As equações logarítmicas são aquelas em que a incógnita aparece dentro de um logaritmo. Esse tipo de equação é fundamental para quem está estudando funções logarítmicas e equações exponenciais, já que as duas estão intimamente relacionadas.
1. O que é uma equação logarítmica?
Uma equação logarítmica é aquela que contém uma ou mais expressões envolvendo logaritmos. Para resolvê-las, usamos as propriedades fundamentais dos logaritmos e, em alguns casos, transformamos em forma exponencial.
Condições de existência:
- \( a > 0 \) e \( a \neq 1 \)
- \( x > 0 \)
2. Propriedade principal
Se os logaritmos possuem a mesma base e são iguais, então seus logaritmandos também são iguais:
3. Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Resolva \( \log_2 (x) = 3 \)
Transformando em forma exponencial:
\( x = 2^3 \Rightarrow x = 8 \)
Exemplo 2
Resolva \( \log_5 (x + 5) = 2 \)
\( x + 5 = 5^2 \Rightarrow x + 5 = 25 \Rightarrow x = 20 \)
Exemplo 3
Resolva \( \log_3 (x – 1) = \log_3 (8) \)
Como as bases são iguais: \( x – 1 = 8 \Rightarrow x = 9 \)
4. Exercícios de múltipla escolha
- a) 6
- b) 7
- c) 8
- d) 9
Ver solução
\( x – 1 = 2^3 \Rightarrow x = 9 \)
Resposta: d) 9
- a) 2
- b) 3
- c) 4
- d) 5
Ver solução
Usando a propriedade do produto:
\( \log_3 [x(x – 2)] = 3 \Rightarrow \log_3 (x^2 – 2x) = 3 \Rightarrow x^2 – 2x = 27 \Rightarrow x^2 – 2x – 27 = 0 \)
Resolvendo: \( x = 9 \) ou \( x = -3 \). O logaritmo exige valores positivos, logo \( x = 9 \).
Resposta: x = 9 → letra d)
- a) 3
- b) 4
- c) 5
- d) 6
Ver solução
\( x + 3 = 7 \Rightarrow x = 4 \)
Resposta: b) 4
- a) 2
- b) 3
- c) 4
- d) 5
Ver solução
Usando a propriedade do quociente:
\( \log_2 \frac{x + 1}{x – 1} = 1 \Rightarrow \frac{x + 1}{x – 1} = 2^1 = 2 \)
\( x + 1 = 2x – 2 \Rightarrow x = 3 \)
Resposta: b) 3
5. Dica para concursos
Em provas de concurso e vestibulares, é comum que as equações logarítmicas apareçam combinadas com as exponenciais. Portanto, esteja preparado para converter entre as duas formas:
Essa equivalência é a base para resolver muitos problemas mistos entre logaritmos e potências.
