10 exercícios (múltipla escolha) 1) Claraboia triangular Um prisma triangular regular tem lado da base (aresta) \(a=12\text{ cm}\) e altura do prisma \(h=15\text{ cm}\). Calcule a área total e o volume.
A) Área total = \(540+36\sqrt3\), Volume = \(360\sqrt3\)
B) Área total = \(540+54\sqrt3\), Volume = \(450\sqrt3\)
C) Área total = \(540+72\sqrt3\), Volume = \(540\sqrt3\)
D) Área total = \(720+72\sqrt3\), Volume = \(540\sqrt3\)
E) Área total = \(540+90\sqrt3\), Volume = \(600\sqrt3\)
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$$\begin{aligned}
p&=3a=36\\
A_b&=\frac{\sqrt3}{4}\,a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot144=36\sqrt3\\
A_L&=p\,h=36\cdot15=540\\
A_T&=A_L+2A_b=540+2\cdot36\sqrt3=\boxed{540+72\sqrt3\ \text{cm}^2}\\[2mm]
V&=A_b\,h=36\sqrt3\cdot15=\boxed{540\sqrt3\ \text{cm}^3}
\end{aligned}$$
2) Caixa quadrada industrial Um prisma quadrangular regular tem área lateral \(896\text{ cm}^2\) e lado da base (aresta) \(a=8\text{ cm}\). Encontre a altura do prisma, a área total e o volume.
A) Altura = 24, Área total = 960, Volume = 1536
B) Altura = 26, Área total = 992, Volume = 1664
C) Altura = 28, Área total = 1024, Volume = 1792
D) Altura = 30, Área total = 1056, Volume = 1920
E) Altura = 32, Área total = 1088, Volume = 2048
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$$\begin{aligned}
p&=4a=32\\
h&=\frac{A_L}{p}=\frac{896}{32}=28\\
A_b&=a^2=64\\
A_T&=A_L+2A_b=896+128=\boxed{1024\ \text{cm}^2}\\
V&=A_b\,h=64\cdot28=\boxed{1792\ \text{cm}^3}
\end{aligned}$$
3) Totem pentagonal Um prisma pentagonal regular tem lado da base (aresta) \(a=6\text{ cm}\), apótema da base \(r=4{,}13\text{ cm}\) e altura do prisma \(h=18\text{ cm}\). Determine a área total e o volume.
A) Área total = 620,0 ; Volume = 1080,0
B) Área total = 663,9 ; Volume = 1115,1
C) Área total = 700,8 ; Volume = 1150,2
D) Área total = 728,1 ; Volume = 1199,4
E) Área total = 752,4 ; Volume = 1220,7
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$$\begin{aligned}
p&=5a=30\\
A_b&=\frac{p\,r}{2}=\frac{30\cdot4.13}{2}=61.95\\
A_L&=p\,h=30\cdot18=540\\
A_T&=A_L+2A_b=540+2\cdot61.95=\boxed{663.9\ \text{cm}^2}\\
V&=A_b\,h=61.95\cdot18=\boxed{1115.1\ \text{cm}^3}
\end{aligned}$$
4) Tanque hexagonal — volume conhecido Um prisma hexagonal regular possui lado da base (aresta) \(a=10\text{ cm}\) e volume \(6000\sqrt3\text{ cm}^3\). Calcule a altura do prisma e a área total.
A) Altura = 35, Área total = \(2100+250\sqrt3\)
B) Altura = 38, Área total = \(2280+270\sqrt3\)
C) Altura = 40, Área total = \(2400+300\sqrt3\)
D) Altura = 42, Área total = \(2520+320\sqrt3\)
E) Altura = 45, Área total = \(2700+360\sqrt3\)
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$$\begin{aligned}
A_b&=\frac{3\sqrt3}{2}a^2=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot100=150\sqrt3\\
h&=\frac{V}{A_b}=\frac{6000\sqrt3}{150\sqrt3}=40\\
p&=6a=60\\
A_T&=p\,h+2A_b=60\cdot40+2\cdot150\sqrt3=\boxed{2400+300\sqrt3\ \text{cm}^2}
\end{aligned}$$
5) Miniatura de telhado Um prisma triangular regular tem lado da base (aresta) \(a=9\text{ cm}\) e área total \(550\text{ cm}^2\). Encontre a altura do prisma.
A) Altura ≈ 16,1
B) Altura ≈ 17,0
C) Altura \(=\dfrac{550-40{,}5\sqrt3}{27}\approx 17{,}78\)
D) Altura ≈ 18,6
E) Altura ≈ 19,4
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$$\begin{aligned}
p&=3a=27\\
A_b&=\frac{\sqrt3}{4}\,a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot81=20.25\sqrt3\\
A_T&=p\,h+2A_b\Rightarrow 550=27h+2\cdot20.25\sqrt3\\
h&=\frac{550-40.5\sqrt3}{27}\approx\boxed{17.78\ \text{cm}}
\end{aligned}$$
6) Rótulo “hexagonal” Um prisma hexagonal regular tem lado da base (aresta) \(a=7\text{ cm}\) e área lateral \(1000\text{ cm}^2\). Determine a altura do prisma e o volume.
A) Altura \(=\dfrac{1000}{36}\), Volume \(=1500\sqrt3\)
B) Altura \(=\dfrac{1000}{40}\), Volume \(=1600\sqrt3\)
C) Altura \(=\dfrac{1000}{42}\approx 23{,}81\), Volume \(=1750\sqrt3\approx 3031{,}1\)
D) Altura \(=\dfrac{1000}{48}\), Volume \(=1800\sqrt3\)
E) Altura \(=\dfrac{1000}{54}\), Volume \(=2000\sqrt3\)
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$$\begin{aligned}
p&=6a=42\\
h&=\frac{A_L}{p}=\frac{1000}{42}\approx 23.8095\\
A_b&=\frac{3\sqrt3}{2}a^2=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot49=73.5\sqrt3\\
V&=A_b\,h=73.5\sqrt3\cdot\frac{1000}{42}=1750\sqrt3\approx\boxed{3031.1\ \text{cm}^3}
\end{aligned}$$
7) Caixote quadrado — lado desconhecido Um prisma quadrangular regular possui volume \(2000\text{ cm}^3\) e altura do prisma \(25\text{ cm}\). Calcule o lado da base (aresta), a área lateral e a área total.
A) Lado = 9,5 ; Área lateral = \(420\sqrt5\) ; Área total = \(420\sqrt5+160\)
B) Lado \(=4\sqrt5\) ; Área lateral \(=400\sqrt5\) ; Área total \(=400\sqrt5+160\)
C) Lado = 8 ; Área lateral = 320 ; Área total = 640
D) Lado \(=3\sqrt6\) ; Área lateral \(=360\sqrt6\) ; Área total \(=360\sqrt6+180\)
E) Lado \(=5\sqrt3\) ; Área lateral \(=300\sqrt3\) ; Área total \(=300\sqrt3+150\)
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$$\begin{aligned}
A_b&=\frac{V}{h}=\frac{2000}{25}=80\\
a&=\sqrt{A_b}=\sqrt{80}=4\sqrt5\ (\approx 8.944)\\
p&=4a=16\sqrt5\\
A_L&=p\,h=16\sqrt5\cdot25=\boxed{400\sqrt5\ \text{cm}^2}\\
A_T&=A_L+2A_b=400\sqrt5+160
\end{aligned}$$
8) Coluna pentagonal Um prisma pentagonal regular tem apótema da base \(r=5\text{ cm}\), altura do prisma \(20\text{ cm}\) e área total \(1500\text{ cm}^2\). Calcule o perímetro da base, o lado da base (aresta) e o volume.
A) Perímetro = 55 ; Lado = 11 ; Volume = 2750
B) Perímetro = 60 ; Lado = 12 ; Volume = 3000
C) Perímetro = 62,5 ; Lado = 12,5 ; Volume = 3125
D) Perímetro = 65 ; Lado = 13 ; Volume = 3250
E) Perímetro = 70 ; Lado = 14 ; Volume = 3500
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$$\begin{aligned}
A_T&=p\,h+2A_b=p\,h+p\,r=p(h+r)\\
p&=\frac{A_T}{h+r}=\frac{1500}{20+5}=60\\
a&=\frac{p}{5}=12\\
A_b&=\frac{p\,r}{2}=\frac{60\cdot5}{2}=150\\
V&=A_b\,h=150\cdot20=\boxed{3000\ \text{cm}^3}
\end{aligned}$$
9) Pintura apenas das faces laterais Um prisma triangular regular tem lado da base (aresta) \(a=0{,}8\text{ m}\) e altura do prisma \(2{,}5\text{ m}\). A pintura das faces laterais custa R$ 45,00 por m². Qual é o custo da pintura lateral?
A) R$ 180,00
B) R$ 225,00
C) R$ 270,00
D) R$ 315,00
E) R$ 360,00
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$$\begin{aligned}
p&=3a=3\cdot0{,}8=2{,}4\ \text{m}\\
A_L&=p\,h=2{,}4\cdot2{,}5=6{,}0\ \text{m}^2\\
\text{Custo}&=45{,}00\times 6{,}0=\boxed{\text{R\$}\ 270{,}00}
\end{aligned}$$
10) Reservatório hexagonal — área total conhecida Um prisma hexagonal regular tem lado da base (aresta) \(a=9\text{ cm}\) e área total \(2500\text{ cm}^2\). Calcule a altura do prisma e o volume.
A) Altura \(=\dfrac{2500-243\sqrt3}{48}\), Volume \(\approx 7900\)
B) Altura \(=\dfrac{2500-243\sqrt3}{54}\approx 38{,}50\), Volume \(\approx 8102{,}5\)
C) Altura \(=\dfrac{2500-216\sqrt3}{54}\), Volume \(\approx 8200\)
D) Altura \(=\dfrac{2500-200\sqrt3}{60}\), Volume \(\approx 8000\)
E) Altura \(=\dfrac{2500-270\sqrt3}{54}\), Volume \(\approx 8300\)
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$$\begin{aligned}
p&=6a=54\\
A_b&=\frac{3\sqrt3}{2}a^2=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot81=\frac{243\sqrt3}{2}\\
A_T&=p\,h+2A_b\Rightarrow h=\frac{A_T-2A_b}{p}
=\frac{2500-243\sqrt3}{54}\approx 38{,}50\ \text{cm}\\
V&=A_b\,h=\frac{243\sqrt3}{2}\cdot\frac{2500-243\sqrt3}{54}\approx \boxed{8102{,}5\ \text{cm}^3}
\end{aligned}$$
