Equações Exponenciais: Guia Completo
As equações exponenciais aparecem quando a incógnita está no expoente. São muito cobradas no ENEM, vestibulares e concursos. Neste artigo você verá definição, métodos de resolução, exemplos passo a passo e exercícios com gabarito.
Princípio Fundamental
$$ a^b = a^c \;\;\Longleftrightarrow\;\; b = c \quad (0 < a \neq 1) $$
Ou seja, se as bases são iguais (e válidas), basta igualar os expoentes.
Métodos de Resolução
1) Igualdade de bases
$$\begin{aligned}
2^{3x-1} &= 8 \\
&= 2^3 \\
3x-1 &= 3 \\
x &= \tfrac{4}{3}
\end{aligned}$$
2) Isolamento da potência
$$\begin{aligned}
5\cdot 3^x &= 135 \\
3^x &= 27 \\
x &= 3
\end{aligned}$$
3) Substituição
$$\begin{aligned}
2^{2x}+2^x-6 &= 0 \\
u &= 2^x \\
u^2+u-6 &= 0 \\
(u-2)(u+3) &= 0 \\
u &= 2 \Rightarrow x=1
\end{aligned}$$
4) Fatoração
$$\begin{aligned}
3^x+3^{x+1} &= 108 \\
3^x(1+3) &= 108 \\
3^x &= 27 \\
x &= 3
\end{aligned}$$
5) Bases diferentes (uso de logaritmos)
$$\begin{aligned}
5^x &= 12 \\
x &= \frac{\log 12}{\log 5}
\end{aligned}$$
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Exemplos Resolvidos
$$\begin{aligned}
4^{x-1} &= 8^{2-x} \\
2^{2x-2} &= 2^{6-3x} \\
2x-2 &= 6-3x \\
5x &= 8 \\
x &= \tfrac{8}{5}
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
3^{2x}+3^x-12 &= 0 \\
u &= 3^x \\
u^2+u-12 &= 0 \\
(u-3)(u+4)=0 \\
u=3 \Rightarrow x=1
\end{aligned}$$
Exercícios (com gabarito)
$$\begin{aligned}
2^{x+1} &= 32 \\
x+1 &= 5 \\
x &= 4
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
9\cdot 3^x &= 243 \\
3^x &= 27 \\
x &= 3
\end{aligned}$$
Conclusão
Dominar as equações exponenciais exige treino constante. Reforce este conteúdo com os mapas mentais, pratique no Banco de Questões e consulte sempre o E-book de Fórmulas para revisar rapidamente.
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