Entenda o que é uma equação polinomial, como identificar o grau, quais métodos usar no 1º e 2º grau e como resolver a equação biquadrada. No final, pratique com exercícios resolvidos.
Sumário do artigo
1) O que é uma equação polinomial
Uma equação polinomial é aquela que pode ser escrita como \(P(x)=0\), em que \(P(x)\) é um polinômio. Em geral, quanto maior o grau do polinômio, maior tende a ser a dificuldade de resolução.
Forma geral (grau \(n\)):
\[ P(x)=0 \quad \Rightarrow \quad a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0=0 \]
com \(a_n\neq 0\) e \(a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}\).
Como identificar o grau
O grau é a maior potência de \(x\) cujo coeficiente é diferente de zero.
Ver exemplos de grau
a) \(3x^4 + 4x^2 – 1 = 0\) → 4º grau
b) \(5x^3 – 3 = 0\) → 3º grau
c) \(6x – 1 = 0\) → 1º grau
d) \(7x^3 – x^2 + 4x + 3 = 0\) → 3º grau
2) Como resolver uma equação polinomial
O método depende do grau. A ideia estratégica é: primeiro reconheça o tipo (1º, 2º, biquadrada), depois aplique o procedimento adequado.
Equação polinomial do 1º grau
Uma equação do 1º grau tem a forma \(ax+b=0\), com \(a\neq 0\).
Isolando \(x\):
\[ ax+b=0 \Rightarrow ax=-b \Rightarrow x=\frac{-b}{a} \]
Exemplo: resolva \(5x+25=0\).
\[ 5x+25=0 \Rightarrow 5x=-25 \Rightarrow x=-5 \]
Equação polinomial do 2º grau
Uma equação do 2º grau tem a forma \(ax^2+bx+c=0\), com \(a\neq 0\). Você pode resolver por Bhaskara ou por fatoração.
Fórmula de Bhaskara:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta=b^2-4ac \]
Exemplo: resolva \(x^2-3x+2=0\).
\[ a=1,\; b=-3,\; c=2 \Rightarrow \Delta=(-3)^2-4(1)(2)=9-8=1 \]
\[ x=\frac{3\pm1}{2} \Rightarrow x_1=2,\; x_2=1 \]
Por fatoração, \(x^2-3x+2=(x-2)(x-1)\). Produto zero ⇒ \(x=2\) ou \(x=1\).
Equação biquadrada
A biquadrada é um caso particular do 4º grau em que não aparecem termos ímpares. Forma típica: \(ax^4+cx^2+e=0\).
Estratégia: faça a substituição \(x^2=p\). Assim, vira uma equação do 2º grau em \(p\).
Exemplo: resolva \(x^4-10x^2+9=0\).
\[ x^4-10x^2+9=0 \] \[ \text{Se } x^2=p,\; \Rightarrow p^2-10p+9=0 \] \[ \Delta=100-36=64 \Rightarrow p=\frac{10\pm 8}{2} \] \[ p_1=9,\; p_2=1 \] \[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \quad;\quad x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \] \[ S=\{3,-3,1,-1\} \]
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3) Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)
O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que toda equação polinomial \(P(x)=0\) (com grau \(\ge 1\)) possui pelo menos uma raiz complexa. Na prática, isso garante que um polinômio sempre tem solução no conjunto dos números complexos.
\[ P(x)=0 \Rightarrow \text{existe pelo menos uma raiz em } \mathbb{C}. \]
Lembre: uma raiz é um valor de \(x\) que torna a igualdade verdadeira.
4) Exercícios resolvidos
Questão 1
Determine o valor de \(x\) que torna a igualdade verdadeira:
Ver solução da Questão 1
Entendendo o enunciado: reorganizar a equação para deixar as incógnitas de um lado e os números do outro.
\[ 2x-8=3x+7 \] \[ 2x-3x=7+8 \] \[ -x=15 \] \[ x=-15 \]
Resposta: \(x=-15\).
Questão 2
Marcos possui R$ 20 a mais que João. Juntos, eles conseguem comprar dois pares de tênis, custando R$ 80 cada par, sem sobrar nenhum dinheiro. Quantos reais tem João?
Ver solução da Questão 2
Modelagem: seja \(x\) o dinheiro do João. Então Marcos tem \(x+20\).
\[ x+(x+20)=2\cdot 80 \] \[ 2x+20=160 \] \[ 2x=140 \] \[ x=70 \]
Resposta: João tem R$ 70 e Marcos tem R$ 90.
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