Nesta questão de Logaritmos do ENEM 2025, a pressão interna P, em atmosfera, de uma máquina depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, segundo a expressão:
P = 4 · log[ −K · (t + 1) · (t − 19) ]
O fabricante recomenda que a pressão não ultrapasse 10 atmosferas durante o funcionamento. As novas máquinas funcionarão diariamente por um período contínuo de 10 horas. Deseja-se determinar o maior valor possível de K que mantém a pressão dentro do limite.
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1) Analisando a expressão dentro do logaritmo
Seja a função
y = −K · (t + 1) · (t − 19).
Desenvolvendo o produto:
y = −K · (t² − 18t − 19).
Para cada valor fixo de K > 0, isso é uma função quadrática em t, com concavidade voltada para baixo (coeficiente de t² negativo). Logo, ela atinge valor máximo no vértice.
Na forma geral y = a·t² + b·t + c, temos:
a = −K, b = 18K.
A abscissa do vértice é
tv = −b / (2a) = −(18K) / (2 · (−K)) = 18 / 2 = 9.
Assim, o valor máximo da expressão dentro do logaritmo, no intervalo de funcionamento, ocorre em t = 9 horas.
2) Calculando a pressão no ponto crítico t = 9
Para t = 9:
t + 1 = 10 e t − 19 = −10
Portanto,
−K · (t + 1) · (t − 19) = −K · 10 · (−10) = 100K.
Logo, a pressão nesse instante é
P = 4 · log(100K).
3) Aplicando a condição de segurança P ≤ 10
4 · log(100K) ≤ 10.
Dividindo ambos os lados por 4:
log(100K) ≤ 10 / 4 = 2,5.
Escrevendo em forma exponencial (base 10):
100K ≤ 10²·⁵.
Como 100 = 10², temos:
K ≤ 10²·⁵ / 10² = 100,5.
✅ Logo, o maior valor possível de K é 100,5.
✅ Alternativa correta: A
Questão anterior resolvida: ENEM 2025 – Geometria Espacial: Caixas para tortas cilíndricas
