Estudo do sinal de uma função

Gráficos ilustrando onde a função é positiva e negativa

O que é “sinal” de uma função?

Para uma função \(f\), dizemos que:

\(f(x)>0\) (positiva) quando os pontos do gráfico estão acima do eixo \(x\);
\(f(x)<0\) (negativa) quando estão abaixo do eixo \(x\);
\(f(x)=0\) (nula) nos zeros ou raízes da função (interseções com o eixo \(x\)).

Estudar o sinal é base para resolver desigualdades como \(f(x)\ge0\), \(f(x)<0\), etc. Veja também: Zero de uma função, Gráfico de uma Função e Domínio e Imagem.

Procedimento geral (quadro de sinais)

Domínio — determine onde \(f\) está definida.
Zeros/pontos críticos — resolva \(f(x)=0\) (e, se racional, anote também onde o denominador zera).
Ordene os pontos na reta real: \(x_1
Teste intervalos (um ponto em cada intervalo) ou use as regras de multiplicidade:
- Raiz de multiplicidade ímpar (fator \((x-a)^m\) com \(m\) ímpar) troca o sinal ao passar por \(x=a\).
- Raiz de multiplicidade par não troca o sinal.
- Em racionais, zeros do numerador e polos (zeros do denominador) também podem trocar o sinal conforme as multiplicidades.
Monte o quadro e conclua onde \(f(x)\gtrless 0\). Inclua ou exclua os pontos conforme \(\ge,\le,>,<\).

Exemplos resolvidos

1) Função afim

\(f(x)=2x+4\). Zero em \(2x+4=0\Rightarrow x=-2\).

Sinal: para \(x<-2\), \(f(x)<0\); para \(x>-2\), \(f(x)>0\). Logo: \[ f(x)\ge0 \iff x\ge -2,\qquad f(x)<0 \iff x<-2. \]

2) Quadrática simples

\(g(x)=x^2-\dfrac{1}{9}\). Zeros: \(x=\pm\dfrac{1}{3}\).

Como a concavidade é para cima, \(g(x)<0\) entre as raízes e \(>0\) fora: \[ g(x)<0 \iff -\tfrac13

3) Multiplicidade

\(h(x)=(x-1)^2(x+2)\). Raízes: \(x=1\) (multiplicidade 2) e \(x=-2\) (multiplicidade 1).

O sinal troca em \(x=-2\) e não troca em \(x=1\). Se testar \(x\to+\infty\), \(h(x)>0\). Caminhando para a esquerda:
\((1,+\infty)\): \(+\) → ao passar por \(1\) (par) mantém \(+\).
\((-2,1)\): \(+\) → ao passar por \(-2\) (ímpar) inverte para \( – \).
\((-\infty,-2)\): \( – \).

4) Função racional

\(r(x)=\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-3}\). Domínio: \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Pontos: zeros \(x=1,-2\); pólo \(x=3\).

Organizando: \(-\infty < -2 < 1 < 3 < +\infty\). Tomando um ponto por intervalo ou multiplicidades:

\((-\infty,-2)\): \(r(-3)=\dfrac{(-)(-)}{(-)}=\dfrac{+}{-}=-\).
\((-2,1)\): \(r(0)=\dfrac{(-)(+)}{(-)}=\dfrac{-}{-}=+\).
\((1,3)\): \(r(2)=\dfrac{(+)(+)}{(-)}=-\).
\((3,\infty)\): \(r(4)=\dfrac{(+)(+)}{(+)}=+\).

Logo \(r(x)>0\) em \((-2,1)\cup(3,\infty)\) e \(r(x)<0\) em \((-\infty,-2)\cup(1,3)\).

Quadro-resumo rápido

Regras úteis para o sinal
Situação	O que acontece com o sinal?	Dica
Raiz com expoente ímpar	Troca o sinal ao atravessar a raiz	Fator \((x-a)^{2k+1}\)
Raiz com expoente par	Não troca o sinal	Fator \((x-a)^{2k}\)
Pólo (denominador zero)	Geralmente há troca, conforme multiplicidade	Não pertence ao domínio
Produto de fatores	Par de negativos → positivo; ímpar → negativo	Conte os “menos”
Quociente \(N/D\)	Sinal é o de \(N\) multiplicado pelo de \(D\)	Analise separadamente

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Exercícios (múltipla escolha) com solução

1) O conjunto solução de \(2x+6\ge0\) é:

\((-\infty,-3)\)
\((-\infty,-3]\)
\([-3,\infty)\)
\((-3,\infty)\)

Ver solução

Zero em \(-3\). Para \(x\ge-3\), a função afim é não-negativa. Solução: \([-3,\infty)\).

2) Resolva \(x^2-\dfrac{1}{9}<0\).

\(x\in\mathbb{R}\)
\(x\in(-\tfrac13,\tfrac13)\)
\(x\in(-\infty,-\tfrac13)\cup(\tfrac13,\infty)\)

Ver solução

Quadrática com zeros em \(\pm\tfrac13\) e concavidade para cima: negativa entre as raízes. \((-\tfrac13,\tfrac13)\).

3) Para \(h(x)=(x-1)^2(x+2)\), o sinal em \(x=1\) e seus arredores é:

Muda de \(+\) para \(-\)
Permanece o mesmo
Indeterminado

Ver solução

Multiplicidade par em \(x=1\) ⇒ não troca o sinal. Alternativa (b).

4) Para \(r(x)=\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-3}\), assinale onde \(r(x)>0\).

\((-\infty,-2)\cup(1,3)\)
\((-2,1)\cup(3,\infty)\)
\((-2,1)\cup(1,3)\)

Ver solução

Baseado no quadro de sinais acima: positivo em \((-2,1)\cup(3,\infty)\).

5) Inequação: \(\dfrac{x-4}{(x+1)^2}\le0\). O conjunto solução é:

\((-\infty,-1)\cup(-1,4]\)
\((-\infty,-1)\cup[4,\infty)\)
\((-\infty,4]\setminus\{-1\}\)

Ver solução

Denominador é sempre \(>0\) (exceto \(x=-1\), fora do domínio). O sinal é o do numerador \(x-4\). Assim, \(\le0\Rightarrow x\le4\), mas exclui \(x=-1\). Resultado: \((-\infty,4]\setminus\{-1\}\).

6) Para \(p(x)=(x-2)^3(x+5)\), o sinal ao cruzar \(x=2\) é: