Problemas e Exercícios sobre Inequações e Funções Exponenciais
Os exercícios de inequações e funções exponenciais são fundamentais para consolidar o estudo do tema. Nesta lista, encontramos desde problemas de inequações simples até questões que envolvem questões de concursos e vestibulares. Vamos revisar alguns pontos-chave e apresentar exemplos resolvidos.
Exemplo 1 – Inequação exponencial
Resolva: \(3^{x-2} < 3^{x+8}\)
Solução
Como a base \(3>1\), a função é crescente, logo podemos comparar expoentes:
\(x-2 < x+8 \iff -2 < 8\), o que é sempre verdadeiro.
Solução: \(S=\mathbb{R}\).
Exemplo 2 – Determinação de domínio
Problema: Determine o domínio de \(f(x)=\sqrt{(0,2)^{x}-0,008}\).
Solução
É necessário que \((0,2)^{x}-0,008 \ge 0 \iff (0,2)^{x} \ge 0,008\).
Aplicando logaritmo na base 0,2 (menor que 1, sinal inverte):
\(x \le \log_{0,2}(0,008)\).
Aproximando: \(x \le 3\).
Solução: \(D(f)=\{x \in \mathbb{R} \mid x \le 3\}\).
Exemplo 3 – Questão de concurso
Problema: (Mackenzie-SP) Resolva a inequação \((0,5)^x \ge (0,25)^{2x}\).
Solução
Reescrevendo: \((0,25)^{2x} = \left(\tfrac{1}{4}\right)^{2x} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4x} = (0,5)^{4x}\).
Logo: \((0,5)^x \ge (0,5)^{4x}\).
Como base \(0,5<1\), a desigualdade inverte: \(x \le 4x \iff -3x \le 0 \iff x \ge 0\).
Solução: \(S=\{x \mid x \ge 0\}\).
Questão de múltipla escolha
Problema: (EsPCEx-SP) O número de soluções inteiras para \(4^x – 10\cdot 2^x +16 < 0\) é:
Solução
Substituímos \(t=2^x\). Então: \(4^x=(2^x)^2=t^2\).
A inequação vira: \(t^2 – 10t + 16 < 0\).
Resolvendo: raízes \(t=2\) e \(t=8\). Como é parábola voltada para cima, temos:
\(2 < t < 8\). Como \(t=2^x\), precisamos de \(2 < 2^x < 8\).
Logo, \(1 < x < 3\). Como \(x\) é inteiro: \(x=2\).
Solução: existe apenas 1 solução inteira.
Exercícios propostos
Tente resolver os seguintes problemas:
- Resolva: \(5^{x-1} > 5^{x+2}\).
- Determine o domínio de \(f(x)=\sqrt{(0,1)^{x+2}-0,1}\).
- Resolva a inequação: \(7^{2x}-49 < 0\).
- Corrija o erro na resolução: \((2^{x})^2=2^{6} \Rightarrow x=12\).
- Resolva: \((4^x)^{x-1} \ge 16\).
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Os problemas de inequações e funções exponenciais testam a habilidade de manipular expoentes, aplicar logaritmos e compreender o comportamento das funções. A prática com listas de exercícios, como as mostradas acima, é essencial para se preparar para provas e concursos.
