Como fazer divisão de polinômios pelo método da chave?

A divisão de polinômios (divisão longa, ou “método da chave”) organiza o processo de encontrar o quociente e o resto quando um polinômio é dividido por outro. Neste guia prático você verá como alinhar termos por grau, escolher o termo líder do quociente e subtrair corretamente até encerrar a conta. O artigo traz exemplos resolvidos, cartões-resumo, lista de exercícios com gabarito em sistema abre/fecha e links para materiais de apoio do Matemática Hoje.

Imagem base – método da chave aplicado a polinômios.

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Entenda a divisão algébrica de polinômios na prática

Ideia central. Dado \(f(x)\) (dividendo) e \(g(x)\ne 0\) (divisor), buscamos polinômios \(q(x)\) (quociente) e \(r(x)\) (resto) tais que

\[ f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x), \quad \text{com } \deg r(x) < \deg g(x) \text{ ou } r(x)=0. \]

Passos do método da chave.

Ordene os polinômios em ordem decrescente de graus e inclua termos de grau faltante com coeficiente zero.
Divida o termo líder do dividendo pelo líder do divisor para obter o termo líder do quociente.
Multiplique o divisor por esse termo e subtraia do dividendo atual.
Repita até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.

Dica: subtração de polinômios = somar o oposto. Distribua o sinal para evitar erros de sinal.

Exemplo guiado: passo a passo do cálculo do quociente

Vamos dividir \(f(x)=3x^3-14x^2+23x-10\) por \(g(x)=x^2-4x+5\).

1) Termo líder do quociente:

\[ \frac{3x^3}{x^2}=3x \]

2) Subtraia \(3x\cdot g(x)\):

\[ 3x\cdot(x^2-4x+5)=3x^3-12x^2+15x \]

\[ (3x^3-14x^2+23x-10) – (3x^3-12x^2+15x) \]

\[ = \; (-14x^2+12x^2) + (23x-15x) -10 \]

\[ = \; -2x^2 + 8x – 10 \]

3) Próximo termo do quociente:

\[ \frac{-2x^2}{x^2}=-2 \]

4) Subtraia \(-2\cdot g(x)\):

\[ -2\cdot(x^2-4x+5) = -2x^2+8x-10 \]

\[ (-2x^2+8x-10) – (-2x^2+8x-10) = 0 \]

Resultado:

\[ q(x)=3x-2 \quad\text{e}\quad r(x)=0. \]

Logo, a divisão é exata.

Quando o resto não é zero: interpretação e checagem

Se \(r(x)\ne 0\), escreva o resultado como \(q(x)\) com resto ou como fração racional:

\[ \frac{f(x)}{g(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}. \]

Verificação rápida. Refaça \(g(x)\cdot q(x)+r(x)\) e confirme se volta em \(f(x)\).

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Técnicas relacionadas e boas práticas de organização

Padronize a forma geral dos polinômios

Sempre alinhe por potências de \(x\) (do maior para o menor) e inclua termos ausentes. Ex.: escrever \(x^3+0x^2-5x+0\) ajuda no alinhamento da chave.

Cheque sinais a cada etapa

Ao subtrair, distribua o “menos”: \((A-B)=A+(-B)\). Essa é a principal fonte de erro na divisão longa.

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Exemplos extras: treino com enunciados atrativos

Exemplo 1 — “Zere o resto”

Enunciado. Mostre que a divisão é exata: \(f(x)=x^3-3x^2-4x+12\) por \(g(x)=x^2-3x\).

Ver solução passo a passo

\[ \frac{x^3}{x^2}=x \Rightarrow x\cdot(x^2-3x)=x^3-3x^2 \]

\[ (x^3-3x^2-4x+12)-(x^3-3x^2)= -4x+12 \]

\[ \frac{-4x}{x^2}=0\quad (\deg\text{ do resto }<\deg g) \]

\[ q(x)=x,\quad r(x)=-4x+12 \]

Como \(\deg r<\deg g\), paramos. A divisão não é exata; porém, se quisermos zerar o resto, dividimos o termo restante por \(g(x)\) só como fração: \(\frac{-4x+12}{x^2-3x}\).

Exemplo 2 — “Quociente monômio”

Enunciado. Encontre \(q(x)\) e \(r(x)\) ao dividir \(2x^2-5x\) por \(x-5\).

Ver solução passo a passo

\[ \frac{2x^2}{x}=2x \Rightarrow 2x(x-5)=2x^2-10x \]

\[ (2x^2-5x)-(2x^2-10x)=5x \]

\[ \frac{5x}{x}=5 \Rightarrow 5(x-5)=5x-25 \]

\[ 5x-(5x-25)=25 \]

\[ q(x)=2x+5,\quad r(x)=25. \]

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Lista de exercícios (com abre/fecha e gabarito)

1) Divida \(x^3-5x^2+7x-3\) por \(x-2\).

\[ \frac{x^3}{x}=x^2 \Rightarrow x^2(x-2)=x^3-2x^2 \]

\[ (-5x^2)-( -2x^2)=-3x^2 \Rightarrow \text{novo resto } -3x^2+7x-3 \]

\[ \frac{-3x^2}{x}=-3x \Rightarrow -3x(x-2)=-3x^2+6x \]

\[ ( -3x^2+7x-3)-(-3x^2+6x)=x-3 \]

\[ \frac{x}{x}=1 \Rightarrow 1(x-2)=x-2 \]

\[ (x-3)-(x-2)=-1 \]

\[ q(x)=x^2-3x+1,\quad r(x)=-1. \]

2) Efetue \((2x^3+3x^2-11x+6)\div(x-3)\).

\[ \frac{2x^3}{x}=2x^2 \Rightarrow 2x^2(x-3)=2x^3-6x^2 \]

\[ (2x^3+3x^2)-(2x^3-6x^2)=9x^2 \Rightarrow 9x^2-11x+6 \]

\[ \frac{9x^2}{x}=9x \Rightarrow 9x(x-3)=9x^2-27x \]

\[ (9x^2-11x+6)-(9x^2-27x)=16x+6 \]

\[ \frac{16x}{x}=16 \Rightarrow 16(x-3)=16x-48 \]

\[ (16x+6)-(16x-48)=54 \]

\[ q(x)=2x^2+9x+16,\quad r(x)=54. \]

3) Calcule \((3x^4-2x^3+x-1)\div(x^2-x+1)\).

\[ \frac{3x^4}{x^2}=3x^2 \Rightarrow 3x^2(x^2-x+1)=3x^4-3x^3+3x^2 \]

\[ (3x^4-2x^3)-(3x^4-3x^3)=x^3 \Rightarrow x^3+0x^2+x-1 \]

\[ \frac{x^3}{x^2}=x \Rightarrow x(x^2-x+1)=x^3-x^2+x \]

\[ (x^3+0x^2+x-1)-(x^3-x^2+x)=x^2-1 \]

\[ \frac{x^2}{x^2}=1 \Rightarrow 1(x^2-x+1)=x^2-x+1 \]

\[ (x^2-1)-(x^2-x+1)=x-2 \]

\[ q(x)=3x^2+x+1,\quad r(x)=x-2. \]

4) Determine \(q(x)\) e \(r(x)\) em \((4x^3+5x^2-7x+2)\div(2x^2+x-1)\).

\[ \frac{4x^3}{2x^2}=2x \Rightarrow 2x(2x^2+x-1)=4x^3+2x^2-2x \]

\[ (4x^3+5x^2-7x+2)-(4x^3+2x^2-2x)=3x^2-5x+2 \]

\[ \frac{3x^2}{2x^2}=\tfrac{3}{2} \Rightarrow \tfrac{3}{2}(2x^2+x-1)=3x^2+\tfrac{3}{2}x-\tfrac{3}{2} \]

\[ (3x^2-5x+2)-(3x^2+\tfrac{3}{2}x-\tfrac{3}{2})=-\tfrac{13}{2}x+\tfrac{7}{2} \]

\[ \deg r < \deg g \Rightarrow q(x)=2x+\tfrac{3}{2},\; r(x)=-\tfrac{13}{2}x+\tfrac{7}{2}. \]

5) Verifique \(f(x)=x^2+4x+3\) e \(g(x)=x+1\): escreva como \(q+r/g\).

\[ \frac{x^2}{x}=x \Rightarrow x(x+1)=x^2+x \]

\[ (x^2+4x+3)-(x^2+x)=3x+3 \]

\[ \frac{3x}{x}=3 \Rightarrow 3(x+1)=3x+3 \]

\[ (3x+3)-(3x+3)=0 \Rightarrow q(x)=x+3,\; r(x)=0. \]

Conclusão: domine o algoritmo e evite erros de sinal

O método da chave é 100% procedural: alinhe termos, encontre o líder do quociente, subtraia e repita. A prática revela que a maioria dos deslizes vem de sinais mal distribuídos. Use os exemplos deste artigo, consulte o eBook de fórmulas e resolva a lista de exercícios para ganhar velocidade e confiança.

FAQ — dúvidas rápidas sobre divisão de polinômios

Quando a divisão de polinômios é considerada “exata”?

Quando o resto \(r(x)\) é nulo ao final do processo. Nesse caso, \(f(x)=g(x)\cdot q(x)\) e não sobra termo de grau menor para representar. Se houver resto, escrevemos \(f/g=q+r/g\) com \(\deg r<\deg g\).

É obrigatório completar termos ausentes com coeficiente zero?

Não é obrigatório, mas é uma prática excelente: facilita o alinhamento por graus, reduz erros de cópia e torna a subtração mais direta. Ex.: escreva \(x^3-5x\) como \(x^3+0x^2-5x+0\).

Como conferir rapidamente se meu quociente está correto?

Faça a multiplicação \(g(x)\cdot q(x)\) e some o resto. Se o resultado for exatamente o dividendo \(f(x)\), a conta está correta. Em provas, confira ao menos os termos de maior grau para detectar inconsistências.

Divisão sintética substitui o método da chave em todos os casos?

Não. A divisão sintética é prática quando o divisor é linear do tipo \(x-a\). Para divisores quadráticos ou de grau maior, a divisão longa (método da chave) segue sendo a técnica padrão.

Autor: Adriano Rocha — Matemática Hoje.

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