2\); para \(n\) par: média dos dois centrais.
ModaEstatística
Valor mais frequente de um conjunto de dados (pode haver mais de uma).
Momento (k-ésimo)Probabilidade
Média de \(X^k\) (central ou em torno de zero) que resume forma da distribuição.
Central: \(\mu_k=\mathbb{E}[(X-\mu)^k]\); variância é \(\mu_2\).
Função Geradora de Momentos (mgf)Probabilidade
Gera momentos por derivação em \(t=0\).
\(M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]\); \(M_X^{(k)}(0)=\mathbb{E}[X^k]\).
Maclaurin (Série)Séries
Série de Taylor centrada em \(0\).
\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\).
Mínimos QuadradosEstatística / Numérico
Ajuste de parâmetros minimizando a soma dos quadrados dos resíduos.
\(\hat\beta=(X^\top X)^{-1}X^\top y\) (modelo linear clássico).
Monte Carlo (Método)Probabilidade / Numérico
Aproxima quantidades por amostragem aleatória repetida.
Estimativa \(\hat\theta=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^N h(X_i)\) para \(X_i\) i.i.d.
Distribuição MultinomialProbabilidade
Generaliza a binomial para \(k\) categorias em \(n\) ensaios independentes.
\(\mathbb{P}(X_1=x_1,\dots,X_k=x_k)=\dfrac{n!}{\prod_i x_i!}\prod_i p_i^{x_i}\), \(\sum x_i=n\), \(\sum p_i=1\).
Matriz de Transição (Markov)Processos Estocásticos
Matriz estocástica com probabilidades de ir de um estado a outro em um passo.
\(\pi^{(n)}=\pi^{(0)}P^n\); estado estacionário \(\pi=\pi P\).
Distância de MinkowskiGeometria / Dados
Família de distâncias que generaliza Euclidiana (\(p=2\)) e Manhattan (\(p=1\)).
\(d_p(x,y)=\left(\sum_i |x_i-y_i|^p\right)^{1/p}\).
Monótona (Crescente/Decrescente)Análise
Crescente: não diminui; decrescente: não aumenta, em um intervalo.
Se \(f'(x)\ge0\) em \(I\), \(f\) é crescente em \(I\) (condição suficiente).
MediatrizGeometria
Reta perpendicular a um segmento passando por seu ponto médio; locus dos pontos equidistantes dos extremos.
Marginal (Distribuição)Probabilidade
Distribuição de um subconjunto de variáveis obtida por soma/integração das demais.
\(f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dy\) (contínua) ou \(\sum_y p_{X,Y}(x,y)\) (discreta).
MulticonjuntoCombinatória
Coleção onde elementos podem se repetir; conta-se com combinações com repetição.
Número de multisubconjuntos de tamanho \(k\) de \(n\) tipos: \(\binom{n+k-1}{k}\).
Média de uma FunçãoCálculo
Valor médio de \(f\) em \([a,b]\).
\(\displaystyle \bar f=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx\).
Sentiu falta de algum termo com “M”? Deixe nos comentários para atualização.
📘 Dicionário de Matemática — Letra N
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de números (\(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\)) e normal a notações, nível de significância, nabla, núcleo, números primos, perfeitos, triangulares, número de ouro e Newton.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
Números Naturais (\(\mathbb{N}\))Aritmética
Conjunto dos contadores; em muitas convenções inclui o \(0\).
\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}\) ou \(\{1,2,3,\dots\}\).
Números Inteiros (\(\mathbb{Z}\))Aritmética
Naturais, seus opostos e o zero.
\(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\).
Números Racionais (\(\mathbb{Q}\))Teoria dos Números
Razões de inteiros com denominador não nulo.
\(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}: p,q\in\mathbb{Z}, q\neq0\right\}\).
Números IrracionaisAnálise
Não podem ser escritos como razão de inteiros; decimais infinitos não periódicos.
Ex.: \(\sqrt2,\;\pi,\;e\).
Números Reais (\(\mathbb{R}\))Análise
Reúnem racionais e irracionais; completam os “buracos” da reta numérica.
\(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\).
Números Complexos (\(\mathbb{C}\))Análise Complexa
Pares ordenados \((x,y)\) com unidade imaginária \(i^2=-1\).
Forma: \(z=x+iy\);\; módulo \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\);\; argumento \(\arg z\).
Normal (Distribuição)Probabilidade
Distribuição contínua simétrica em torno de \(\mu\) com dispersão \(\sigma\).
PDF: \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\); padronização: \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1)\).
Notação CientíficaAritmética
Escrita de números como mantissa entre 1 e 10 vezes potência de 10.
\(a\times10^n\), com \(1\le a<10\) (ou \(-10<a\le -1\)) e \(n\in\mathbb{Z}\).
Notação AssintóticaAnálise / Algoritmos
Descrições de crescimento: O (cota superior), \(\Theta\) (cota apertada), \(\Omega\) (cota inferior).
Ex.: \(f(n)=\Theta(n\log n)\) implica \(c_1 n\log n\le f(n)\le c_2 n\log n\) para \(n\) grande.
Nabla (\(\nabla\))Cálculo Vetorial
Operador vetorial que gera gradiente, divergência e rotacional.
\(\nabla f\) (gradiente), \(\nabla\cdot \vec F\) (divergência), \(\nabla\times \vec F\) (rotacional).
Núcleo (Espaço Nulo)Álgebra Linear
Conjunto de vetores enviados a \(0\) por uma transformação linear \(T\).
\(\operatorname{Ker}(T)=\{x: T(x)=0\}\);\; teorema posto–nulidade: \(\dim(\operatorname{Im}T)+\dim(\operatorname{Ker}T)=\dim V\).
Nível de SignificânciaEstatística
Probabilidade de rejeitar \(H_0\) quando \(H_0\) é verdadeira (erro tipo I).
\(\alpha=P(\text{rejeitar }H_0\mid H_0 \text{ verdadeira})\); comum: \(0{,}05\), \(0{,}01\).
Número PrimoTeoria dos Números
Inteiro \(\ge2\) com apenas dois divisores positivos (1 e ele mesmo).
Ex.: \(2,3,5,7,11,\dots\); nenhum par além do 2 é primo.
Número CompostoTeoria dos Números
Inteiro \(\ge4\) com mais de dois divisores positivos.
Ex.: \(4=2\cdot2\), \(6=2\cdot3\).
Número PerfeitoTeoria dos Números
Igual à soma de seus divisores próprios.
\(6=1+2+3\), \(28=1+2+4+7+14\); pares perfeitos: \(2^{p-1}(2^p-1)\) com \(2^p-1\) primo de Mersenne.
Número TriangularCombinatória
Arranjo de pontos formando triângulo equilátero.
\(T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\): \(1,3,6,10,\dots\).
Número QuadradoCombinatória
Arranjo de pontos formando um quadrado perfeito.
\(Q_n=n^2\): \(1,4,9,16,\dots\).
Número de Ouro (\(\varphi\))Análise / Geometria
Razão \(\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\), ligada a proporções e à sequência de Fibonacci.
\(\varphi^2=\varphi+1\);\; \(F_{n+1}\approx \varphi^n/\sqrt5\) (Binet).
Newton (Método de Newton–Raphson)Análise Numérica
Iteração para encontrar raízes de \(f(x)=0\) usando tangentes.
\(x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}\); multivariável: \(\mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{x}_k-J_f(\mathbf{x}_k)^{-1}\mathbf{f}(\mathbf{x}_k)\).
Norma de MatrizÁlgebra Linear
Medida do “tamanho” de uma matriz; pode ser induzida por norma vetorial ou Frobenius.
Induzida 2: \(\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^\top A)}\);\; Frobenius: \(\|A\|_F=\sqrt{\sum_{ij}A_{ij}^2}\).
Nível (Classe) em HistogramaEstatística Descritiva
Intervalo (bin) usado para agrupar observações por faixas.
Regra de Sturges: \(k\approx 1+ \log_2 n\) classes; largura \(\approx \frac{\text{amplitude}}{k}\).
Neutro (Elemento)Álgebra
Elemento que não altera o resultado de uma operação.
Aditivo: \(0\) com \(x+0=x\);\; multiplicativo: \(1\) com \(x\cdot1=x\).
N-ésimo Termo (Sequência)Sucessões
Expressão geral que fornece o termo \(a_n\) para qualquer \(n\).
PA: \(a_n=a_1+(n-1)r\);\; PG: \(a_n=a_1 q^{\,n-1}\).
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📘 Dicionário de Matemática — Letra O
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de operações e operadores a ortogonalidade, ordens (estrutura, grandeza, convergência), outliers, odds, otimização e órbitas.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
OperaçãoAritmética / Álgebra
Regra que combina elementos para produzir outro elemento (adição, multiplicação, composição…).
Propriedades típicas: comutativa, associativa, elemento neutro e inverso (quando existir).
OU (Disjunção)Lógica
Conectivo lógico verdadeiro se pelo menos uma proposição é verdadeira.
Tabela-verdade: \(p\lor q\) é falso apenas quando \(p=0\) e \(q=0\).
Operador LinearÁlgebra Linear
Aplicação \(T:V\to W\) que preserva soma e multiplicação escalar.
Linearidade: \(T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)\).
Operador AutoadjuntoÁlgebra Linear
Em espaço com produto interno real, satisfaz \(\langle T x,y\rangle=\langle x,Ty\rangle\).
Matriz simétrica (\(A=A^\top\)); autovalores reais e autovetores ortogonais.
Matriz OrtogonalÁlgebra Linear
Matriz quadrada com colunas/linhas ortonormais; preserva distâncias e ângulos.
\(Q^\top Q=I\) \(\Rightarrow\) \(\det Q=\pm1\).
OrtogonalidadeÁlgebra Linear
Vetores com produto interno nulo.
\(\langle u,v\rangle=0 \Rightarrow u\perp v\).
Base OrtonormalÁlgebra Linear
Base com vetores mutuamente ortogonais e norma 1.
Se \(B=\{e_i\}\) é ortonormal, então \(x=\sum \langle x,e_i\rangle e_i\).
Projeção OrtogonalÁlgebra Linear
Lança \(x\) no subespaço \(S\) minimizando a distância \(\|x-y\|\).
Em base ortonormal \(U\) de \(S\): \(\operatorname{proj}_S(x)=U(U^\top U)^{-1}U^\top x=UU^\top x\).
OrtocentroGeometria
Ponto de encontro das três alturas de um triângulo.
Em triângulo acutângulo, ortocentro fica no interior; retângulo, no vértice do ângulo reto.
Ordem (Parcial e Total)Conjuntos / Lógica
Relação reflexiva, antissimétrica e transitiva (parcial). Se comparável todo par, é total.
Ex.: \((\mathcal{P}(X),\subseteq)\) é parcialmente ordenado; \((\mathbb{R},\le)\) é totalmente ordenado.
Ordem de um ElementoÁlgebra Abstrata
Menor \(m\ge1\) tal que \(g^m=e\) (em grupos); infinito se não existir tal \(m\).
Em \((\mathbb{Z}_n,+)\), \(\operatorname{ord}(k)=\dfrac{n}{\gcd(n,k)}\).
Ordem de GrandezaEscalas / Modelagem
Classe aproximada por potência de 10; útil para estimativas Fermi.
Se \(x\in[3,16)\times 10^k\), diz-se \(x\) de ordem \(10^{k+1}\) (convenções variam).
Ordem da EDOEquações Diferenciais
Maior ordem de derivada presente na equação.
Ex.: \(y”+p(x)y’+q(x)y=0\) é de 2ª ordem.
Ordem de ConvergênciaAnálise Numérica
Taxa com que um método aproxima a solução.
Se \(e_{k+1}\approx C e_k^p\) perto da solução, o método é de ordem \(p\) (Newton: \(p=2\)).
Outlier (Valor Atípico)Estatística
Observação distante do padrão dos dados; pode indicar variabilidade real ou erro.
Regra do IQR: outlier se \(x<Q_1-1{,}5\,IQR\) ou \(x>Q_3+1{,}5\,IQR\).
Odds (Chances)Probabilidade
Razão entre probabilidade de sucesso e de fracasso.
\(\text{odds}=\dfrac{p}{1-p}\);\; log-odds (logit): \(\ln\dfrac{p}{1-p}\).
Razão de Chances (Odds Ratio)Estatística
Compara odds entre dois grupos; muito usada em estudos caso-controle e regressão logística.
\(\mathrm{OR}=\dfrac{p_1/(1-p_1)}{p_2/(1-p_2)}\); em tabela 2×2: \(\mathrm{OR}=\dfrac{ad}{bc}\).
OtimizaçãoOtimização
Busca de máximos/mínimos de uma função possivelmente com restrições.
Sem restrição: \(\nabla f(x^\*)=0\); com restrição \(g(x)=0\): ver multiplicadores de Lagrange.
Função ObjetivoOtimização
Função cujo valor queremos maximizar ou minimizar.
Programação linear: maximizar \(c^\top x\) s.a. \(Ax\le b\), \(x\ge0\).
ÓrbitaSist. Dinâmicos / Grupos
Conjunto de pontos alcançados iterando um mapa ou agindo por um grupo.
Para \(f:X\to X\): \(\mathcal{O}(x)=\{f^n(x):n\in\mathbb{Z}\}\). Em grupos: órbita de \(x\) sob \(G\) é \(\{g\cdot x:g\in G\}\).
Ordens EstatísticasEstatística
Amostra ordenada \(X_{(1)}\le \cdots\le X_{(n)}\); úteis para mediana, quantis e testes não paramétricos.
Mediana (n ímpar): \(X_{((n+1)/2)}\); (n par): média de \(X_{(n/2)}\) e \(X_{(n/2+1)}\).
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📘 Dicionário de Matemática — Letra P
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de probabilidade e permutação a produtos, polinômios, PA, planos, pontos, Poisson e Pitágoras.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
ProbabilidadeProbabilidade
Medida entre 0 e 1 que quantifica a chance de um evento ocorrer.
\(\mathbb{P}(\Omega)=1\), \(\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)\).
Probabilidade CondicionalProbabilidade
Probabilidade de \(A\) dado que \(B\) ocorreu.
\(\mathbb{P}(A\mid B)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}\), \(\mathbb{P}(B)>0\).
Probabilidade TotalProbabilidade
Decomposição da probabilidade via partição do espaço amostral.
Se \(\{B_i\}\) é partição e \(\mathbb{P}(B_i)>0\): \(\mathbb{P}(A)=\sum_i \mathbb{P}(A\mid B_i)\mathbb{P}(B_i)\). (Ver também Bayes na letra B.)
p-valorEstatística
Probabilidade de observar resultado tão extremo quanto o obtido (ou mais), assumindo \(H_0\) verdadeira.
Rejeita-se \(H_0\) se \(p\le \alpha\) (nível de significância).
PercentilEstatística Descritiva
Valor abaixo do qual está uma dada porcentagem dos dados.
Percentil \(k\): posição aproximada \(L=\dfrac{k}{100}(n+1)\) em dados ordenados.
Porcentagem (Percentual)Aritmética
Proporção em partes por 100.
\(x\%\) de \(y\) = \(\dfrac{x}{100}\,y\); aumento \(r\%\): \(y(1+r/100)\).
ProporçãoAritmética / Estatística
Razão de parte sobre todo (ou relação entre duas razões iguais).
Se \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), então \(ad=bc\).
Permutação (Simples)Combinatória
Arranjos de \(n\) elementos distintos em ordem.
\(P_n=n!\).
Permutação com RepetiçãoCombinatória
Arranjos quando há elementos iguais.
De \(n\) itens com contagens \(n_1,\dots,n_k\): \(\dfrac{n!}{n_1!\cdots n_k!}\).
Permutação CircularCombinatória
Arranjos em círculo, onde rotações equivalem.
\((n-1)!\) para \(n\) distintos em volta de uma mesa.
Princípio Aditivo (Regra da Soma)Combinatória
Se eventos são disjuntos, o total é a soma dos casos.
Se \(A\cap B=\varnothing\): \(|A\cup B|=|A|+|B|\).
Princípio Multiplicativo (Regra do Produto)Combinatória
Se etapas independentes têm \(a\) e \(b\) escolhas, o total é \(ab\).
Sequência de \(k\) etapas: \(\prod_{i=1}^k n_i\).
Princípio das Gavetas (Dirichlet)Combinatória
Se \(n+1\) objetos são colocados em \(n\) caixas, alguma caixa terá ≥2 objetos.
Forma geral: com \(\sum c_i\) objetos e \(\sum b_i\) caixas, algum \(i\) tem \(c_i>b_i\).
Produto CartesianoConjuntos
Conjunto de pares ordenados de dois conjuntos.
\(A\times B=\{(a,b):a\in A,\;b\in B\}\).
Produto EscalarÁlgebra Linear
Associa a dois vetores um número, respeitando linearidade, simetria e positividade.
\(\langle x,y\rangle=\sum_i x_i y_i\); ângulo: \(\cos\theta=\dfrac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|}\).
Produto Interno (Geral)Análise Funcional
Generaliza produto escalar para espaços de funções/vetores abstratos.
Projeção: \( \operatorname{proj}_u v=\dfrac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}u\).
Produto Misto (Triplo Escalar)Geometria / Vetores
Volume assinado do paralelepípedo definido por \(u,v,w\).
\([u,v,w]=u\cdot(v\times w)=\det[u\;v\;w]\).
PolinômioÁlgebra
Expressão \(a_n x^n+\cdots+a_1x+a_0\) com coeficientes em um corpo.
Grau: \(\deg p=\max\{k:a_k\ne0\}\); divisão euclidiana em \(\mathbb{K}[x]\).
Polinômio CaracterísticoÁlgebra Linear
\(p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\); raízes são autovalores de \(A\).
Teorema de Cayley–Hamilton: \(p_A(A)=0\).
Polinômio MínimoÁlgebra Linear
Menor grau moníc. \(m_A\) tal que \(m_A(A)=0\); divide \(p_A\).
Diagonalizabilidade se \(m_A\) não tem raízes repetidas (em corpo alg. fechado).
Progressão Aritmética (PA)Sucessões
Sequência de razão constante \(r\) entre termos consecutivos.
Geral: \(a_n=a_1+(n-1)r\);\; soma: \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\).
Plano CartesianoGeometria Analítica
Plano definido por eixos perpendiculares \(x\) e \(y\); pontos \((x,y)\).
Distância: \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
Plano TangenteCálculo Multivariável
Plano que melhor aproxima uma superfície \(z=f(x,y)\) perto de \((x_0,y_0)\).
\(z\approx f_0+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\).
Ponto MédioGeometria
Ponto no meio do segmento entre \(A(x_1,y_1)\) e \(B(x_2,y_2)\).
\(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\).
Ponto CríticoCálculo
Ponto onde \(f'(x)=0\) ou \(f’\) não existe; candidato a extremo.
Teste 2ª deriv.: \(f”(x_0)>0\) mínimo, \(f”(x_0)<0\) máximo, mudança de sinal dá inflexão.
Teorema de PitágorasGeometria
Em triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
\(c^2=a^2+b^2\); distância euclidiana decorre desse teorema.
Processo de PoissonProcessos Estocásticos
Modelo de contagem de eventos raros, com incrementos independentes e estacionários.
\(\mathbb{P}(N(t)=k)=e^{-\lambda t}\dfrac{(\lambda t)^k}{k!}\); interchegadas \(\sim\) Exponencial(\(\lambda\)).
Distribuição de PoissonProbabilidade
Distribuição discreta para número de eventos em intervalo fixo com taxa \(\lambda\).
\(\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\), \(k=0,1,2,\dots\).
Distribuição de ParetoProbabilidade
Modelo de cauda pesada para riqueza, tamanho de cidades etc.
CDF: \(F(x)=1-\left(\dfrac{x_{\min}}{x}\right)^{\alpha}\), \(x\ge x_{\min}>0\), \(\alpha>0\).
Pivô (Eliminação de Gauss)Álgebra Linear / Numérico
Elemento escolhido para zerar entradas abaixo/acima numa coluna; afeta estabilidade numérica.
Com pivotamento parcial, troca-se linhas para maximizar \(|a_{ik}|\) na coluna \(k\).
Função Massa de Probabilidade (pmf)Probabilidade
Para variável discreta, atribui probabilidade a cada valor possível.
\(\sum_x p_X(x)=1\);\; \(\mathbb{P}(X\in A)=\sum_{x\in A} p_X(x)\).
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📘 Dicionário de Matemática — Letra Q
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de quadrado e equação quadrática a quádricas, quocientes, quantis/quartis, q-valor, quase certamente, quatérnios e quadratura.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
Quadrado (Operação)Aritmética
Elevar um número a 2.
\(x^2=x\cdot x\); identidade: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
Quadrado PerfeitoTeoria dos Números
Inteiro da forma \(n=m^2\) para algum \(m\in\mathbb{Z}\).
Ex.: \(1,4,9,16,25,\dots\).
Equação QuadráticaÁlgebra
Equação de 2º grau: \(ax^2+bx+c=0\), \(a\neq0\).
Solução (Bháskara): \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\); discriminante \( \Delta=b^2-4ac\).
Função Quadrática (Parábola)Funções
\(f(x)=ax^2+bx+c\) com gráfico parabólico.
Vértice: \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\), \(y_v=f(x_v)\); abertura para cima se \(a>0\).
Forma QuadráticaÁlgebra Linear
Expressão \(Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^\top A\mathbf{x}\) com \(A\) simétrica.
Definida positiva se \(Q(\mathbf{x})>0\) para \(\mathbf{x}\neq0\).
QuadriláteroGeometria
Polígono de 4 lados (ex.: quadrado, retângulo, losango, trapézio).
Soma dos ângulos internos: \(360^\circ\).
Quadrilátero CíclicoGeometria
Possui circunferência circunscrita.
Ângulos opostos somam \(180^\circ\); área de Brahmagupta: \(A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\) para lados \(a,b,c,d\) e semiperímetro \(s\).
Quadrilátero TangencialGeometria
Admite círculo inscrito tangente aos quatro lados.
Teorema de Pitot: \(a+c=b+d\) (soma de lados opostos).
Quádricas (Cônicas/ Superfícies)Geometria Analítica
Curvas/superfícies descritas por equações quadráticas.
Plano: \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\); classificação via \(B^2-4AC\).
Quadratura (Integração Numérica)Numérico
Aproximação de integrais por somas ponderadas.
Gauss–Legendre: \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)\) (raízes de \(P_n\)).
Quadratura do CírculoHistória / Geometria
Problema clássico: construir, com régua e compasso, um quadrado de mesma área que um círculo.
Impossível pois \(\pi\) é transcendente (não construível por radicais).
Quociente (Divisão Euclidiana)Aritmética
Para inteiros \(a\) e \(b\neq0\), existem únicos \(q,r\) com \(a=bq+r\) e \(0\le r<|b|\).
\(q=\left\lfloor \dfrac{a}{b}\right\rfloor\), \(r=a-bq\).
Regra do Quociente (Derivadas)Cálculo
Derivada de \(f/g\) com \(g\neq0\).
\(\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)’=\frac{f’g-fg’}{g^2}\).
Espaço QuocienteTopologia
Espaço obtido “colando” pontos segundo uma relação de equivalência.
Projeção \(p:X\to X/{\sim}\) é contínua e aberta em muitas situações; topologia final por \(p\).
Grupo QuocienteÁlgebra Abstrata
Conjunto das classes laterais \(G/N\) quando \(N\) é subgrupo normal de \(G\).
Operação: \((aN)\cdot(bN)=(ab)N\).
Quociente de RayleighÁlgebra Linear / Numérico
Estimativa de autovalor associada a um vetor não nulo \(x\).
\(R_A(x)=\dfrac{x^\top A x}{x^\top x}\); máximo/mínimo em autovetores extremos de \(A\) simétrica.
Quociente de VerossimilhançaEstatística
Compara ajuste de \(H_1\) contra \(H_0\) por razões de máximas verossimilhanças.
\(\Lambda=\dfrac{\sup_{\theta\in\Theta_0} L(\theta)}{\sup_{\theta\in\Theta} L(\theta)}\); estatística \(-2\ln\Lambda\) (assint. \(\chi^2\)).
QuantilEstatística
Ponto que separa uma fração \(p\) dos dados/distribuição.
\(x_p=F^{-1}(p)\) se \(F\) é contínua; na amostra usa-se interpolação sobre dados ordenados.
QuartilEstatística Descritiva
Quantis em \(25\%\) (Q1), \(50\%\) (mediana, Q2) e \(75\%\) (Q3).
Amplitude interquartil: \(IQR=Q_3-Q_1\) (robusta a outliers).
q-valor (FDR)Estatística / Múltiplos Testes
Menor taxa de falsos descobrimentos (FDR) para a qual uma hipótese seria considerada significativa.
Relacionado à ordenação de \(p\)-valores no procedimento de Benjamini–Hochberg.
Quase Certamente (q.c.)Probabilidade
Evento que ocorre com probabilidade 1, podendo falhar em um conjunto de medida zero.
Se \(P(A)=1\), então \(A\) ocorre q.c.; difere de “sempre”.
Quase TodoMedida / Análise
Propriedade que vale exceto em um conjunto de medida nula.
Escreve-se “para q.t. \(x\) em \(E\)”.
Quase-ConvexaOtimização / Análise
Função cujos subníveis \(\{x:f(x)\le\alpha\}\) são convexos.
Implica que todo mínimo local é global no conjunto convexo de nível.
QuadranteGeometria Analítica
Uma das quatro regiões do plano cartesiano definidas pelos eixos.
I: \(x>0,y>0\); II: \(x<0,y>0\); III: \(x<0,y<0\); IV: \(x>0,y<0\).
Quadrado MágicoCombinatória
Arranjo \(n\times n\) de inteiros com a mesma soma em linhas, colunas e diagonais.
Soma mágica \(S=n\frac{n^2+1}{2}\) (para \(1\) a \(n^2\)).
Quatérnios (\(\mathbb{H}\))Álgebra
Extensão não comutativa dos complexos: \(a+bi+cj+dk\).
\(i^2=j^2=k^2=ijk=-1\);\; \(ij=k,\; jk=i,\; ki=j\) e anti-comutatividade \(ij=-ji\).
Q.E.D. / C.Q.D.Provas
“Quod Erat Demonstrandum” / “Como Queríamos Demonstrar”: marca o fim de uma demonstração.
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📘 Dicionário de Matemática — Letra R
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de radiano, raiz e razão a regressão, rotacional, relações, Riemann, RREF e raios do triângulo.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
RadianoMedidas
Unidade natural de ângulo: arco igual ao raio sobre a circunferência.
Conversão: \(1\,\text{rad}=\dfrac{180}{\pi}^\circ\);\; \(1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\,\text{rad}\).
Raiz QuadradaAritmética / Álgebra
Número \(r\ge0\) tal que \(r^2=a\) para \(a\ge0\).
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b\) (para \(a,b\ge0\)); \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\) (\(b>0\)).
Raiz \(n\)-ésimaAritmética
Número \(r\) tal que \(r^n=a\); se \(n\) é par e \(a\ge0\), toma-se a principal \(r\ge0\).
\(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\) (com restrições usuais de domínio).
Raiz de PolinômioÁlgebra
Número \(r\) tal que \(p(r)=0\).
Teorema Fundamental da Álgebra: todo polinômio não constante tem \(n\) raízes (contando multiplicidades) em \(\mathbb{C}\).
RazãoAritmética
Comparação entre grandezas do mesmo tipo por divisão.
\(\dfrac{a}{b}=k \iff a=kb\) (\(b\neq 0\)); em PG, a razão é \(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\).
Regra de TrêsAritmética
Método para resolver proporções diretas ou inversas.
Direta: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{x}\Rightarrow x=\dfrac{bc}{a}\);\; inversa: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{c}\Rightarrow x=\dfrac{ac}{b}\).
Regra da CadeiaCálculo
Derivada de função composta.
\((f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\);\; multivariável: \(\nabla(f\circ g)=J_g^\top\nabla f\big|_{g}\).
Regra de CramerÁlgebra Linear
Resolve \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) com \(A\) quadrada e \(\det A\neq0\) via determinantes.
\(x_i=\dfrac{\det A_i}{\det A}\), onde \(A_i\) é \(A\) com a coluna \(i\) trocada por \(\mathbf{b}\).
Regra de SarrusÁlgebra Linear
Atalho para calcular determinante \(3\times3\).
\(\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\) (as três diagonais secundárias).
Regressão LinearEstatística
Modelo \(y=\beta_0+\beta_1 x+\varepsilon\) estimado por mínimos quadrados.
\(\hat\beta=(X^\top X)^{-1}X^\top y\);\; \(R^2=1-\dfrac{\text{SQRes}}{\text{SQT}}\).
Regressão LogísticaEstatística / ML
Modelo para resposta binária com link logit.
\(\mathbb{P}(Y=1\mid x)=\sigma(\beta_0+\beta^\top x)=\dfrac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta^\top x)}}\).
Resto (Divisão Euclidiana)Aritmética
Em \(a=bq+r\), o número \(r\) com \(0\le r<|b|\).
\(r=a-b\left\lfloor \dfrac{a}{b}\right\rfloor\).
Teorema do Resto (Polinômios)Álgebra
O resto de dividir \(p(x)\) por \(x-a\) é \(p(a)\).
Briot–Ruffini implementa a divisão sintética eficiente.
Racionalização de DenominadoresÁlgebra
Eliminar radicais do denominador por multiplicação por conjugado.
\(\dfrac{1}{\sqrt a+\sqrt b}\cdot\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}=\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}\).
RotacionalCálculo Vetorial
Mede a tendência de “rodar” de um campo vetorial em \(\mathbb{R}^3\).
\(\nabla\times \vec F=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}\).
RotaçãoGeometria / Álgebra Linear
Isometria que gira pontos em torno de um centro/eixo.
2D: \(R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\);\; 3D eixos \(x,y,z\) análogos.
ReflexãoGeometria / Álgebra Linear
Isometria que espelha pontos em relação a uma reta/plano.
Em 2D por reta unitária \(u\): \(H=I-2uu^\top\).
RetaGeometria Analítica
Conjunto de pontos colineares no plano/espaço.
Equações: \(y=mx+b\); geral \(Ax+By+C=0\);\; paramétrica \(r(t)=p+tv\).
Retas Paralelas e PerpendicularesGeometria Analítica
Paralelas têm mesma inclinação; perpendiculares têm produto das inclinações \(=-1\) (no plano cartesiano).
Se \(y=m_1x+b_1\) e \(y=m_2x+b_2\): paralelas \(m_1=m_2\); perpendiculares \(m_1m_2=-1\).
RetânguloGeometria
Quadrilátero com quatro ângulos retos; é um paralelogramo.
Área \(A=ab\); diagonal \(d=\sqrt{a^2+b^2}\).
RelaçãoConjuntos / Lógica
Subconjunto \(R\subseteq A\times B\) que relaciona elementos de \(A\) com \(B\).
Propriedades (em \(A\times A\)): reflexiva, simétrica, antissimétrica, transitiva.
Relação de EquivalênciaConjuntos
Reflexiva, simétrica e transitiva; particiona o conjunto em classes de equivalência.
Classe de \(a\): \([a]=\{x\in A:(x,a)\in R\}\).
Relação de OrdemConjuntos
Reflexiva, antissimétrica e transitiva (parcial); se todo par é comparável, é total.
Ex.: \((\mathbb{N},\le)\) é ordem total; \((\mathcal{P}(X),\subseteq)\) é parcial.
Relação de Recorrência LinearSucessões / Combinatória
Define \(a_n\) a partir de termos anteriores.
Homogênea com coef. const.: \(a_n=c_1a_{n-1}+\cdots+c_k a_{n-k}\); solução via equação característica.
Resíduo (Análise Complexa)Análise Complexa
Coeficiente de \((z-z_0)^{-1}\) na série de Laurent de \(f\) em \(z_0\).
Teorema dos Resíduos: \(\displaystyle \oint_\gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname{Res}(f;z_k)\).
Resíduo Módulo \(m\)Teoria dos Números
Classe residual de um inteiro \(a\) em \(\mathbb{Z}_m\).
\(a\equiv b\pmod m \iff m\mid (a-b)\);\; representantes \(0,1,\dots,m-1\).
Integral de RiemannAnálise
Limite de somas de Riemann se existir, para funções limitadas em \([a,b]\).
\(\displaystyle \int_a^b f=\lim_{\|\mathcal{P}\|\to0}\sum f(\xi_i)\,\Delta x_i\).
Soma de RiemannAnálise
Aproxima a integral por amostras por subintervalo.
\(\displaystyle S=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\), com \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\).
Raio de ConvergênciaSéries de Potências
Maior \(R\) tal que \(\sum a_n(x-x_0)^n\) converge para \(|x-x_0|<R\).
Teste da razão: \(R=\dfrac{1}{\limsup |a_{n+1}/a_n|}\); teste da raiz: \(R=\dfrac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}\).
RREF (Forma Escalonada Reduzida)Álgebra Linear
Forma de matriz com pivôs 1 e zeros acima/abaixo, única para cada matriz.
Obtida por operações elementares de linha; útil para resolver sistemas e calcular posto.
Rank (Posto)Álgebra Linear
Dimensão da imagem de uma transformação/matriz (nº de pivôs).
Teorema posto–nulidade: \(\operatorname{rank}(A)+\operatorname{null}(A)=n\) para \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\).
Raio (Circunferência)Geometria
Distância do centro a qualquer ponto da circunferência.
Perímetro: \(2\pi r\);\; área: \(\pi r^2\).
Raio Inscrito (\(r\))Geometria do Triângulo
Raio do círculo inscrito no triângulo.
Com semiperímetro \(s\) e área \(A\): \(A=rs\).
Raio Circunscrito (\(R\))Geometria do Triângulo
Raio do círculo circunscrito ao triângulo.
\(A=\dfrac{abc}{4R}\);\; também \(a=2R\sin A\) etc.
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📘 Dicionário de Matemática — Letra S
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de soma, seno e sequência a série, supremo, sistema linear, SVD, sigma-álgebra, Simpson e substituição trigonométrica.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
Soma (Adição)Aritmética
Operação que combina quantidades, comutativa e associativa.
Propriedades: \(a+b=b+a\); \((a+b)+c=a+(b+c)\); elemento neutro \(0\).
SubtraçãoAritmética
Operação inversa da adição; não comutativa.
\(a-b=a+(-b)\);\; \(a-b\ne b-a\) em geral.
SenoTrigonometria
Razão entre cateto oposto e hipotenusa em triângulo retângulo; função periódica.
\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\);\; derivada: \((\sin x)’=\cos x\).
SecanteTrigonometria
Recíproca do cosseno.
\(\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\);\; identidade: \(\tan^2x+1=\sec^2x\).
SequênciaSucessões
Função \(a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{C}\)); lista ordenada de termos.
Ex.: \(a_n=\dfrac{1}{n}\to0\); PA/PG: \(a_n=a_1+(n-1)r\), \(a_n=a_1q^{n-1}\).
SubsequênciaAnálise
Sequência obtida escolhendo termos por índices crescentes \(n_k\).
Se \(a_{n_k}\to L\), então \(L\) é ponto de acumulação de \(\{a_n\}\).
SérieSéries
Soma infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \); converge se somas parciais têm limite.
Testes úteis: razão, raiz, comparação, integral, alternada (Leibniz).
Série GeométricaSéries
Série com termos em PG.
\(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n=\dfrac{a}{1-r}\) para \(|r|<1\); soma parcial \(S_n=a\dfrac{1-r^{n}}{1-r}\).
Somatório (Notação \(\Sigma\))Notação
Símbolo para soma indexada.
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+1)}{2}\);\; linearidade: \(\sum (a_i+b_i)=\sum a_i+\sum b_i\).
Supremo (sup)Análise
Menor limitante superior de um conjunto.
Se \(M=\sup A\), então \(x\le M\) para todo \(x\in A\) e, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(x\in A\) com \(x>M-\varepsilon\).
SubconjuntoConjuntos
\(A\subseteq B\) se todo elemento de \(A\) está em \(B\).
Próprio: \(A\subset B\) e \(A\ne B\); operações: união, interseção, complemento.
Subespaço VetorialÁlgebra Linear
Subconjunto fechado por soma e por multiplicação escalar, contendo o vetor nulo.
Critério: se \(u,v\in S\Rightarrow u+v\in S\) e \(\alpha u\in S\) (\(\forall\alpha\in\mathbb{K}\)).
SubgrupoÁlgebra Abstrata
Conjunto \(H\subseteq G\) que é grupo com a operação de \(G\).
Teste: \(H\neq\varnothing\) e \(ab^{-1}\in H\) para \(a,b\in H\) \(\Rightarrow\) \(H\) é subgrupo.
Sobrejetora (Função)Funções
Cada elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio.
\(f:A\to B\) é sobrejetora se \(f(A)=B\).
Segmento de RetaGeometria
Parte da reta entre \(A\) e \(B\).
Comprimento: \(|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
Semelhança de TriângulosGeometria
Triângulos com ângulos correspondentes iguais e lados proporcionais.
Critérios: AA, LAL, LLL; razão de áreas \(=\) razão de lados ao quadrado.
Sistema LinearÁlgebra Linear
Conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas.
Forma matricial: \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\);\; solução via escalonamento, inversa (se existir) ou decomposições.
SVD — Valores SingularesÁlgebra Linear / Numérico
Fatoração \(A=U\Sigma V^\top\) com \(U,V\) ortogonais e \(\Sigma\) diagonal não negativa; robusta para pseudo-inversa e PCA.
Pseudo-inversa de Moore–Penrose: \(A^+=V\Sigma^+U^\top\) (inverte valores singulares não nulos).
Matriz SingularÁlgebra Linear
Matriz quadrada não invertível (\(\det A=0\)).
Equivalências: \(\operatorname{rank}(A)<n\); colunas/linhas linearmente dependentes.
Sigma-álgebra (\(\sigma\)-álgebra)Medida / Probabilidade
Coleção de subconjuntos fechada por complemento e uniões contáveis; define eventos mensuráveis.
Se \(\mathcal{F}\) é \(\sigma\)-álgebra em \(\Omega\): \(\varnothing\in\mathcal{F}\), \(A\in\mathcal{F}\Rightarrow A^c\in\mathcal{F}\), \(A_i\in\mathcal{F}\Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal{F}\).
Regra de SimpsonCálculo Numérico
Fórmula de quadratura que aproxima integrais por parábolas locais.
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6}\big[f(a)+4f(\tfrac{a+b}{2})+f(b)\big]\).
Substituição TrigonométricaCálculo
Técnica para integrais com raízes quadráticas.
Ex.: \(\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin\theta\);\; \(\sqrt{x^2+a^2}\Rightarrow x=a\tan\theta\);\; \(\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec\theta\).
Série de PotênciasAnálise
Expansão \(\sum a_n(x-x_0)^n\) com raio de convergência \(R\).
Deriva/integraliza termo a termo em \(|x-x_0|<R\); \(R\) via testes da razão/raiz.
Suporte (de Função/Medida)Análise
Fecho do conjunto onde a função/medida não é nula.
\(\operatorname{supp}(f)=\overline{\{x: f(x)\ne0\}}\).
Superfície de NívelCálculo Multivariável
Conjunto \(\{(x,y,z): f(x,y,z)=c\}\) (ou curva de nível em 2D).
Gradiente é normal às superfícies: \(\nabla f\perp\) superfícies de nível.
Sistema EsféricoGeometria / Cálculo
Coordenadas \((\rho,\theta,\varphi)\) para pontos em \(\mathbb{R}^3\).
Jacobiano: \(dV=\rho^2\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta\);\; \(x=\rho\sin\varphi\cos\theta\), \(y=\rho\sin\varphi\sin\theta\), \(z=\rho\cos\varphi\).
Sistema CilíndricoGeometria / Cálculo
Coordenadas \((r,\theta,z)\) misturando polares e cartesianas.
Jacobiano: \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\);\; \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\).
Spline (Interpolação)Numérico / Geometria
Curva por partes (geralmente cúbica) suave em nós, usada para interpolar/alisar dados.
Spline cúbica natural: \(S”(a)=S”(b)=0\) e continuidade de \(S, S’, S”\) nos nós.
SubgrafoTeoria dos Grafos
Grafo obtido de \(G\) restringindo vértices/arestas.
Induzido por \(V’\subseteq V\): inclui todas as arestas de \(G\) com extremos em \(V’\).
Soma de MinkowskiGeometria / Convexidade
Soma de conjuntos vetoriais ponto a ponto.
\(A\oplus B=\{a+b:\, a\in A,\; b\in B\}\);\; preserva convexidade.
SigmoideModelagem / ML
Função em “S” usada como ativação e em regressão logística.
\(\sigma(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}\);\; \(\sigma'(x)=\sigma(x)\big(1-\sigma(x)\big)\).
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📘 Dicionário de Matemática — Letra T
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de tangente, Taylor e transformada de Fourier a Teorema Fundamental do Cálculo, Tales, TVM, TCL, t de Student, topologia, transposta e traço.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
TangenteTrigonometria
Razão entre seno e cosseno; inclinação da reta tangente em \(y=\sin x/\cos x\).
\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\);\; identidade: \(\tan^2x+1=\sec^2x\);\; derivada: \((\tan x)’=\sec^2 x\).
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)Cálculo
Conecta derivação e integração: antiderivada calcula integrais definidas.
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) se \(F’=f\); e \(\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\).
Teorema do Valor Médio (TVM)Cálculo
Há um ponto onde a derivada iguala a taxa média.
Se \(f\) contínua em \([a,b]\) e diferenciável em \((a,b)\), \(\exists c\) com \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Série/Polinômio de TaylorSéries / Cálculo
Expansão de \(f\) em potências ao redor de \(a\) usando derivadas.
\(f(x)=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\); resto de Lagrange: \(R_{n+1}=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\).
Teorema de TalesGeometria
Retas paralelas determinam segmentos proporcionais em transversais.
\(\dfrac{A B}{A’C’}=\dfrac{A D}{A’E’}=\dfrac{B D}{C’E’}\) em triângulos/polígonos com paralelas correspondentes.
Triângulo (Área e Classificações)Geometria
Polígono de três lados (equilátero, isósceles, escaleno; acutângulo, retângulo, obtusângulo).
Áreas: \(A=\frac{bh}{2}\); Heron: \(A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), \(s=\frac{a+b+c}{2}\).
Desigualdade TriangularAnálise / Geometria
Comprimento da soma não excede a soma dos comprimentos.
\(\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|\);\; em \(\mathbb{R}^n\) com norma euclidiana decorre de Cauchy–Schwarz.
Transformada de Fourier (TF)Sinais / Análise
Decompõe um sinal em frequências; par de transformadas liga tempo e frequência.
Contínua: \(\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt\);\; Inversa: \(f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)e^{i\omega t}d\omega\).
Transformada Discreta de Fourier (DFT)Numérico / Sinais
Versão discreta usada em computação (FFT calcula a DFT eficientemente).
\(\displaystyle X_k=\sum_{n=0}^{N-1} x_n\,e^{-i2\pi kn/N}\), \(k=0,\dots,N-1\).
TopologiaTopologia
Coleção de abertos em \(X\) que define continuidade e vizinhança.
Condições: \(\varnothing,X\) abertos; união arbitrária e interseção finita de abertos são abertas.
Topologia ProdutoTopologia
Topologia mais “fraca” que torna projeções contínuas em \(X\times Y\).
Base: \(U\times V\) com \(U\) aberto em \(X\) e \(V\) aberto em \(Y\).
Transposta (Matriz)Álgebra Linear
Matriz \(A^\top\) obtida trocando linhas por colunas.
\((AB)^\top=B^\top A^\top\);\; \((A^\top)^\top=A\);\; \(x^\top Ay=\langle Ax,y\rangle\) (produto interno padrão).
Traço (trace)Álgebra Linear
Soma dos elementos da diagonal principal.
\(\operatorname{tr}(A)=\sum_i a_{ii}\);\; \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\).
TensorÁlgebra Multilinear
Objeto multilinear que generaliza escalares, vetores e matrizes a ordens maiores.
Produto externo: \((u\otimes v)_{ij}=u_i v_j\);\; contração reduz índices somando.
Transformação LinearÁlgebra Linear
Mapa \(T\) que preserva somas e escalares.
\(T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)\); representada por matriz em bases escolhidas.
Transformação AfimGeometria Analítica
Composição de linear com translação; preserva paralelismo e razão de segmentos colineares.
\(x\mapsto Ax+b\);\; se \(A\) é ortogonal, é isometria composta com translação.
TranslaçãoGeometria
Desloca todos os pontos por um vetor fixo.
\(T_v(x)=x+v\);\; distância e orientações preservadas.
Distribuição t de StudentEstatística
Distribuição simétrica usada com variância populacional desconhecida.
PDF: \(\displaystyle f(t)=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\), g.l. \(\nu\).
Teste t (uma/duas amostras, pareado)Estatística
Compara média(s) quando \(\sigma\) é desconhecido, assumindo normalidade (ou \(n\) grande).
Uma amostra: \(t=\dfrac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\), g.l. \(=n-1\);\; duas amostras (variâncias iguais): \(t=\dfrac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\).
Teorema Central do Limite (TCL)Probabilidade
A soma (ou média) de i.i.d. com variância finita tende à normal quando \(n\) cresce.
\(\displaystyle \frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)\).
Regra do TrapézioCálculo Numérico
Aproxima integrais por segmentos de reta entre pontos adjacentes.
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\approx \frac{b-a}{2}\big[f(a)+f(b)\big]\); composta usa partição uniforme.
Série TelescópicaSéries
Série em que termos cancelam parcialmente, restando poucos termos.
Ex.: \(\sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}\to1\).
Número TranscendenteTeoria dos Números
Não é raiz de nenhum polinômio não nulo com coeficientes inteiros.
Exemplos: \(\pi\), \(e\); números algébricos são o complemento em \(\mathbb{C}\).
Triângulo Retângulo (Razões Trig.)Trigonometria
Triângulo com um ângulo de \(90^\circ\); define sen, cos, tan.
\(\sin\theta=\dfrac{\text{oposto}}{\text{hip}}\), \(\cos\theta=\dfrac{\text{adj}}{\text{hip}}\), \(\tan\theta=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adj}}\).
Transformada de CoordenadasCálculo Multivariável
Mudança de variáveis em integrais; fator de escala é o Jacobiano.
\(\displaystyle \iiint_R f(x)\,dV=\iiint_{R’} f(\phi(u))\,|\det J_\phi(u)|\,du\).
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📘 Dicionário de Matemática — Letra U
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de união e universo a um-para-um, uniforme, unitário, ultramétrica e u-substituição.
Como usar
Cada verbete traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e uma fórmula/exemplo (faixa roxa) quando aplicável.
União (\(\cup\))Teoria dos Conjuntos
Conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos.
Propriedades: \(A\cup B=B\cup A\) (comutativa), \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\) (associativa), \(A\cup\varnothing=A\). De Morgan: \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\).
União Disjunta (\(\uplus\))Conjuntos / Combinatória
União de conjuntos sem interseção, preservando multiplicidades/classe de origem.
Se \(A\cap B=\varnothing\), então \(|A\uplus B|=|A|+|B|\). Para contagem com rótulo de origem, usa-se \(\uplus\).
Universo (Conjunto Universal)Teoria dos Conjuntos
Conjunto de referência que contém todos os elementos considerados em um contexto.
Complemento relativo: \(A^c=U\setminus A\). Leis: \(A\cup A^c=U\), \(A\cap A^c=\varnothing\).
Um-para-Um (Injetora)Funções
Função que não identifica elementos distintos do domínio.
\(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\). Bijetora \(\iff\) injetora e sobrejetora; só então existe inversa \(f^{-1}\).
Uniforme (Contínua)Probabilidade
Distribuição com densidade constante em \([a,b]\).
PDF: \(f(x)=\frac{1}{b-a}\) em \([a,b]\); média \(\mu=\frac{a+b}{2}\), variância \(\sigma^2=\frac{(b-a)^2}{12}\).
Uniforme (Discreta)Probabilidade
Todos os \(n\) valores possíveis têm mesma probabilidade.
PMF: \(\mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{n}\), \(k\in\{1,\dots,n\}\); \(\mathbb{E}[X]=\frac{n+1}{2}\).
Continuidade UniformeAnálise
Mesma \(\delta\) funciona para todos os pontos do domínio.
\(\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:\ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\) (para todos \(x,y\)). Em intervalos fechados, toda contínua é uniformemente contínua (Heine–Cantor).
Convergência UniformeAnálise
As \(f_n\) aproximam \(f\) uniformemente no domínio.
\(\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|\to0\). Permite trocar limite por integral/derivada sob condições adequadas.
Unidade ImagináriaAnálise Complexa
Símbolo \(i\) tal que \(i^2=-1\); gera o plano complexo.
Forma polar: \(z=re^{i\theta}\); fórmula de Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).
Unitário (Vetor)Álgebra Linear
Vetor de norma \(1\).
Normalização: \(u=\dfrac{v}{\|v\|}\) para \(v\neq0\); produto escalar \(\langle u,u\rangle=1\).
Unitária (Matriz Unitarista)Álgebra Linear / Complexos
Matriz \(U\) com colunas (e linhas) ortonormais: preserva norma e ângulo em \(\mathbb{C}^n\).
Definição: \(U^\*U=I\) (\(U^\*\) é adjunta). Consequências: \(\|Ux\|=\|x\|\), \(|\det U|=1\).
UnimodalEstatística
Distribuição com um único modo (pico).
Ex.: Normal \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) é unimodal; mistura de duas normais pode ser bimodal.
Unipotente (Matriz/Elemento)Álgebra Linear
Elemento \(A\) tal que \(A-I\) é nilpotente.
Existe \(k\) com \((A-I)^k=0\). Autovalores todos iguais a \(1\).
U-EstatísticaEstatística
Estatística simétrica baseada em médias de um núcleo \(h\) sobre todas as combinações de \(m\) observações.
\(U=\binom{n}{m}^{-1}\sum h(X_{i_1},\dots,X_{i_m})\), soma sobre todas as \(\binom{n}{m}\) \(m\)-tuplas distintas.
UltrafiltroTopologia / Lógica
Filtro maximal: para todo \(A\subseteq X\), exatamente um entre \(A\) e \(A^c\) pertence ao ultrafiltro.
Fechado por superconjuntos e interseções finitas; todo filtro está contido em algum ultrafiltro (via Zorn/AC).
UltramétricaGeometria / Métricas
Métrica que satisfaz desigualdade triangular forte.
\(d(x,z)\le \max\{d(x,y),d(y,z)\}\). Bolas são “aninhadas” e todo triângulo é isósceles (ou degenerado).
Unicidade (Soluções de EDO)Equações Diferenciais
A solução do problema de valor inicial é única sob hipóteses de Lipschitz.
Se \(y’=f(x,y)\) é Lipschitz em \(y\) numa região, então \(\exists!\) solução passando por \((x_0,y_0)\) (Teorema de Picard–Lindelöf).
UMP (Uniformemente Mais Potente)Estatística
Teste com maior poder para todos os valores da alternativa em uma classe de nível \(\alpha\).
Existe UMP em famílias com razão de verossimilhança monotônica; p.ex., teste unilateral para média normal com \(\sigma\) conhecido (Neyman–Pearson).
u-Substituição (Mudança de Variáveis)Cálculo
Transforma a integral definindo \(u=g(x)\) para simplificar a expressão.
\(\displaystyle \int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du\). Em definidas: \(\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,du\).
Unidade (Número 1)Aritmética / Álgebra
Elemento neutro multiplicativo em corpos/aneis; em \(\mathbb{Z}\), as unidades são \(\pm1\).
Em um anel \(R\), \(u\) é unidade se \(\exists v\in R\) com \(uv=vu=1\).
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📘 Dicionário de Matemática — Letra V
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de valor absoluto, variável aleatória e variância a vetores, valores/vetores próprios, variedades, vizinhanças, volumes, Viète e Vandermonde.
Como usar
Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e uma fórmula/exemplo (faixa roxa) quando aplicável.
Valor AbsolutoAritmética / Análise
Distância de \(x\) até \(0\) na reta real.
\(|x|=\sqrt{x^2}=\begin{cases}x,&x\ge 0\\-x,&x<0\end{cases}\);\; \(|xy|=|x||y|\), \(|x+y|\le |x|+|y|\).
Valor Esperado (Esperança)Probabilidade
Média teórica de uma variável aleatória.
Discreta: \(\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,p_X(x)\);\; Contínua: \(\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dx\). Linearidade: \(\mathbb{E}[aX+b]=a\mathbb{E}[X]+b\).
Variável AleatóriaProbabilidade
Função que associa números a resultados aleatórios; pode ser discreta ou contínua.
Discreta: pmf \(p_X\); Contínua: pdf \(f_X\); CDF \(F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)\).
VariânciaProbabilidade / Estatística
Dispersão média em torno da média.
\(\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mu)^2]=\mathbb{E}[X^2]-\mu^2\);\; \(\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)\).
Desvio PadrãoEstatística
Raiz quadrada da variância; mesma unidade de \(X\).
\(\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}\).
Variância AmostralEstatística
Estimativa não-viesada da variância populacional (correção de Bessel).
\(s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\).
Lei da Variância TotalProbabilidade
Decompõe a variância via condicionamento.
\(\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\!\big[\operatorname{Var}(X\mid Y)\big]+\operatorname{Var}\!\big(\mathbb{E}[X\mid Y]\big)\).
VetorÁlgebra Linear / Geometria
Objeto com magnitude e direção; em \(\mathbb{R}^n\), é um ponto/coluna.
Norma euclidiana: \(\|\mathbf{x}\|_2=\sqrt{\sum_i x_i^2}\);\; produto escalar \(\langle x,y\rangle=\sum_i x_i y_i\).
Vetores Linearmente IndependentesÁlgebra Linear
Nenhum é combinação linear dos demais.
\(\{v_i\}\) independentes \(\iff \sum_i \alpha_i v_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0\ \forall i\).
Valor Próprio (Autovalor)Álgebra Linear
\(\lambda\) tal que existe \(v\neq0\) com \(Av=\lambda v\).
Polinômio característico: \(p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\); raízes são autovalores.
Vetor Próprio (Autovetor)Álgebra Linear
Vetor não nulo associado a um autovalor \(\lambda\): \(Av=\lambda v\).
Autoespaço de \(\lambda\): \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\); diagonalização se soma das dimensões dos autoespaços = \(n\).
Variedade (Manifold)Topologia / Geometria
Espaço que localmente parece \(\mathbb{R}^n\); pode ter estrutura diferenciável/riemanniana.
Ex.: esfera \(S^2\) é 2-variedade; atlas de cartas \((U_i,\varphi_i)\) com transições suaves.
VizinhançaTopologia
Conjunto que contém um aberto em torno do ponto.
Em espaço métrico: bola aberta \(B_r(x)=\{y:d(x,y)<r\}\) é vizinhança de \(x\).
VérticeGeometria / Grafos
Ponto extremo de um polígono; em grafos, nó conectado por arestas.
Lema do aperto de mãos: \(\sum_{v\in V}\deg(v)=2|E|\).
VolumeGeometria
Medida tridimensional de ocupação de espaço.
Caixa: \(V=abc\);\; cilindro: \(V=\pi r^2 h\);\; esfera: \(V=\tfrac{4}{3}\pi r^3\).
Volume de Revolução (Discos/Anéis)Cálculo
Gera sólido ao girar região em torno de um eixo, integrando áreas de seções transversais.
Eixo \(x\): \(V=\pi\int_{a}^{b}\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx\) (arruelas).
Volume por Cascas CilíndricasCálculo
Método alternativo usando cascas concêntricas.
Em torno do eixo \(y\): \(V=2\pi\int_{a}^{b} x\,h(x)\,dx\), onde \(h(x)\) é a altura da casca.
Viète (Fórmulas de Viète)Álgebra
Relacionam coeficientes do polinômio com somas/produtos das raízes.
Para \(ax^2+bx+c=0\) com raízes \(r_1,r_2\): \(r_1+r_2=-\dfrac{b}{a}\), \(r_1r_2=\dfrac{c}{a}\). Generaliza para graus maiores com sinais alternados.
Vandermonde (Matriz)Álgebra Linear
Matriz com potências de pontos, usada em interpolação.
\(V_{ij}=x_i^{\,j-1}\);\; \(\det V=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)\) (não singular se \(x_i\) distintos).
Viés (Bias)Estatística
Diferença entre valor esperado do estimador e o parâmetro verdadeiro.
\(\operatorname{Bias}(\hat\theta)=\mathbb{E}[\hat\theta]-\theta\).
Viés–Variância (Decomposição)Estatística / ML
Erro quadrático médio separa-se em viés, variância e ruído irreducível.
\(\mathbb{E}[(\hat f(x)-f(x))^2]=\operatorname{Bias}^2+\operatorname{Var}+\sigma^2\) (para modelo com ruído \(\sigma^2\)).
Variável IndicadoraProbabilidade
\(I_A=1\) se evento \(A\) ocorre, \(0\) caso contrário.
\(\mathbb{E}[I_A]=\mathbb{P}(A)\);\; \(\operatorname{Var}(I_A)=p(1-p)\) com \(p=\mathbb{P}(A)\).
Valor SingularÁlgebra Linear / Numérico
Raiz quadrada dos autovalores de \(A^\top A\) (ou \(AA^\top\)); surgem na SVD.
Se \(A=U\Sigma V^\top\), então \(\Sigma=\operatorname{diag}(\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_r>0)\); \(\sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^\top A)}\).
Vínculo (Restrição)Otimização
Condição de igualdade/inequação imposta às variáveis.
KKT (min \(f\) s.a. \(g_i(x)\le0\), \(h_j(x)=0\)): estacionaridade \(\nabla f+\sum \mu_i\nabla g_i+\sum \lambda_j\nabla h_j=0\); viabilidade primal \(g_i\le0, h_j=0\); dual \(\mu_i\ge0\); complementaridade \(\mu_i g_i=0\).
Variação Total (Função de BV)Análise
Soma suprema das variações sobre todas as partições; funções de variação limitada têm integral de Riemann–Stieltjes bem comportada.
\(\operatorname{Var}_{[a,b]}(f)=\sup_{\mathcal{P}}\sum_{i}|f(x_i)-f(x_{i-1})|\).
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📘 Dicionário de Matemática — Letra W
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de Wronskiano, Weibull e Wishart a Wiener, Wavelet, Lambert W, Weierstrass, Wasserstein e Wigner.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
WronskianoEquações Diferenciais
Determinante que verifica independência linear de soluções de EDO linear.
Para soluções \(y_1,\dots,y_n\): \(W=\det\begin{bmatrix}y_1&\cdots&y_n\\ y_1’&\cdots&y_n’\\ \vdots& &\vdots\\ y_1^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\end{bmatrix}\). Em \(y”+p(x)y’+q(x)y=0\): \(W(x)=W(x_0)\exp\!\big(-\int_{x_0}^x p(t)\,dt\big)\).
Weibull (Distribuição)Probabilidade
Modelo contínuo flexível para tempos de vida, com forma \(k\) e escala \(\lambda\).
PDF: \(f(x)=\dfrac{k}{\lambda}\left(\dfrac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}\) (\(x\ge0\)); \(F(x)=1-e^{-(x/\lambda)^k}\); \(\mathbb{E}[X]=\lambda\,\Gamma(1+1/k)\).
Wishart (Distribuição)Probabilidade Multivariada
Distribuição de matrizes de covariância amostral; se \(X_i\sim \mathcal{N}_p(0,\Sigma)\), então \(S=\sum X_iX_i^\top\sim \mathcal{W}_p(n,\Sigma)\).
\(\mathbb{E}[S]=n\,\Sigma\);\; se \(A\sim \mathcal{W}_p(n,\Sigma)\), então \(A^{-1}\) é Inversa-Wishart (quando \(n>p+1\)).
Wiener (Processo de Wiener / Browniano)Processos Estocásticos
Processo contínuo com incrementos independentes normais de média 0 e variância igual ao tempo.
\(W(0)=0\); \(W(t)-W(s)\sim \mathcal{N}(0,t-s)\) para \(t\ge s\); trajetórias contínuas quase certamente.
Wavelet (Ondalete)Análise / Sinais
Família de funções obtidas por dilatações e translações de uma “onda-mãe”, capturando detalhes locais de sinais.
Transformada contínua: \(W_\psi(a,b)=\dfrac{1}{\sqrt{|a|}}\int f(t)\,\overline{\psi\!\left(\frac{t-b}{a}\right)}\,dt\).
Lambert \(W\) (Função)Análise / Funções Especiais
Satisfaz \(W(z)e^{W(z)}=z\); útil para resolver equações com variável em base e expoente.
Derivada: \(W'(z)=\dfrac{W(z)}{z\,(1+W(z))}\) (para \(z\ne0,-e^{-1}\)); ramos principais \(W_0\) e \(W_{-1}\) em \(z\in[-e^{-1},0)\).
Weierstrass (Teorema da Aproximação)Análise
Toda função contínua em \([a,b]\) pode ser aproximada uniformemente por polinômios.
Ex.: polinômios de Bernstein \(B_n(f)(x)=\sum_{k=0}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}\to f(x)\) em \([0,1]\).
Função de WeierstrassAnálise
Exemplo clássico contínuo em todo ponto e não diferenciável em nenhum (para parâmetros usuais).
\(W(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n}\cos(b^{n}\pi x)\), com \(0<a<1\) e \(b\in\mathbb{N}\) ímpar; escolhas típicas garantem não diferenciabilidade.
White Noise (Ruído Branco)Séries Temporais
Sequência \(\{e_t\}\) com média 0, variância constante e ausência de autocorrelação.
\(\mathbb{E}[e_t]=0\), \(\operatorname{Var}(e_t)=\sigma^2\), \(\gamma(h)=0\) para \(h\ne0\); densidade espectral plana.
Wilcoxon (Postos Sinalizados)Estatística
Teste não paramétrico para comparar mediana de amostra pareada com 0 (ou duas medidas pareadas).
Ordena \(|d_i|\), soma postos com sinal; estatística \(W^+\) (ou \(W\)) comparada à distribuição nula (ou aproximação normal para \(n\) grande).
Wilcoxon–Mann–Whitney (Teste U)Estatística
Compara duas amostras independentes quanto à posição (medianas), sem supor normalidade.
Estatística \(U\) baseada nas somas dos postos conjuntos; para \(n_1,n_2\) grandes, usa-se aproximação normal de \(U\).
Teste de WaldInferência
Avalia \(H_0:\theta=\theta_0\) usando estimativa assintoticamente normal.
\(Z=\dfrac{\hat\theta-\theta_0}{\operatorname{se}(\hat\theta)}\) \(\sim\) aprox. \(\mathcal{N}(0,1)\) sob \(H_0\); versão multivariada usa \(\chi^2\).
Equação de WaldProbabilidade
Para \(\{X_i\}\) i.i.d. e tempo de parada \(T\) com \(\mathbb{E}[T]<\infty\), o valor esperado da soma até \(T\) separa-se.
\(\mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^{T} X_i\right]=\mathbb{E}[T]\;\mathbb{E}[X_1]\) (sob hipóteses usuais de independência/parada).
Wasserstein (Distância de \(p\)-Wasserstein)OT / Probabilidade
Mede custo ótimo para transportar massa entre distribuições.
\(W_p(\mu,\nu)=\big(\inf_{\gamma\in\Pi(\mu,\nu)}\int d(x,y)^p\,d\gamma(x,y)\big)^{1/p}\), onde \(\Pi\) acopla \(\mu\) e \(\nu\).
Walsh–Hadamard (Transformada)Sinais / Códigos
Transformada ortogonal binária baseada em sequências de Walsh; útil em compressão e correção de erros.
Matriz de Hadamard \(H_1=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\), \(H_{n}=\begin{bmatrix}H_{n-1}&H_{n-1}\\ H_{n-1}&-H_{n-1}\end{bmatrix}\); \(X=H_n x\).
Whitney (Teoremas de Imersão/Embutimento)Topologia Diferencial
Toda variedade suave de dimensão \(m\) imerge em \(\mathbb{R}^{2m-1}\) e embute-se em \(\mathbb{R}^{2m}\).
Consequência: variedades suaves admitem representação sem auto-interseções em dimensão \(2m\).
Wold (Decomposição)Séries Temporais
Todo processo estacionário de média zero pode ser decomposto como parte determinística + MA(\(\infty\)) impulsionado por ruído branco.
\(X_t=\sum_{j=0}^{\infty}\psi_j e_{t-j}+d_t\) com \(\sum |\psi_j|<\infty\) e \(d_t\) determinístico.
Waring (Problema de Waring)Teoria dos Números
Todo natural é soma de um número finito \(g(k)\) de \(k\)-ésimas potências; por ex., todo número é soma de no máx. 4 quadrados.
Ex.: \(g(2)=4\) (Lagrange); conjecturas/valores para outros \(k\) envolvem métodos analíticos.
Wigner (Lei do Semicírculo)Matrizes Aleatórias
Distribuição limite do espectro de certas matrizes simétricas com entradas i.i.d.
Densidade: \(\rho(x)=\dfrac{1}{2\pi \sigma^2}\sqrt{4\sigma^2-x^2}\) para \(|x|\le 2\sigma\); zero fora.
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📘 Dicionário de Matemática — Letra X
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de x (incógnita) e X (variável aleatória) a \(\bar X\), matriz \(X\), \(X^\top X\), x-intercepto, χ² e XOR.
Como usar
Letra com poucos termos “verbais”, então reunimos símbolos e notações com x/X muito usados em matemática, estatística, otimização e lógica.
x (Incógnita / Variável Independente)Álgebra / Funções
Símbolo mais comum para o valor desconhecido ou entrada de uma função.
Raiz de \(f\): encontrar \(x^\*\) tal que \(f(x^\*)=0\). Ex.: quadrática \(ax^2+bx+c=0\).
X (Variável Aleatória)Probabilidade
Letra maiúscula costuma denotar variável aleatória, com distribuição especificada.
Notação: \(X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), \(\mathbb{E}[X]=\mu\), \(\operatorname{Var}(X)=\sigma^2\).
\(\bar{X}\) (Média Amostral)Estatística
Estimador da média populacional a partir da amostra.
\(\displaystyle \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\);\; \(\mathbb{E}[\bar X]=\mu\), \(\operatorname{Var}(\bar X)=\sigma^2/n\).
\(\hat{x}\) (Estimativa / “x chapéu”)Inferência / Otimização
Valor estimado de um parâmetro/variável, tipicamente obtido por minimização de um erro.
\(\hat x=\arg\min_x \|Ax-b\|_2^2\) (MMQ); em ML, \(\hat\theta\) maximiza a verossimilhança.
x-intercepto (Intercepto em x)Geometria Analítica
Ponto onde o gráfico cruza o eixo \(x\).
Resolva \(f(x)=0\) para obter \((x,0)\); em reta \(y=mx+b\): intercepto \(x=-b/m\) (\(m\neq0\)).
Eixo x (Abscissas)Geometria Analítica
Eixo horizontal do plano cartesiano; pares \((x,y)\) usam \(x\) como abscissa.
Distância de dois pontos: \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
xi (Índices / Amostras)Notação
Indica o \(i\)-ésimo termo de uma sequência ou a \(i\)-ésima observação.
Vetor \(x=(x_1,\dots,x_n)^\top\);\; soma \(\sum_{i=1}^n x_i\).
Matriz X (Matriz de Projeto)Regressão / Álgebra Linear
Matriz que reúne preditores/variáveis explicativas em modelos lineares.
Modelo \(y=X\beta+\varepsilon\);\; \(\hat\beta=(X^\top X)^{-1}X^\top y\) quando \(X\) tem posto completo.
\(\boldsymbol{X^\top X}\) (Equações Normais)Regressão
Sistema simétrico positivo definido usado para estimar \(\beta\) por mínimos quadrados.
Resolver \(X^\top X\,\hat\beta=X^\top y\); alternativa robusta: QR ou SVD.
x* (Ótimo / Solução)Otimização
Ponto que minimiza/maximiza a função objetivo sob restrições.
Condições KKT (quando aplicáveis): \(\nabla f(x^\*)+\sum \mu_i\nabla g_i(x^\*)+\sum \lambda_j\nabla h_j(x^\*)=0\).
\(\dot x\) (Derivada Temporal de x)EDO / Dinâmica
Notação de Newton para derivada em relação ao tempo.
\(\dot x=\dfrac{dx}{dt}\), \(\ddot x=\dfrac{d^2x}{dt^2}\); EDO: \(\dot x=f(x,t)\).
\(\xi\) (Xi — variável auxiliar)Probabilidade / Análise
Letra grega “xi” (xi) usada para variáveis auxiliares, raízes ou parâmetros.
Resto de Taylor (Lagrange): \(R_{n+1}=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\) para algum \(\xi\) entre \(a\) e \(x\).
\(\chi^2\) (Qui-Quadrado)Probabilidade / Testes
Distribuição de soma de quadrados de normais padrão; usada em testes de aderência/independência.
PDF: \(\displaystyle f(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{k/2-1}e^{-x/2}\), \(x>0\). Atenção: \(\chi\) é “qui”, não a letra \(x\).
XOR (OU Exclusivo)Lógica / Códigos
Conectivo verdadeiro quando exatamente uma das proposições é verdadeira.
Tabela-verdade: \(p\oplus q=1\) sse \(p\ne q\); em bits, soma módulo 2.
XNOR (Equivalência)Lógica
Verdadeiro quando \(p\) e \(q\) têm o mesmo valor lógico (negação do XOR).
\(p\odot q=\neg(p\oplus q)\); equivale a \(p\leftrightarrow q\).
× (Sinal de Multiplicação)Notação
Símbolo “vezes”; também indica produto cartesiano e, em contexto vetorial, produto vetorial.
Arit.: \(a\times b=ab\). Cartesiano: \(A\times B=\{(a,b)\}\). Vetorial (3D): \(u\times v\) perpendicular a \(u\) e \(v\).
x\(\,\log x\) (Função “x log x”)Análise / Info
Aparece em limites, entropia e desigualdades.
\(\lim_{x\to0^+} x\log x=0\);\; entropia \(H(p)=-\sum p_i\log p_i\) usa forma \(x\log x\).
Gráfico \(\bar{X}\) (Controle)Estatística Aplicada
Cartas de controle para monitorar a média do processo ao longo do tempo.
Limites: \(LSE=\mu_0+A_2\bar R\), \(LIE=\mu_0-A_2\bar R\) (parâmetros dependem do tamanho do subgrupo).
x\( \top\)y (Produto Escalar)Álgebra Linear
Notação matricial para o produto interno padrão em \(\mathbb{R}^n\).
\(x^\top y=\sum_{i=1}^{n} x_i y_i\);\; ângulo: \(\cos\theta=\dfrac{x^\top y}{\|x\|\,\|y\|}\).
Domínio \(X\) (Espaço Subjacente)Topologia / Análise
Letra frequentemente usada para denotar um espaço genérico (métrico/topológico).
Função \(f:X\to Y\); produto \(X\times Y\) com topologia produto.
Quer incluir outro símbolo ou termo iniciado por “X”? Diga qual e eu adiciono no mesmo padrão.
📘 Dicionário de Matemática — Letra Y
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de eixo y e y-intercepto a ŷ, ȳ, y’, Bessel \(Y_\nu\), Young, Yates, Yule, Yoneda e até o combinador Y.
Como usar
Letra com poucos termos “correntes”, então reunimos notações com y/Y e conceitos clássicos que começam com Y (nomes próprios).
Eixo y (Ordenadas)Geometria Analítica
Eixo vertical do plano cartesiano; em pares \((x,y)\), o valor de y é a ordenada.
Distância entre \(A(x_1,y_1)\) e \(B(x_2,y_2)\): \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
y-intercepto (Intercepto em y)Geometria Analítica
Ponto onde o gráfico cruza o eixo \(y\).
Em \(y=mx+b\): intercepto é \((0,b)\).
y (Variável Dependente)Funções / Modelagem
Saída de uma função \(y=f(x)\) ou resposta em modelos estatísticos.
Regressão: \(y=X\beta+\varepsilon\).
\(\hat y\) (Valor Previsto)Estatística / ML
Predição da resposta por um modelo ajustado.
\(\hat y=X\hat\beta\);\; erro residual \(e=y-\hat y\); MSE \(=\frac{1}{n}\sum e_i^2\).
\(\bar y\) (Média Amostral de \(y\))Estatística
Média das respostas observadas.
\(\displaystyle \bar y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i\).
\(y’\) e \(\dfrac{dy}{dx}\) (Derivada)Cálculo
Taxa de variação instantânea de \(y\) em relação a \(x\).
Se \(y=f(x)\): \(y’=f'(x)\); regra da cadeia: \((f\circ g)’=f'(g)\,g’\).
\(\dot y\) (Derivada no Tempo)EDO / Dinâmica
Notação de Newton para \(\dfrac{dy}{dt}\).
\(\dot y=\dfrac{dy}{dt}\), \(\ddot y=\dfrac{d^2y}{dt^2}\).
y* (Ótimo de \(y\))Otimização
Valor ótimo de \(y\) associado a uma solução ótima \(x^\*\).
Ex.: minimizar \(f(x)\) e reportar \(y^\*=f(x^\*)\).
Vetor Resposta \(\mathbf{y}\)Regressão
Coluna com as \(n\) observações da variável dependente.
\(\mathbf{y}=(y_1,\dots,y_n)^\top\); decomposição \( \mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}+\mathbf{e}\).
yi (Índice/Observação)Notação
Valor da \(i\)-ésima observação/resposta.
\(\sum_{i=1}^n y_i=n\,\bar y\).
Bessel \(Y_\nu\) (Neumann)Funções Especiais
Segunda solução independente da equação de Bessel; singular em \(x=0\).
Recorrência: \(Y_{\nu-1}(x)+Y_{\nu+1}(x)=\dfrac{2\nu}{x}Y_\nu(x)\).
Desigualdade de Young (p-q)Análise
Para \(a,b\ge0\) e \(p,q>1\) com \(\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1\):
\(ab\le \dfrac{a^{p}}{p}+\dfrac{b^{q}}{q}\).
Young (Convolução)Análise / Sinais
Limita norma da convolução em \(L^p\).
\(\|f*g\|_{r}\le \|f\|_{p}\,\|g\|_{q}\) se \(\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1+\tfrac{1}{r}\), \(1\le p,q,r\le\infty\).
Tabela/Diagrama de YoungCombinatória / Representações
Arranjo de caixas para uma partição \(\lambda\vdash n\); conta tableaux padrão.
Fórmula do gancho: \(f^\lambda=\dfrac{n!}{\prod_{c\in\lambda} h(c)}\).
Medida de YoungAnálise / Cálculo Variacional
Família \(\{\nu_x\}\) de medidas de probabilidade que descrevem limites de sequências oscilantes.
Observável \(g\): limite fraco \(g(u_k)\rightharpoonup \int g(\xi)\,d\nu_x(\xi)\).
Transformação de Yeo–JohnsonPré-processamento
Transformação de potência que admite valores negativos, estabiliza variância.
Se \(y\ge0\): \(\frac{(y+1)^\lambda-1}{\lambda}\) (\(\lambda\ne0\)); \(\log(y+1)\) se \(\lambda=0\).
Se \(y<0\): \(-\frac{(1-y)^{\,2-\lambda}-1}{2-\lambda}\) (\(\lambda\ne2\)); \(-\log(1-y)\) se \(\lambda=2\).
Se \(y<0\): \(-\frac{(1-y)^{\,2-\lambda}-1}{2-\lambda}\) (\(\lambda\ne2\)); \(-\log(1-y)\) se \(\lambda=2\).
Correção de YatesEstatística
Correção de continuidade no \(\chi^2\) para tabelas \(2\times2\) com gl=1.
\(\chi^2_{\text{Yates}}=\sum \dfrac{(|O-E|-0{,}5)^2}{E}\).
Equações de Yule–WalkerSéries Temporais
Relacam autocovariâncias e parâmetros do AR(\(p\)).
Para \(k=1,\dots,p\): \(\gamma(k)=\sum_{i=1}^{p}\phi_i\,\gamma(k-i)\);\; e \(\gamma(0)=\sum_{i=1}^{p}\phi_i\,\gamma(i)+\sigma^2\).
Distribuição de Yule–SimonProbabilidade
Distribuição discreta de cauda pesada (anexação preferencial).
PMF: \(\mathbb{P}(K=k)=\rho\,B(k,\rho+1)\), \(k\ge1\), \(\rho>0\) (onde \(B\) é Beta).
Coeficiente \(Q\) de YuleEstatística
Medida de associação em tabela \(2\times2\).
Com células \(a,b,c,d\): \(Q=\dfrac{ad-bc}{ad+bc}\), em \([-1,1]\).
Lema de YonedaTeoria das Categorias
Objetos são determinados pelas setas que partem/chegam neles.
\(\operatorname{Nat}(\hom(-,A),F)\cong F(A)\) natural em \(F\) e \(A\).
Combinador \(Y\)λ-Cálculo / Teoria da Computação
Operador de ponto fixo que permite definir recursão sem nomes.
\(Y\equiv \lambda f.(\lambda x.f(xx))(\lambda x.f(xx))\);\; satisfaz \(Y(f)=f(Y(f))\).
Simetria no Eixo yGeometria
Reflexão em relação ao eixo \(y\): preserva distâncias e ângulos.
\((x,y)\mapsto(-x,y)\);\; gráfico de função par \(f(x)=f(-x)\) é simétrico em \(y\).
Faltou algum termo começando com “Y”? Manda aí que eu adiciono no mesmo padrão.
📘 Dicionário de Matemática — Letra Z
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de \(\mathbb{Z}\) e zero a z-score, transformada Z, zeta de Riemann, Zorn, Zariski e ZFC.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
\(\mathbb{Z}\) (Inteiros)Aritmética / Álgebra
Conjunto dos inteiros positivos, negativos e zero; domínio euclidiano com noção de divisibilidade.
Divisão euclidiana: para \(a,b\in\mathbb{Z}\), \(b\ne0\), existem únicos \(q,r\) com \(a=bq+r\), \(0\le r<|b|\). MDC por Euclides; identidade de Bézout: \(\gcd(a,b)=ax+by\).
Teorema Fundamental da AritméticaTeoria dos Números
Todo inteiro \(n\ge2\) fatoriza-se de modo único (a menos de ordem) em potências de primos.
\(n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\).
Zero (Elemento Neutro Aditivo)Álgebra
Elemento \(0\) tal que \(a+0=a\) para todo \(a\).
Em espaços vetoriais, \(\mathbf{0}\) satisfaz \(v+\mathbf{0}=v\).
Vetor Nulo \(\mathbf{0}\)Álgebra Linear
Vetor de todas as coordenadas iguais a 0; é único e pertence a todo subespaço.
\(\|\mathbf{0}\|=0\);\; \(A\mathbf{0}=\mathbf{0}\).
Matriz NulaÁlgebra Linear
Matriz com todos os elementos zero; atua como absorvente na multiplicação à direita/esquerda com dimensões compatíveis.
\(A\mathbf{0}=\mathbf{0}\), \(\mathbf{0}A=\mathbf{0}\);\; \(\det(\mathbf{0})=0\) (se quadrada não-trivial).
Zero DivisorTeoria dos Anéis
Elemento \(a\ne0\) tal que existe \(b\ne0\) com \(ab=0\).
Em \(\mathbb{Z}_6\): \(2\cdot3\equiv0\pmod{6}\) (ambos não nulos).
\(z=x+iy\) (Variável Complexa)Análise Complexa
Número complexo com parte real \(x\) e imaginária \(y\).
Forma polar: \(z=re^{i\theta}\), \(r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(\theta=\arg z\).
Zeros e Pólos (Função Racional)Análise Complexa / Sinais
Zeros: pontos onde \(f(z)=0\). Pólos: singularidades onde \(|f|\to\infty\) com ordem finita.
Se \(H(z)=\dfrac{B(z)}{A(z)}\), zeros são raízes de \(B\) e pólos de \(A\); fatoração: \(H(z)=K\frac{\prod(1-z_k z^{-1})}{\prod(1-p_k z^{-1})}\).
z-score (Padronização)Estatística
Valor padronizado que mede quantos desvios-padrão \(x\) está acima/abaixo da média.
\(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\);\; para amostra: \(z=\dfrac{x-\bar x}{s}\) (exploratório).
Teste z (Média)Inferência
Teste para média com \(\sigma\) conhecida (ou \(n\) grande).
Estatística: \(Z=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\) \(\sim\mathcal{N}(0,1)\) sob \(H_0\).
Transformada Z (Unilateral/Bilateral)Sinais / DSP
Transforma sequência discreta em função de \(z\); generaliza séries de potência.
Bilateral: \(X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n}\);\; unilateral: \(\sum_{n=0}^{\infty} x[n]\,z^{-n}\). Deslocamento: \(Z\{x[n-n_0]\}=z^{-n_0}X(z)\).
ROC — Região de ConvergênciaSinais / DSP
Conjunto de \(z\) para os quais a série da transformada Z converge; geralmente anel centrado na origem.
Sinais causais (direita): ROC fora do maior pólo; anticausais (esquerda): dentro do menor pólo; estabilidade: ROC inclui o círculo unitário.
Função Zeta de Riemann \(\zeta(s)\)Análise / Números
Série \(\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\) (Re\(s>1\)); estende-se analiticamente a \(\mathbb{C}\setminus\{1\}\).
Produto de Euler: \(\zeta(s)=\prod_{p}\big(1-p^{-s}\big)^{-1}\);\; hipótese de Riemann: zeros não triviais com Re\(s=\tfrac12\).
Zeta de Hurwitz \(\zeta(s,a)\)Funções Especiais
Generaliza Riemann: \(\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+a)^{-s}\) (Re\(s>1\), \(a\notin\{0,-1,-2,\dots\}\)).
Recupera polilog e números de Bernoulli em valores especiais; possui continuação analítica.
Z-móduloÁlgebra
Módulo sobre \(\mathbb{Z}\); equivale a grupo abeliano. Finitamente gerado decompõe-se em partes livre e torsão.
Teorema estrutural: \(G\cong \mathbb{Z}^r\oplus \bigoplus_{i=1}^k \mathbb{Z}_{n_i}\) com \(n_i\mid n_{i+1}\).
Lema de ZornConjuntos / Lógica
Em todo poset em que toda cadeia tem majorante, existe elemento maximal.
Equivalente ao Axioma da Escolha (sob ZF); útil para provar existência (bases, ideais maximais, etc.).
Topologia de ZariskiGeometria Algébrica
Topologia em \(\mathbb{A}^n\) (ou variedades) onde fechados são conjuntos de zeros de famílias de polinômios.
Fechados básicos: \(V(I)=\{x: f(x)=0\ \forall f\in I\}\) para ideal \(I\subset k[x_1,\dots,x_n]\).
ZF / ZFCFundamentos
Axiomatizações de teoria dos conjuntos: Zermelo–Fraenkel (ZF); ZFC = ZF + Axioma da Escolha (AC).
Muitos resultados clássicos equivalem ao AC (Zorn, Tychonoff, bem-ordenação).
Conjunto de Medida ZeroMedida / Análise
Conjunto \(E\) com \(\mu(E)=0\); propriedades “quase sempre” ignoram tais conjuntos.
Ex.: \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\) tem medida de Lebesgue 0.
Conjunto de ZerosAnálise
\(Z(f)=\{x: f(x)=0\}\). Em funções analíticas não identicamente nulas, zeros são isolados.
Multiplicidade \(m\): menor \(m\) tal que \(f^{(m)}(a)\ne0\) e \(f(x)=(x-a)^m g(x)\), \(g(a)\ne0\).
Zeckendorf (Teorema)Teoria dos Números
Todo inteiro positivo escreve-se de forma única como soma de números de Fibonacci não consecutivos.
Representação binária sem “11” nos “algarismos de Fibonacci”.
ZOH — Zero-Order HoldSinais / Controle
Retentor de ordem zero que mantém o último valor da amostra até a próxima; modela DAC em tempo discreto.
Resposta ao degrau amostrado modelada por convolução com pulso de largura \(T_s\); em \(s\): \(H_{\text{ZOH}}(s)=\dfrac{1-e^{-sT_s}}{s}\cdot \dfrac{1}{T_s}\).
Sentiu falta de algum termo com “Z”? Diga qual e eu adiciono imediatamente no mesmo padrão.
