Ano: 2025
Banca: FGV
Órgão: MPU
Prova: Analista do MPU – Perito em Economia
Disciplina: Matemática – Probabilidade
Questão: 48
Enunciado:
Seja um conjunto de variáveis aleatórias \( x_1, x_2, …, x_n \), independentes, todas com função densidade de probabilidade:
\( f(x) = \begin{cases} c x^2, & 0 \leq x \leq 4 \\ 0, & \text{caso contrário} \end{cases} \)
em que \( c \) é uma constante a ser determinada.
Defina-se uma nova v.a. \( Z = X^2 \), gerando um novo conjunto \( Z_1, Z_2, …, Z_n \).
A Lei dos Grandes Números garante que a média amostral \( \bar{Z} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i \), para \( n \to \infty \), converge para:
Alternativas:
- (A) 3
- (B) 3,2
- (C) 6,4
- (D) 9
- (E) 9,6
Ver Solução
1. Encontrando a constante \( c \):
Sabemos que a integral da função de densidade deve ser 1: \[ \int_{0}^{4} c x^2 dx = 1 \Rightarrow c \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = 1 \Rightarrow c \cdot \frac{64}{3} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{64} \]
2. Calculando \( \mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[X^4] \):
Como \( Z = X^2 \), então: \[ \mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[X^4] = \int_0^4 x^4 \cdot f(x) dx = \int_0^4 x^4 \cdot \left( \frac{3}{64} x^2 \right) dx = \frac{3}{64} \int_0^4 x^6 dx \] \[ \int_0^4 x^6 dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^4 = \frac{16384}{7} \Rightarrow \mathbb{E}[Z] = \frac{3}{64} \cdot \frac{16384}{7} = \frac{49152}{448} = \boxed{9{,}6} \]
3. Conclusão:
Pelo Teorema da Lei dos Grandes Números, temos que: \[ \bar{Z} \to \mathbb{E}[Z] = 9{,}6 \]
Gabarito: (E) 9,6
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