Equação Linear Homogênea
Nesta página você aprende o que é uma equação linear homogênea e um sistema linear homogêneo, suas propriedades, interpretação geométrica, exemplos resolvidos e exercícios. Este tema é recorrente no ENEM e em vestibulares. Para um panorama geral, veja também nossos mapas mentais e o banco de questões.
Definição (sistema): Um sistema linear homogêneo é \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\), onde \(A\) é uma matriz \(m\times n\), \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\) e \(\mathbf{0}\) é o vetor nulo.
Ideias-chave
- Solução trivial: \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\) sempre é solução de \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\).
- Subespaço: O conjunto de soluções é um subespaço vetorial de \(\mathbb{R}^n\) (passa pela origem).
- Número de soluções:
se \(\operatorname{rank}(A)=n\) (colunas independentes) \(\Rightarrow\) única solução é a trivial;
se \(\operatorname{rank}(A)
- Em 2D: uma equação \(ax+by=0\) representa uma reta que passa pela origem; em 3D, uma equação \(ax+by+cz=0\) representa um plano que contém a origem.
Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 — Uma equação, duas variáveis
Resolver \(2x+3y=0\).
Base do espaço solução: \(\{(3,-2)\}\) (se preferirmos inteiros).
Exemplo 2 — Sistema dependente (infinitas soluções)
Resolver \(\begin{cases}x+2y-z=0\\ 2x+4y-2z=0\end{cases}\).
A segunda equação é \(2\) vezes a primeira \(\Rightarrow\) há apenas uma restrição: \(x= z-2y\). Com parâmetros \(y=s\) e \(z=t\): \((x,y,z)=(t-2s,\,s,\,t)=s(-2,1,0)+t(1,0,1)\). Base: \(\{(-2,1,0),(1,0,1)\}\).
Exemplo 3 — Sistema com única solução (trivial)
\(\begin{cases}x+y=0\\ y+z=0\\ x+z=0\end{cases}\Rightarrow x=-y,\, z=-y\). Substituindo em \(x+z=0\): \(-y-y=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=z=0\). Logo, só a solução trivial.
Exercícios (com soluções)
Exercício 1: Descreva o conjunto de soluções de \(5x-10y=0\).
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\(5x=10y\Rightarrow x=2y\). Com \(y=t\): \((x,y)=(2t,t)=t(2,1)\). É uma reta que passa pela origem com direção \((2,1)\).
Exercício 2 : Para quais valores de \(k\) o sistema \(\begin{cases}x+ky=0\\ 2x+2ky=0\end{cases}\) possui apenas a solução trivial?
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A matriz do sistema é \(A=\begin{bmatrix}1&k\\2&2k\end{bmatrix}\). As linhas são proporcionais
(segunda = \(2\)× primeira), logo \(\det(A)=1\cdot(2k)-k\cdot2=0\) para todo \(k\).
Assim, \(A\) não é invertível e o sistema homogêneo sempre tem infinitas soluções
(não apenas a trivial), qualquer que seja \(k\in\mathbb{R}\).
Resposta: para nenhum valor de \(k\) o sistema tem só a solução trivial.
Exercício 3: Encontre uma base do espaço solução de \(\;x-2y+3z=0\).
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\(x=2y-3z\). Com \(y=s\) e \(z=t\): \((x,y,z)=(2s-3t,\,s,\,t)=s(2,1,0)+t(-3,0,1)\). Base: \(\{(2,1,0),\,(-3,0,1)\}\).
Exercício 4: Para o sistema homogêneo \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) com \(A=\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&2&1\\1&2&0\end{bmatrix}\), determine se há soluções não triviais e dê uma base do espaço solução.
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Redução (esboço): subtraia L1 de L3 \(\Rightarrow\) \(\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&2&1\\0&2&1\end{bmatrix}\). L3 – L2 \(\Rightarrow\) \(\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&2&1\\0&0&0\end{bmatrix}\). Agora L2/2 \(\Rightarrow\) \(\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&\tfrac{1}{2}\\0&0&0\end{bmatrix}\). Do sistema: \(x-z=0\Rightarrow x=z\) e \(y+\tfrac{1}{2}z=0\Rightarrow y=-\tfrac{1}{2}z\). Com \(z=t\): \((x,y,z)=(t,-\tfrac{1}{2}t,t)=t(1,-\tfrac{1}{2},1)\). Há infinitas soluções; base: \(\{(2,-1,2)\}\) (escolhendo vetor sem frações).
Exercício 5: Seja \(A=\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}\). O sistema homogêneo \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) tem solução não trivial?
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\(\det(A)=3\cdot1-2\cdot1=1\neq0\Rightarrow A\) é invertível. Portanto, a única solução é a trivial \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\).
Conclusão
Em resumo, uma equação linear homogênea (e seu sistema associado) tem sempre a solução trivial e pode apresentar infinitas soluções quando há variáveis livres. O espaço de soluções é um subespaço que passa pela origem, com dimensão \(n-\operatorname{rank}(A)\). Dominar esse tema facilita a resolução de sistemas e a compreensão de tópicos de Álgebra Linear abordados no ENEM.
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