Equações Logarítmicas

As equações logarítmicas são aquelas em que a incógnita aparece dentro de um logaritmo. Esse tipo de equação é fundamental para quem está estudando funções logarítmicas e equações exponenciais, já que as duas estão intimamente relacionadas.

\( \log_a x_1 = \log_a x_2 \iff x_1 = x_2 \)

1. O que é uma equação logarítmica?

Uma equação logarítmica é aquela que contém uma ou mais expressões envolvendo logaritmos. Para resolvê-las, usamos as propriedades fundamentais dos logaritmos e, em alguns casos, transformamos em forma exponencial.

Condições de existência:

\( a > 0 \) e \( a \neq 1 \)
\( x > 0 \)

2. Propriedade principal

Se os logaritmos possuem a mesma base e são iguais, então seus logaritmandos também são iguais:

\( \log_a x_1 = \log_a x_2 \Rightarrow x_1 = x_2 \)

3. Exemplos resolvidos

Exemplo 1

Resolva \( \log_2 (x) = 3 \)

Transformando em forma exponencial:

\( x = 2^3 \Rightarrow x = 8 \)

Exemplo 2

Resolva \( \log_5 (x + 5) = 2 \)

\( x + 5 = 5^2 \Rightarrow x + 5 = 25 \Rightarrow x = 20 \)

Exemplo 3

Resolva \( \log_3 (x – 1) = \log_3 (8) \)

Como as bases são iguais: \( x – 1 = 8 \Rightarrow x = 9 \)

4. Exercícios de múltipla escolha

1) Resolva \( \log_2 (x – 1) = 3 \)

a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

Ver solução

\( x – 1 = 2^3 \Rightarrow x = 9 \)

Resposta: d) 9

2) Resolva \( \log_3 (x) + \log_3 (x – 2) = 3 \)

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5

Ver solução

Usando a propriedade do produto:

\( \log_3 [x(x – 2)] = 3 \Rightarrow \log_3 (x^2 – 2x) = 3 \Rightarrow x^2 – 2x = 27 \Rightarrow x^2 – 2x – 27 = 0 \)

Resolvendo: \( x = 9 \) ou \( x = -3 \). O logaritmo exige valores positivos, logo \( x = 9 \).

Resposta: x = 9 → letra d)

3) Resolva \( \log_4 (x + 3) = \log_4 (7) \)

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Ver solução

\( x + 3 = 7 \Rightarrow x = 4 \)

Resposta: b) 4

4) Resolva \( \log_2 (x + 1) – \log_2 (x – 1) = 1 \)

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5

Ver solução

Usando a propriedade do quociente:

\( \log_2 \frac{x + 1}{x – 1} = 1 \Rightarrow \frac{x + 1}{x – 1} = 2^1 = 2 \)

\( x + 1 = 2x – 2 \Rightarrow x = 3 \)

Resposta: b) 3

5. Dica para concursos

Em provas de concurso e vestibulares, é comum que as equações logarítmicas apareçam combinadas com as exponenciais. Portanto, esteja preparado para converter entre as duas formas:

\( a^x = b \iff x = \log_a b \)

Essa equivalência é a base para resolver muitos problemas mistos entre logaritmos e potências.

✨ Aprofunde seus estudos com nossos materiais: 🧠 Mapas Mentais | 📚 10 eBooks de Matemática | 🧩 Banco de Questões

📗 Baixe o eBook de Fórmulas Matemáticas!