Exercício Octaedro – 15 questões comentadas (múltipla escolha)
Seleção progressiva de exercícios sobre octaedro regular (um dos Sólidos de Platão). Cada questão vem em situação-problema, com alternativas e solução oculta no sistema abre/fecha.
Antes de começar: fórmulas de bolso
Aresta \(a\). Área total \(A_t=2\sqrt{3}\,a^2\). Volume \(V=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\,a^3\).
Esferas: \(R=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\) (circunscrita), \(r=\dfrac{a}{\sqrt{6}}\) (inscrita). Euler: \(6-12+8=2\).
Use \(\sqrt{2}\approx1{,}414\) e \(\sqrt{3}\approx1{,}732\) quando necessário.
15 Exercício de Octaedro(múltipla escolha)
- a = comprimento da aresta do octaedro (lado de cada triângulo equilátero das faces).
- R = raio da esfera circunscrita ao octaedro (do centro a um vértice).
- r = raio da esfera inscrita no octaedro (do centro ao plano de uma face).
Quando precisar, use \( \sqrt{2}\approx1{,}414 \) e \( \sqrt{3}\approx1{,}732 \).
Q1 — Pintura de um pingente
Um pingente em formato de octaedro, com aresta de comprimento \(a=5\) cm, será envernizado. O verniz custa R$ 0,12 por cm². Qual será o custo para envernizar todas as faces?
- R$ 8,31
- R$ 10,39
- R$ 12,47
- R$ 15,59
\(A_t=2\sqrt{3}\cdot25=50\sqrt{3}\approx86{,}60\). Custo \(=0{,}12\cdot86{,}60\approx \mathbf{R\$\,10{,}39}\).
Q2 — Resina na impressão 3D
Um protótipo em octaedro tem aresta \(a=6\) cm. Qual é o volume de resina necessário para imprimir a peça?
- \(60\sqrt{2}\) cm³
- \(72\sqrt{2}\) cm³
- \(96\sqrt{2}\) cm³
- \(108\sqrt{2}\) cm³
\(V=\frac{\sqrt{2}}{3}a^3=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot216=72\sqrt{2}\approx101{,}82\ \text{cm}^3\).
Q3 — Área total imposta no projeto
Pede-se construir um octaedro cuja área total seja \(A_t=200\sqrt{3}\) cm². Determine o comprimento da aresta \(a\).
- 8 cm
- 9 cm
- 10 cm
- 12 cm
\(2\sqrt{3}a^2=200\sqrt{3}\Rightarrow a^2=100\Rightarrow a=\mathbf{10\text{ cm}}\).
Q4 — Volume informado, encontre a aresta
Um octaedro tem volume \(V=243\sqrt{2}\) cm³. Qual é o comprimento da aresta \(a\)?
- 7 cm
- 8 cm
- 9 cm
- 10 cm
\(\frac{\sqrt{2}}{3}a^3=243\sqrt{2}\Rightarrow a^3=729\Rightarrow a=\mathbf{9\ \text{cm}}\).
Q5 — Pintura econômica
Um enfeite em octaedro tem aresta \(a=4\) cm e será pintado a R$ 0,15 por cm². Qual o custo total de pintura?
- R$ 6,93
- R$ 7,50
- R$ 8,31
- R$ 9,60
\(A_t=2\sqrt{3}\cdot16=32\sqrt{3}\approx55{,}43\). Custo \(=0{,}15\cdot55{,}43\approx\mathbf{R\$\,8{,}31}\).
Q6 — Preço da resina por volume
Para um octaedro com aresta \(a=8\) cm, a resina custa R$ 0,04 por cm³. Qual será o gasto em resina?
- R$ 7,80
- R$ 8,95
- R$ 9,65
- R$ 10,20
\(V=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot512\approx241{,}42\). Custo \(\approx0{,}04\cdot241{,}42=\mathbf{R\$\,9{,}65}\).
Q7 — Embalagem esférica (ponta a ponta)
Deseja-se embalar um octaedro de aresta \(a=9\) cm em uma esfera de proteção. Qual o diâmetro mínimo da esfera para conter o sólido ponta a ponta?
- 12,73 cm
- 13,50 cm
- 14,10 cm
- 15,00 cm
Diâmetro \(=2R\). Como \(R=\frac{a}{\sqrt{2}}\), \(d=a\sqrt{2}=9\cdot1{,}414=\mathbf{12{,}73}\) cm.
Q8 — Encontre a aresta a partir de \(R\)
Um octaedro está inscrito numa esfera de raio circunscrito \(R=7\) cm (do centro ao vértice). Qual é o comprimento da aresta \(a\)?
- 9,90 cm
- 9,41 cm
- 10,50 cm
- 11,30 cm
\(a=R\sqrt{2}=7\cdot1{,}414\approx \mathbf{9{,}90}\) cm.
Q9 — Encontre a aresta a partir de \(r\)
Um octaedro envolve exatamente uma esfera de raio inscrito \(r=3\) cm (do centro ao plano de uma face). Qual é a aresta \(a\)?
- 6,93 cm
- 7,35 cm
- 7,80 cm
- 8,00 cm
\(a=r\sqrt{6}=3\cdot2{,}449\approx \mathbf{7{,}35}\) cm.
Q10 — Escalonamento de maquete
Um modelo de octaedro tem aresta \(a=4\) cm. A peça real será \(2{,}5\) vezes maior em cada dimensão (aresta real \(a_r=2{,}5\cdot a\)). Qual é o volume real?
- 346,4 cm³
- 400,0 cm³
- 471,4 cm³
- 512,0 cm³
\(a_r=10\) cm. \(V=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot10^3=\mathbf{471{,}4}\) cm³.
Q11 — Aumento percentual na aresta
Um octaedro tem aresta \(a\). Ao redesenhar, a aresta passa a \(1{,}10\,a\) (aumento de 10%). Por quanto multiplicam-se a área total e o volume?
- Área +10%; Volume +10%
- Área +10%; Volume +21%
- Área +21%; Volume +21%
- Área +21%; Volume +33,1%
Fator linear \(k=1{,}10\). Áreas \(\propto k^2=1{,}21\), volumes \(\propto k^3=1{,}331\).
Q12 — Estrutura metálica (arestas)
Vai-se montar a “armação” de um octaedro usando uma barra por aresta. Se a aresta tem 0,50 m, quantos metros comprar para as 12 arestas, com 5% de sobra?
- 6,00 m
- 6,30 m
- 6,60 m
- 7,00 m
Total útil \(=12\cdot0{,}50=6{,}0\) m. Com 5%: \(6,0\times1{,}05=\mathbf{6{,}30}\) m.
Q13 — Decomposição em pirâmides
Considere um octaedro de aresta \(a=6\) cm. Vendo-o como duas pirâmides quadrangulares coladas pela base, qual é o seu volume?
- \(60\sqrt{2}\)
- \(64\sqrt{2}\)
- \(72\sqrt{2}\)
- \(96\sqrt{2}\)
\(V=2\cdot\frac{1}{3}a^2\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}a^3=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot216=72\sqrt{2}\).
Q14 — Relação entre raios
Para qualquer octaedro regular, qual é a razão entre o raio circunscrito \(R\) e o raio inscrito \(r\) (isto é, \(R:r\))?
- \(\sqrt{2}\)
- \(\sqrt{3}\)
- 2
- 3
\(R=\frac{a}{\sqrt{2}},\ r=\frac{a}{\sqrt{6}}\Rightarrow \dfrac{R}{r}=\sqrt{\dfrac{6}{2}}=\mathbf{\sqrt{3}}\).
Q15 — Caixa cúbica mínima
Pretende-se guardar um octaedro com aresta \(a=10\) cm na menor caixa cúbica possível (sólido alinhado aos eixos). Qual deve ser a aresta do cubo?
- 12,0 cm
- 14,14 cm
- 15,0 cm
- 16,0 cm
O cubo precisa de lado \(2R\). Como \(R=\frac{a}{\sqrt{2}}\), \(s=a\sqrt{2}=10\cdot1{,}414\approx \mathbf{14{,}14}\) cm.
Próximos passos
Reveja as fórmulas, refaça as questões trocando números e compare com um sólido dual, o cubo (hexaedro). Para um panorama maior, consulte Sólidos de Platão.
