Função Tangente no ENEM 2025: Altura da Água em um Recipiente Diferente

1) Usando as assíntotas verticais da tangente

Pela figura, as assíntotas da função estão em:

T = (5 − 2π)/2 e T = (5 + 2π)/2.

Para a função tg, as assíntotas verticais ocorrem quando o argumento é igual a −π/2, π/2, 3π/2, etc. No nosso caso, o argumento é:

p(T + m).

Assim, devemos ter:

p[(5 − 2π)/2 + m] = −π/2 p[(5 + 2π)/2 + m] = π/2

2) Encontrando o valor de p

Subtraindo as duas equações (segunda menos a primeira):

p { [(5 + 2π)/2 + m] − [(5 − 2π)/2 + m] } = π/2 − (−π/2) = π

Dentro das chaves:

[(5 + 2π)/2 − (5 − 2π)/2] = (4π)/2 = 2π

Logo:

p · 2π = π ⇒ p = 1/2.

3) Encontrando o valor de m

Usando, por exemplo, a segunda equação:

p[(5 + 2π)/2 + m] = π/2

Substituindo p = 1/2:

(1/2) · [(5 + 2π)/2 + m] = π/2

Multiplicando os dois lados por 2:

(5 + 2π)/2 + m = π

Multiplicando tudo por 2:

5 + 2π + 2m = 2π

5 + 2m = 0 ⇒ m = −5/2.

Portanto, o argumento da tangente fica:

p(T + m) = (1/2)(T − 5/2).

4) Encontrando o valor de k

Observe o ponto central do gráfico: no meio das assíntotas (T = 2,5) a curva passa pela altura D = 30.

Quando T = 2,5 temos:

T = 2,5 = 5/2 ⇒ T − 5/2 = 0

Então o argumento da tangente é zero, e:

tg(0) = 0 ⇒ D = k.

Como o gráfico mostra D = 30 nesse ponto, concluímos:

k = 30.

5) Montando a expressão final

Reunindo todos os valores:

D = 30 + tg[(1/2)(T − 5/2)].

Essa é exatamente a expressão apresentada na alternativa E.

✅ Expressão correta: D = 30 + tg[(1/2)(T − 5/2)]

✅ Alternativa correta: E.