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Questão de Analise Combinatória – Permutação e Arranjo
Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos distintos podem ser permutadas as letras dessa palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?
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1 – Análise Combinatória – Permutação Simples com Restrição
Neste problema, queremos calcular o número de modos distintos de permutar as letras de uma palavra com NN vogais e NN consoantes, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes.
2 – Entendendo o enunciado
- Para evitar que vogais e consoantes fiquem juntas, as letras devem ser dispostas em ordem alternada.
- As vogais podem ocupar posições pares e as consoantes, posições ímpares, ou vice-versa.
- Existem dois casos possíveis:
- Caso 1: As consoantes ocupam as posições ímpares e as vogais as posições pares.
- Caso 2: As vogais ocupam as posições ímpares e as consoantes as posições pares.
- Em cada caso, as N vogais e N consoantes podem ser permutadas de forma independente.
3 – Cálculo
Permutação das vogais:
As N vogais podem ser permutadas de: P(N) = N!
Permutação das consoantes:
As N consoantes podem ser permutadas de: P(N) = N!
Total para cada caso:
Para cada configuração (consoantes nas ímpares ou nas pares), o total de permutações é: N!⋅N
Total geral:
Como existem dois casos possíveis, somamos os resultados dos dois casos:
Total = N!⋅N! + N!⋅N! = 2⋅(N!)2
4 – Resposta
O número total de modos distintos de permutar as letras da palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes, é: 2⋅(N!)2
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