Exercício Dodecaedro – 15 situações-problema (múltipla escolha)
Pratique tudo sobre o dodecaedro regular: área, volume, raios das esferas inscrita/circunscrita, escalonamento, materiais e montagem. Cada questão traz enunciado claro, alternativas e solução oculta (abre/fecha). Observação: as alternativas não são destacadas no enunciado.
Lembretes úteis
- Símbolos: \(a\) = comprimento da aresta (lado do pentágono); \(A_t\) = área total; \(V\) = volume; \(R\) = raio circunscrito (centro → vértice); \(r\) = raio inscrito (centro → plano de face).
- Fórmulas do dodecaedro regular:\(A_t=\displaystyle 3a^2\sqrt{25+10\sqrt5}\), \(V=\displaystyle \frac{15+7\sqrt5}{4}\,a^3\),
\(R=\displaystyle \frac{a}{4}\sqrt3\,(1+\sqrt5)\), \(r=\displaystyle \frac{a}{20}\sqrt{250+110\sqrt5}\).
(Use \(\sqrt5\!\approx\!2{,}236\), \(\sqrt3\!\approx\!1{,}732\), \(\varphi\!\approx\!1{,}618\).)
Veja também (conteúdo relacionado)
- Dodecaedro – definição e fórmulas (artigo teórico com propriedades e curiosidades).
- Sólidos de Platão – panorama dos cinco sólidos regulares.
- Icosaedro – sólido dual do dodecaedro.
- Octaedro e Hexaedro (cubo) – compare áreas/volumes e simetrias.
Questões
1) Contagem básica na montagem
Uma turma montará uma maquete de dodecaedro regular. Antes da colagem, o professor pede a tripla correta de faces, arestas e vértices do sólido.
- 12 faces, 24 arestas, 20 vértices
- 10 faces, 30 arestas, 20 vértices
- 12 faces, 30 arestas, 20 vértices
- 20 faces, 30 arestas, 12 vértices
Para o dodecaedro regular: \(F=12\), \(E=30\), \(V=20\). Verificação de Euler: \(V-E+F=20-30+12=2\).
2) Custo de pintura (superfície)
Um estúdio fará um dodecaedro de MDF com aresta \(a=4\) cm, a ser pintado com tinta a R$ 0,09 por cm². Despreze perdas. Qual é o custo total de pintura?
- R$ 26,45
- R$ 29,73
- R$ 32,10
- R$ 35,90
\(A_t=3a^2\sqrt{25+10\sqrt5}=3\cdot16\cdot\sqrt{25+10\sqrt5}\approx330{,}33\ \text{cm}^2\). Custo \(\approx0{,}09\cdot330{,}33=R\$\,29{,}73\).
3) Resina para impressão 3D (volume)
Uma peça maciça em forma de dodecaedro, com aresta \(a=5\) cm, será impressa em resina. Qual é o volume aproximado necessário?
- 820,00 cm³
- 900,00 cm³
- ≈ 957,89 cm³
- ≈ 1 020,00 cm³
\(V=\frac{15+7\sqrt5}{4}a^3 \Rightarrow V\approx \frac{15+7\cdot2{,}236}{4}\cdot125\approx957{,}89\ \text{cm}^3\).
4) Embalagem esférica (ponta a ponta)
Para transportar com segurança um dodecaedro de aresta \(a=8\) cm, ele será colocado dentro de uma esfera que contenha o sólido de ponta a ponta. Qual diâmetro mínimo atende?
- 20,00 cm
- 22,42 cm
- 24,00 cm
- 26,00 cm
Diâmetro \(=2R\). Como \(R=\frac{a}{4}\sqrt3(1+\sqrt5)\), para \(a=8\): \(R\approx11{,}21\) ⇒ \(2R\approx22{,}42\ \text{cm}\).
5) Redimensionamento do protótipo
Um protótipo tem aresta \(a\). Na versão final, a aresta será 20% maior: \(a_{\text{novo}}=1{,}20\,a\). De quanto variam a área total e o volume?
- Área +20% e volume +20%
- Área +20% e volume +40%
- Área +44% e volume +72,8%
- Área +44% e volume +44%
Fator linear \(k=1{,}20\). Áreas \(\propto k^2=1{,}44\) (↑44%); volumes \(\propto k^3=1{,}728\) (↑72,8%).
6) “Área medida” → descubra a aresta
Um artista mediu a superfície de um dodecaedro pintado e obteve \(A_t\approx 743{,}25\ \text{cm}^2\). Qual é o comprimento da aresta \(a\)?
- 5 cm
- 6 cm
- 7 cm
- 8 cm
Resolver \(3a^2\sqrt{25+10\sqrt5}=743{,}25\) ⇒ \(a\approx6\ \text{cm}\).
7) Aresta a partir do diâmetro medido
O diâmetro da esfera circunscrita a um dodecaedro foi medido como 28,0 cm. Estime o comprimento da aresta \(a\).
- 8 cm
- 9 cm
- 10 cm
- 12 cm
Se \(2R=28\Rightarrow R=14\). Logo \(a=\dfrac{4R}{\sqrt3(1+\sqrt5)}\approx 9{,}99\ \text{cm}\) (≈ 10 cm).
8) Aresta a partir do raio inscrito
Um dodecaedro envolve uma esfera de raio \(r=6{,}70\) cm. Qual é o comprimento da aresta \(a\)?
- 5,50 cm
- ≈ 6,00 cm
- 6,50 cm
- 7,00 cm
\(a=\dfrac{20r}{\sqrt{250+110\sqrt5}}\Rightarrow a\approx6{,}02\ \text{cm}\) (≈ 6,0 cm).
9) Folga de espuma na embalagem
Um dodecaedro maciço com aresta \(a=8\) cm entra justo numa esfera circunscrita. Qual é o volume de espuma que preencheria a folga entre a esfera e o sólido? (em cm³, aprox.)
- ≈ 1 500
- ≈ 1 977
- ≈ 2 300
- ≈ 2 800
Com \(a=8\): \(R\approx11{,}21\). \(V_{\text{esf}}=\frac{4}{3}\pi R^3\approx 6{,}154{,}8\). \(V_{\text{dod}}\approx 3{,}923{,}5\). Diferença \(\approx 1{,}977\ \text{cm}^3\).
10) Encontro de faces num vértice
Durante a montagem, um aluno pergunta: “Quantos pentágonos se encontram em cada vértice e qual a soma dos ângulos planos nessa vizinhança?”
- 3 faces e 300°
- 3 faces e 324°
- 4 faces e 360°
- 5 faces e 540°
Encontram-se 3 pentágonos. O ângulo interno do pentágono é \(108^\circ\). Soma local: \(3\cdot108^\circ=324^\circ\).
11) Comparando dois modelos
Serão feitos dois dodecaedros com arestas \(a_1=6\) cm e \(a_2=9\) cm. Qual a razão entre as áreas totais \(A_{t,2}/A_{t,1}\)?
- 1,50
- 2,25
- 2,50
- 3,00
Áreas escalam com \(a^2\). Logo \((9/6)^2=(1{,}5)^2=2{,}25\).
12) Tinta por litragem (cobertura por área)
Uma tinta rende 8 m²/L. Para um dodecaedro de aresta \(a=25\) cm, estime os litros necessários para uma demão, considerando 10% de sobra. (Use \(1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2\)).
- 0,12 L
- 0,18 L
- 0,20 L
- 0,25 L
\(A_t\approx 12\,903{,}58\ \text{cm}^2=1{,}2904\ \text{m}^2\). Litros \(=1{,}2904/8\approx0{,}1613\). Com 10%: \(\approx0{,}177\ \text{L}\) (≈ 0,18 L).
13) Qual fórmula está correta para \(R\)?
Assinale a expressão correta para o raio circunscrito \(R\) do dodecaedro em função da aresta \(a\).
- \(R=\dfrac{a}{\sqrt2}\)
- \(R=\dfrac{a}{2}\sqrt3\)
- \(R=\dfrac{a}{4}\sqrt3(1+\sqrt5)\)
- \(R=\dfrac{a}{4}\sqrt5(1+\sqrt3)\)
No dodecaedro regular: \(R=\dfrac{a}{4}\sqrt3(1+\sqrt5)\).
14) Massa de uma casca metálica
Uma “casca” de dodecaedro foi feita em alumínio (\(\rho\approx2{,}70\ \text{g/cm}^3\)) com espessura 0,50 mm (= 0,05 cm). Se a aresta é \(a=7\) cm, qual a massa aproximada da casca? (Considere massa = área × espessura × densidade.)
- ≈ 0,14 kg
- ≈ 0,22 kg
- ≈ 0,35 kg
- ≈ 0,50 kg
Para \(a=7\): \(A_t\approx1\,011{,}64\ \text{cm}^2\). Volume da folha \(=A_t\cdot0{,}05\approx50{,}58\ \text{cm}^3\). Massa \(=50{,}58\cdot2{,}70\approx136{,}6\ \text{g}\) (≈ 0,14 kg).
15) Verdade sobre dualidade
Qual afirmação descreve corretamente a dualidade do dodecaedro regular?
- É dual do cubo (hexaedro).
- É dual do tetraedro.
- É dual do icosaedro.
- Não possui sólido dual.
O dodecaedro é dual do icosaedro: vértices de um ↔ faces do outro.
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