Construção do Corpo dos Números Complexos

Nesta aula, exploraremos a construção do corpo dos números complexos \( \mathbb{C} \) a partir de conceitos algébricos. Embora você já possa conhecer os números complexos como \( a + bi \), com \( i^2 = -1 \), aqui veremos como essa estrutura pode ser interpretada como um conjunto de pares ordenados de números reais.

Definição via Pares Ordenados

Consideramos o conjunto \( \mathbb{R}^2 = \{ (a, b) \,|\, a, b \in \mathbb{R} \} \). Para \( (a, b), (c, d) \in \mathbb{R}^2 \), definimos:

Com essas operações, o conjunto \( \mathbb{R}^2 \) se torna um corpo, com elemento neutro aditivo \( (0, 0) \) e elemento neutro multiplicativo \( (1, 0) \).

Identificação com os Complexos

Podemos identificar o par \( (a, b) \) com o número complexo \( a + bi \), onde:

• \( (a, 0) \) representa o número real \( a \).
• \( (0, 1) \) é identificado com a unidade imaginária \( i \), pois \( (0, 1)^2 = (-1, 0) \), equivalente a \( -1 \).

Assim, a forma \( a + bi \) é apenas uma maneira alternativa de representar o par \( (a, b) \).

Conjugado e Inverso Multiplicativo

O conjugado de \( z = a + bi \) é:

O inverso multiplicativo de \( z = a + bi \neq 0 \) é dado por:

Isso garante que todo elemento não nulo de \( \mathbb{C} \) possui inverso multiplicativo, confirmando que \( \mathbb{C} \) é de fato um corpo.

Operações Básicas

Para \( z_1 = 1 + 2i \) e \( z_2 = -2 – i \), temos:

O inverso de \( z_1 = 1 + 2i \) é:

Analogia com \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)

A relação entre \( \mathbb{C} \) e \( \mathbb{R} \) é análoga à relação entre \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) e \( \mathbb{Q} \). O polinômio \( x^2 + 1 \) não tem raízes em \( \mathbb{R} \), mas ao estendermos \( \mathbb{R} \) com \( i \) (um elemento tal que \( i^2 = -1 \)), obtemos um corpo maior onde esse polinômio se fatora:

Conclusão

O corpo dos números complexos é uma extensão natural dos números reais, permitindo resolver equações polinomiais que não possuem soluções em \( \mathbb{R} \). Ele é amplamente utilizado em análise complexa, engenharia elétrica, processamento de sinais e em diversas áreas da matemática pura e aplicada.

Nas próximas aulas, estudaremos extensões de corpos de forma mais geral, entendendo como \( \mathbb{C} \) se encaixa nessa teoria.