Equação do Segundo Grau: Fórmula de Bhaskara, Δ e Relações de Viète

A equação do segundo grau tem forma $$ ax^2 + bx + c = 0,\quad a\neq0, \; a,b,c\in\mathbb{R}. $$ Aqui você aprende a usar a fórmula de Bhaskara, interpretar o discriminante $ \Delta $ e aplicar as relações de soma e produto (Viète), com exemplos e exercícios.

Equação do segundo grau com fórmula quadrática e relações de soma e produto

1) Fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática)

Discriminante: $$ \Delta = b^2 – 4ac. $$

Raízes: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}. $$

Casos de Δ

$ \Delta > 0 $: duas raízes reais e distintas;
$ \Delta = 0 $: uma raiz real dupla;
$ \Delta < 0 $: sem raízes reais (complexas conjugadas).

2) Relações de Viète (soma e produto)

Se $x_1$ e $x_2$ são raízes, então: $$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \text{e} \qquad x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}. $$ Úteis para montar/checar equações e resolver sem calcular toda a fórmula.

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3) Exemplo resolvido

Resolva $ 2x^2 – 3x – 2 = 0 $.

Coeficientes: $a=2$, $b=-3$, $c=-2$.
Δ: $ \Delta = (-3)^2 – 4\cdot2\cdot(-2) = 9 + 16 = 25 $.
Bhaskara:
$ x = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2\cdot2} $
$ = \dfrac{3 \pm 5}{4} $
$ \Rightarrow x_1 = 2,\; x_2 = -\dfrac{1}{2}. $
Viète (checagem):
$ x_1+x_2 = 2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2} = -\dfrac{b}{a} $
$ x_1x_2 = 2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1 = \dfrac{c}{a}. $

📝 Exercícios — Equação do Segundo Grau

Inclui questões abertas e de múltipla escolha, com soluções em “abre/fecha”.

1) (Múltipla escolha) Em $ax^2+bx+c=0$, o número de raízes reais depende de:

A) $a$ B) $b$ C) $c$ D) $\Delta$

👀 Ver solução

Quem dita a quantidade de raízes reais é o discriminante $\Delta=b^2-4ac$. Alternativa D.

2) (Múltipla escolha) Para $x^2-7x+10=0$, as raízes são:

A) $2$ e $5$ B) $ -2$ e $ -5$ C) $1$ e $10$ D) $5$ e $7$

👀 Ver solução

Produto $x_1x_2=c/a=10$ e soma $x_1+x_2=-b/a=7$. Pares (2,5) satisfazem. Alternativa A.

3) Resolva $3x^2-12x+9=0$ por Bhaskara.

👀 Ver solução passo a passo

$a=3,\; b=-12,\; c=9$

$\Delta = (-12)^2 – 4\cdot3\cdot9$
$= 144 – 108$
$= 36$

$x = \dfrac{-(-12) \pm \sqrt{36}}{2\cdot3}$
$= \dfrac{12 \pm 6}{6}$
$\Rightarrow x_1 = 3,\; x_2 = 1$.

4) (Múltipla escolha) Se $x_1+x_2=4$ e $x_1x_2=3$, então a equação monômia (com $a=1$) é:

A) $x^2-4x+3=0$ B) $x^2+4x+3=0$ C) $x^2-3x+4=0$ D) $x^2+3x-4=0$

👀 Ver solução

Para $a=1$: $b=-(x_1+x_2)=-4$ e $c=x_1x_2=3$. Logo $x^2-4x+3=0$. Alternativa A.

5) Resolva $2x^2+5x-12=0$ usando relações de Viète (comece pelo produto).

👀 Ver solução passo a passo

Produto $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-12}{2}=-6$

Soma $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-5}{2}$

Pares com produto $-6$: $(-3,2)$, $(3,-2)$, $(6,-1)$, $(-6,1)$.

Que soma $-\dfrac{5}{2}$?
$\;3+(-2)=1$ ❌
$(-3)+2=-1$ ❌
$6+(-1)=5$ ❌
$(-6)+1=-5$ ✅ mas precisamos dividir por 2 (porque $a\neq1$)? Não: as relações já consideram $a$. Logo as raízes devem satisfazer Bhaskara; confirmando:

$\Delta=5^2-4\cdot2\cdot(-12)=25+96=121$

$x=\dfrac{-5\pm \sqrt{121}}{2\cdot2}=\dfrac{-5\pm11}{4}$

$x_1=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2},\; x_2=\dfrac{-16}{4}=-4$

Conferência: $x_1+x_2=\dfrac{3}{2}-4=-\dfrac{5}{2}$ e $x_1x_2=\dfrac{3}{2}\cdot(-4)=-6$.

6) (Múltipla escolha) Para $x^2+bx+16=0$ ter Δ=0, então $b$ deve ser:

A) $ \pm 8 $ B) $ \pm 4 $ C) $ \pm 16 $ D) $ 0 $

👀 Ver solução

$\Delta=b^2-4ac=b^2-4\cdot1\cdot16=b^2-64$. Para $\Delta=0$: $b^2=64\Rightarrow b=\pm8$. Alternativa A.

7) Determine $c$ para que $x=3$ seja raiz de $x^2-2x+c=0$.

👀 Ver solução passo a passo

Substitua $x=3$:
$3^2 – 2\cdot3 + c = 0$
$= 9 – 6 + c$
$= 3 + c$
$\Rightarrow c = -3$.

8) (Múltipla escolha) A equação $kx^2-10x+25=0$ tem raiz dupla. Então: