Esfera — Volume e Área (com Exercícios Resolvidos)

Tudo o que você precisa saber para acertar questões sobre esfera e hemisfério: fórmulas, ideias-chave, exemplos e uma lista de exercícios.

O que é uma Esfera?

A esfera é o conjunto de pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo (o centro). Essa distância é o raio, indicado por R. O diâmetro vale D = 2R. A “casca” externa é a superfície esférica.

Aplicações: bolas, planetas, bolhas, rolamentos. Tema recorrente no ENEM Matemática e em concursos.

Fórmulas Essenciais

Volume e Área da Esfera (raio R)

Volume: \( V = \dfrac{4}{3}\,\pi R^3 \)
Área da superfície: \( A = 4\pi R^2 \)

Para o hemisfério (metade da esfera): \(V_{hemi}=\dfrac{2}{3}\pi R^3\). A área “curva” é \(2\pi R^2\); com a base circular incluída, \(A_{hemi,total}=3\pi R^2\).

Círculo Máximo

O maior “corte” plano numa esfera é um círculo de raio R (círculo máximo). Área: \( \pi R^2 \).

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Exemplos Resolvidos

Exemplo 1 — Volume de uma bola

Enunciado. Uma bola tem diâmetro 12 cm. Calcule o volume.

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Raio: \( R = \dfrac{12}{2} = 6 \) cm.
\( V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 6^3 = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 216 = \mathbf{288\pi\ \text{cm}^3} \) (≈ \(904.78\ \text{cm}^3\)).

Exemplo 2 — Raio a partir da área

Enunciado. A superfície de uma esfera mede \( 196\pi \) cm². Encontre R.

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\( A = 4\pi R^2 = 196\pi \Rightarrow R^2 = 49 \Rightarrow R = \mathbf{7\ \text{cm}} \).

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Exercícios Propostos

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1) Uma esfera tem raio \( R=5 \) cm. Calcule: (a) o volume e (b) a área.

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(a) \( V=\frac{4}{3}\pi 5^3=\frac{4}{3}\pi 125=\mathbf{\frac{500\pi}{3}\ \text{cm}^3} \).
(b) \( A=4\pi 5^2=100\pi\ \text{cm}^2 \).

2) (Múltipla escolha) Dobrando o raio de uma esfera, o volume:

duplica
triplica
quadruplica
octuplica

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\( V \propto R^3 \Rightarrow R\to 2R \Rightarrow V\to 8V \). Alternativa D.

3) A área de uma esfera é \( 324\pi \) cm². Determine o volume.

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\( 4\pi R^2=324\pi \Rightarrow R^2=81 \Rightarrow R=9 \).
\( V=\frac{4}{3}\pi 9^3=\frac{4}{3}\pi 729=\mathbf{972\pi\ \text{cm}^3} \).

4) Um hemisfério de raio 6 cm será pintado apenas por fora (superfície curva). Qual a área pintada?

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Área curva do hemisfério: \(2\pi R^2=2\pi\cdot36=\mathbf{72\pi\ \text{cm}^2}\).

5) Uma esfera está inscrita em um cubo de aresta 10 cm. Calcule a diferença entre o volume do cubo e o volume da esfera.

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Esfera inscrita ⇒ \(D=10\Rightarrow R=5\).
V_cubo=\(10^3=1000\). V_esfera=\(\frac{4}{3}\pi 5^3=\frac{500\pi}{3}\).
Diferença: \(1000-\frac{500\pi}{3}\approx \mathbf{476{,}99\ \text{cm}^3}\).

6) (Múltipla escolha) A área da maior secção circular da esfera (círculo máximo) é:

\( \pi R^2 \)
\( 2\pi R^2 \)
\( 3\pi R^2 \)
\( 4\pi R^2 \)

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É um círculo de raio \(R\). Área \( \pi R^2 \). Alternativa A.

7) Uma esfera metálica maciça tem raio 4 cm. É perfurada por um furo cilíndrico ao longo do diâmetro, de raio 2 cm. Determine o volume removido.

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Volume removido ≈ volume do cilindro com altura \(2R=8\) menos dois cones com \(R=2\) e \(H=\sqrt{R^2-2^2}=\sqrt{12}\).
V = \( \pi r^2 h – 2\cdot \frac{1}{3}\pi r^2 H = \pi\cdot4\cdot8 – \frac{2}{3}\pi\cdot4\sqrt{12} \) = \( 32\pi – \frac{8\pi\sqrt{12}}{3} \) cm³. (Aproximado: \(32\pi – 9.237\pi \approx \mathbf{71.2\ \text{cm}^3}\)).

8) A diferença de volumes entre duas esferas concêntricas de raios 6 cm e 4 cm é:

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\(\Delta V = \frac{4}{3}\pi(6^3-4^3)=\frac{4}{3}\pi(216-64)=\frac{4}{3}\pi\cdot152=\mathbf{202.\overline{6}\pi\ \text{cm}^3}\) (≈ \(636.17\) cm³).

9) A Terra tem raio médio \(R \approx 6371\) km. Estime a área de sua superfície (em milhões de km²).

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\( A=4\pi R^2 \approx 4\pi\cdot(6371)^2 \approx 510\ \text{milhões de km}^2 \).

10) (Teoria) Assinale a alternativa falsa: