Como professor de Matemática do 9º ano, uma das situações que mais vejo em sala de aula é o aluno dominar bem equação do 2º grau , mas travar quando aparece um termo com \(x^4\). É exatamente aí que entram as equações biquadradas. Neste artigo, vamos conversar com calma sobre o que elas são, como transformá-las em equações do 2º grau usando uma variável auxiliar e, em seguida, resolver todos os exercícios da atividade proposta, passo a passo, com as raízes bem organizadas.
A ideia é que você se sinta em sala de aula, acompanhando a explicação no quadro: primeiro entendemos a teoria, depois praticamos em vários exemplos, até que o método fique automático na sua cabeça.
O que é uma equação biquadrada?
O truque é perceber que essa equação se comporta como uma equação do 2º grau se fizermos a substituição:
\(y = x^2\)
Assim, a equação \[ ax^4 + bx^2 + c = 0 \] se transforma em \[ ay^2 + by + c = 0, \] que é uma equação do 2º grau em \(y\). Depois que encontramos os valores de \(y\), voltamos para a variável original usando \(x^2 = y\). Só podemos tirar raiz quadrada real quando \(y \geq 0\).
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1. Equações biquadradas – transformando em equação do 2º grau
Agora vamos resolver, um a um, os itens da primeira parte da atividade.
1(a) \(4x^4 – 17x^2 + 4 = 0\)
Ver solução detalhada
Passo 1: Substituir \(y = x^2\).
A equação fica: \[ 4y^2 – 17y + 4 = 0. \]
Passo 2: Resolver a equação do 2º grau em \(y\).
\[ 4y^2 – 17y + 4 = 0 \] Fatorando: \[ (4y – 1)(y – 4) = 0 \] Logo: \[ y = \frac{1}{4} \quad \text{ou} \quad y = 4. \]
Passo 3: Voltar para \(x\), usando \(x^2 = y\).
Para \(y = \frac{1}{4}\):
\(x^2 = \dfrac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \dfrac{1}{2}.\)
Para \(y = 4\):
\(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.\)
Conjunto solução (reais): \[ S = \left\{-2,\,-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2},\,2\right\}. \]
1(b) \(x^4 – 13x^2 + 36 = 0\)
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Substituição: \(y = x^2\).
\[ y^2 – 13y + 36 = 0. \]
Fatorando:
\[ (y – 4)(y – 9) = 0 \Rightarrow y = 4 \quad \text{ou} \quad y = 9. \]
Para \(y = 4\): \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.\)
Para \(y = 9\): \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3.\)
Conjunto solução (reais): \[ S = \{-3,\,-2,\,2,\,3\}. \]
1(c) \(4x^4 – 10x^2 + 9 = 0\)
Ver solução detalhada
Substituição: \(y = x^2\).
\[ 4y^2 – 10y + 9 = 0. \]
Discriminante:
\[ \Delta = (-10)^2 – 4\cdot 4 \cdot 9 = 100 – 144 = -44 < 0. \]
Como \(\Delta < 0\), a equação em \(y\) não possui raízes reais, logo a equação biquadrada não possui raízes reais.
Conjunto solução (reais): \(S = \varnothing\).
1(d) \(x^4 + 3x^2 – 4 = 0\)
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Substituição: \(y = x^2\).
\[ y^2 + 3y – 4 = 0. \]
Fatorando:
\[ (y + 4)(y – 1) = 0 \Rightarrow y = -4 \quad \text{ou} \quad y = 1. \]
\(y = -4\) não gera raízes reais (pois não existe raiz quadrada real de \(-4\)).
Para \(y = 1\): \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1.\)
Conjunto solução (reais): \(S = \{-1,\,1\}.\)
1(e) \(4x^4 – 37x^2 + 9 = 0\)
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Com \(y = x^2\):
\[ 4y^2 – 37y + 9 = 0. \]
Fatoração (ou fórmula de Bhaskara):
\[ (4y – 1)(y – 9) = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{4} \quad \text{ou} \quad y = 9. \]
Para \(y = \dfrac{1}{4}\): \(x^2 = \dfrac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \dfrac{1}{2}.\)
Para \(y = 9\): \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3.\)
Conjunto solução (reais): \[ S = \left\{-3,\,-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2},\,3\right\}. \]
1(f) \(16x^4 – 40x^2 + 9 = 0\)
Ver solução detalhada
Com \(y = x^2\):
\[ 16y^2 – 40y + 9 = 0. \]
Fatorando:
\[ (4y – 1)(4y – 9) = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{4} \quad \text{ou} \quad y = \frac{9}{4}. \]
Para \(y = \dfrac{1}{4}\): \(x^2 = \dfrac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \dfrac{1}{2}.\)
Para \(y = \dfrac{9}{4}\): \(x^2 = \dfrac{9}{4} \Rightarrow x = \pm \dfrac{3}{2}.\)
Conjunto solução (reais): \[ S = \left\{-\frac{3}{2},\,-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{2}\right\}.
1(g) \(x^4 – 7x^2 + 12 = 0\)
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Com \(y = x^2\):
\[ y^2 – 7y + 12 = 0. \]
\[ (y – 3)(y – 4) = 0 \Rightarrow y = 3 \quad \text{ou} \quad y = 4. \]
Para \(y = 3\): \(x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}.\)
Para \(y = 4\): \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.\)
Conjunto solução (reais): \[ S = \{-2,\,-\sqrt{3},\,\sqrt{3},\,2\}. \]
1(h) \(x^4 + 5x^2 + 6 = 0\)
Ver solução detalhada
Com \(y = x^2\):
\[ y^2 + 5y + 6 = 0. \]
\[ (y + 2)(y + 3) = 0 \Rightarrow y = -2 \quad \text{ou} \quad y = -3. \]
Ambos os valores são negativos, portanto não geram raízes reais para \(x\).
Conjunto solução (reais): \(S = \varnothing\).
1(i) \(8x^4 – 10x^2 + 3 = 0\)
Ver solução detalhada
Com \(y = x^2\):
\[ 8y^2 – 10y + 3 = 0. \]
\[ (4y – 3)(2y – 1) = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{4} \quad \text{ou} \quad y = \frac{1}{2}. \]
Para \(y = \dfrac{3}{4}\):
\(x^2 = \dfrac{3}{4} \Rightarrow x = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\)
Para \(y = \dfrac{1}{2}\):
\(x^2 = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}.\)
Conjunto solução (reais): \[ S = \left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},\,-\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}. \]
1(j) \(9x^4 – 13x^2 + 4 = 0\)
Ver solução detalhada
Com \(y = x^2\):
\[ 9y^2 – 13y + 4 = 0. \]
\[ (9y – 4)(y – 1) = 0 \Rightarrow y = \frac{4}{9} \quad \text{ou} \quad y = 1. \]
Para \(y = \dfrac{4}{9}\): \(x^2 = \dfrac{4}{9} \Rightarrow x = \pm \dfrac{2}{3}.\)
Para \(y = 1\): \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1.\)
Conjunto solução (reais): \[ S = \left\{-1,\,-\frac{2}{3},\,\frac{2}{3},\,1\right\}. \]
1(k) \(x^4 – 18x^2 + 32 = 0\)
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Com \(y = x^2\):
\[ y^2 – 18y + 32 = 0. \]
\[ (y – 2)(y – 16) = 0 \Rightarrow y = 2 \quad \text{ou} \quad y = 16. \]
Para \(y = 2\): \(x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}.\)
Para \(y = 16\): \(x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4.\)
Conjunto solução (reais): \[ S = \{-4,\,-\sqrt{2},\,\sqrt{2},\,4\}. \]
1(l) \((x^2 + 2x)(x^2 – 2x) = 45\)
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Passo 1: Desenvolver o produto.
Note que: \[ (x^2 + 2x)(x^2 – 2x) = x^4 – (2x)^2 = x^4 – 4x^2. \]
A equação fica:
\[ x^4 – 4x^2 = 45 \Rightarrow x^4 – 4x^2 – 45 = 0. \]
Passo 2: Substituir \(y = x^2\).
\[ y^2 – 4y – 45 = 0. \]
Fatorando:
\[ (y – 9)(y + 5) = 0 \Rightarrow y = 9 \quad \text{ou} \quad y = -5. \]
\(y = -5\) não gera raízes reais.
Para \(y = 9\): \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3.\)
Conjunto solução (reais): \(S = \{-3,\,3\}.\)
1(m) \(x^4 – x^2 – 12 = 0\)
Ver solução detalhada
Com \(y = x^2\):
\[ y^2 – y – 12 = 0. \]
\[ (y – 4)(y + 3) = 0 \Rightarrow y = 4 \quad \text{ou} \quad y = -3. \]
\(y = -3\) não serve (não há raiz quadrada real).
Para \(y = 4\): \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.\)
Conjunto solução (reais): \(S = \{-2,\,2\}.\)
2. Expressões biquadradas – encontrando as raízes
Nesta segunda parte, as expressões vêm um pouco “escondidas” em produtos e potências, mas a ideia é a mesma: reorganizar a equação na forma \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) e usar \(y = x^2\).
2(a) \((x^2 – 1)(x^2 – 12) + 24 = 0\)
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Passo 1: Desenvolver o produto.
\[ (x^2 – 1)(x^2 – 12) = x^4 – 12x^2 – x^2 + 12 = x^4 – 13x^2 + 12. \]
Somando 24: \[ x^4 – 13x^2 + 12 + 24 = x^4 – 13x^2 + 36. \]
A equação fica:
\[ x^4 – 13x^2 + 36 = 0. \]
Passo 2: Substituir \(y = x^2\):
\[ y^2 – 13y + 36 = 0 \Rightarrow (y – 4)(y – 9) = 0. \] Logo \(y = 4\) ou \(y = 9\).
Para \(y = 4\): \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.\)
Para \(y = 9\): \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3.\)
Raízes reais: \(\{-3,\,-2,\,2,\,3\}.\)
2(b) \((x^2 + 2)^2 = 2(x^2 + 6)\)
Ver solução detalhada
Passo 1: Expandir o lado esquerdo.
\[ (x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4. \]
A equação fica:
\[ x^4 + 4x^2 + 4 = 2x^2 + 12. \]
Passando tudo para o lado esquerdo:
\[ x^4 + 4x^2 + 4 – 2x^2 – 12 = 0 \Rightarrow x^4 + 2x^2 – 8 = 0. \]
Passo 2: Substituir \(y = x^2\):
\[ y^2 + 2y – 8 = 0. \]
\[ (y + 4)(y – 2) = 0 \Rightarrow y = -4 \quad \text{ou} \quad y = 2. \]
\(y = -4\) não gera raízes reais.
Para \(y = 2\): \(x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}.\)
Raízes reais: \(\{-\sqrt{2},\,\sqrt{2}\}.\)
2(c) \((x + 2)(x – 2)(x + 1)(x – 1) + 5x^2 = 20\)
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Passo 1: Agrupar em pares especiais.
\[ (x + 2)(x – 2) = x^2 – 4,\quad (x + 1)(x – 1) = x^2 – 1. \]
Produto: \[ (x^2 – 4)(x^2 – 1) = x^4 – 5x^2 + 4. \]
A equação vira:
\[ x^4 – 5x^2 + 4 + 5x^2 = 20 \Rightarrow x^4 + 4 = 20. \]
\[ x^4 – 16 = 0. \]
Passo 2: Substituir \(y = x^2\):
\[ y^2 – 16 = 0 \Rightarrow (y – 4)(y + 4) = 0. \]
\(y = -4\) não serve (sem raízes reais).
Para \(y = 4\): \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.\)
Raízes reais: \(\{-2,\,2\}.\)
2(d) \(x^2(x^2 – 9) = -20\)
Ver solução detalhada
Passo 1: Levar tudo para um lado.
\[ x^2(x^2 – 9) + 20 = 0 \Rightarrow x^4 – 9x^2 + 20 = 0. \]
Passo 2: Substituir \(y = x^2\):
\[ y^2 – 9y + 20 = 0. \]
\[ (y – 4)(y – 5) = 0 \Rightarrow y = 4 \quad \text{ou} \quad y = 5. \]
Para \(y = 4\): \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.\)
Para \(y = 5\): \(x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5}.\)
Raízes reais: \(\{-2,\,-\sqrt{5},\,\sqrt{5},\,2\}.\)
2(e) \((x^2 + 6)^2 – 17(x^2 + 6) + 70 = 0\)
Ver solução detalhada
Aqui é mais conveniente usar uma variável auxiliar para o bloco todo.
Passo 1: Substituir \(z = x^2 + 6\).
A equação vira: \[ z^2 – 17z + 70 = 0. \]
\[ (z – 7)(z – 10) = 0 \Rightarrow z = 7 \quad \text{ou} \quad z = 10. \]
Passo 2: Voltar para \(x\).
Se \(z = x^2 + 6 = 7\), então \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1.\)
Se \(z = x^2 + 6 = 10\), então \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.\)
Raízes reais: \(\{-2,\,-1,\,1,\,2\}.\)
2(f) \(x^2(x^2 – 10) + 9 = (x + 1)(x – 1)\)
Ver solução detalhada
Passo 1: Expandir e organizar.
Lado esquerdo: \[ x^2(x^2 – 10) + 9 = x^4 – 10x^2 + 9. \]
Lado direito: \[ (x + 1)(x – 1) = x^2 – 1. \]
A equação fica:
\[ x^4 – 10x^2 + 9 = x^2 – 1. \]
Passando tudo para a esquerda:
\[ x^4 – 10x^2 + 9 – x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^4 – 11x^2 + 10 = 0. \]
Passo 2: Substituir \(y = x^2\):
\[ y^2 – 11y + 10 = 0. \]
\[ (y – 1)(y – 10) = 0 \Rightarrow y = 1 \quad \text{ou} \quad y = 10. \]
Para \(y = 1\): \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1.\)
Para \(y = 10\): \(x^2 = 10 \Rightarrow x = \pm \sqrt{10}.\)
Raízes reais: \(\{-\sqrt{10},\,-1,\,1,\,\sqrt{10}\}.\)
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Fechando a aula
Observe como todas as questões seguem o mesmo padrão: transformar a equação para a forma \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), usar a variável auxiliar \(y = x^2\), resolver a equação do 2º grau e, por fim, voltar para \(x\). Com treino, esse processo fica bem mecânico e você passa a reconhecer equações biquadradas rapidamente, tanto em provas quanto em concursos.
Vale a pena refazer esses exercícios no caderno, anotando título, data e resolução completa, exatamente como se estivesse em uma atividade avaliativa. Isso ajuda a consolidar o conteúdo e a ganhar segurança para as próximas etapas da álgebra.
