Conceitos, Frações Equivalentes e Operações

As frações são fundamentais para a compreensão de números racionais e operações matemáticas do dia a dia. Vamos entender seus conceitos e principais propriedades.

O que é uma fração?

Uma fração representa partes de um todo, sendo escrita na forma:

\(\frac{a}{b}\)

• \(a\) é o numerador, indicando quantas partes foram tomadas.
• \(b\) é o denominador, mostrando em quantas partes iguais o todo foi dividido, com \(b \neq 0\).

Exemplo: A fração \(\frac{2}{5}\) representa 2 partes de um total de 5 partes iguais.

Frações Equivalentes

Duas frações são equivalentes se representam a mesma quantidade, mesmo que numerador e denominador sejam diferentes:

\(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}\)

Como encontrar frações equivalentes?

• Multiplicando numerador e denominador por um mesmo número: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} = \frac{4}{10}\)
• Dividindo numerador e denominador por um divisor comum: \(\frac{10}{14} \div \frac{2}{2} = \frac{5}{7}\)

Multiplicação de Frações

Para multiplicar frações, fazemos:

\(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)

Exemplo: \(\frac{2}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)

Adição e Subtração de Frações

Para somar ou subtrair frações:

Caso 1 – Denominadores iguais:

\(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Exemplo: \(\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}\)

Caso 2 – Denominadores diferentes:

Encontramos o MMC dos denominadores e transformamos as frações em equivalentes.

Exemplo:

\(\frac{4}{6} + \frac{11}{8} = \frac{16}{24} + \frac{33}{24} = \frac{49}{24}\)

Divisão de Frações

Para dividir, mantemos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda:

\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\)

Exemplo: \(\frac{4}{12} \div \frac{8}{3} = \frac{4}{12} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{96} = \frac{1}{8}\)

Representação Decimal

Toda fração \(\frac{a}{b}\) pode ser expressa como um número decimal:

• Decimal exato: \(\frac{1}{2} = 0,5\).
• Dízima periódica: \(\frac{1}{3} = 0,333…\).

Exercícios Propostos

1. Escreva 3 frações equivalentes a \(\frac{3}{5}\).
2. Resolva: \(\frac{2}{7} \cdot \frac{14}{5}\).
3. Calcule: \(\frac{4}{9} + \frac{5}{6}\).
4. Resolva: \(\frac{3}{8} \div \frac{6}{5}\).
5. Converta \(\frac{7}{20}\) em decimal.

Operações com Frações: Soma, Subtração, Multiplicação e Divisão

Olá, pessoal! Na aula passada, revisamos as frações equivalentes e vimos sua importância para realizar operações. Agora, vamos avançar e estudar como efetuar soma, subtração, multiplicação e divisão com frações. Prepare-se para entender de forma prática e visual!

1. Soma e Subtração com Mesmos Denominadores

Quando os denominadores são iguais, basta somar ou subtrair os numeradores, mantendo o denominador comum:

\(\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}\)
\(\frac{a}{n} – \frac{b}{n} = \frac{a – b}{n}\)

Exemplo: \(\frac{200}{280} + \frac{460}{280} = \frac{660}{280} = \frac{33}{14}\) (fração irredutível).

2. Frações com Denominadores Diferentes

Nesse caso, utilizamos o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) para obter denominadores iguais:

\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}\)

Exemplo: \(\frac{4}{6} + \frac{11}{8} = \frac{16}{24} + \frac{33}{24} = \frac{49}{24}\).

3. Multiplicação de Frações

Multiplicamos diretamente numeradores e denominadores, simplificando sempre que possível:

\(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)

Exemplo: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1\).

4. Divisão de Frações

Na divisão, multiplicamos pela fração inversa:

\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\)

Exemplo: \(\frac{3}{5} \div \frac{1}{10} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{1} = \frac{30}{5} = 6\).

5. Problemas Aplicados

Exemplo 1: Garrafas de Suco

Se temos 12 litros de suco e garrafas de \(\frac{2}{3}\) L, a quantidade de garrafas é:

\(12 \div \frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18 \ \text{garrafas.}\)

Exemplo 2: Equação com Frações

Resolver \( \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}x = 28\):

MMC(3,5) = 15: \(\frac{5x}{15} + \frac{9x}{15} = 28 \implies 14x = 28 \implies x = 2.\)

Exemplo 3: Distribuição de Prêmios

Montante: \(30 \cdot 20 = R\$ 600.\)
– 1º lugar: \( \frac{1}{2} \cdot 600 = R\$ 300.\)
– 2º lugar: \( \frac{1}{3} \cdot 600 = R\$ 200.\)
– 3º lugar: \( 600 – (300 + 200) = R\$ 100.\)

Exemplo 4: Pavimentação

Se \(\frac{2}{5}\) da estrada foram pavimentados por uma equipe e a outra fez 81 km, que representam \(\frac{3}{5}\), então:

\( \frac{3}{5} = 81 \implies 1/5 = 27 \implies 5/5 = 135 \ \text{km.}\)

Conclusão

Compreender frações é essencial para operações do dia a dia e para problemas práticos. Simplificar e encontrar frações equivalentes agiliza cálculos, principalmente em contextos como partilha, receitas, medidas e proporções.

Exercícios Desafiadores sobre Frações

1. Resolva a expressão:

\(\frac{3}{4} + \frac{5}{6} – \frac{7}{12}\)

2. Encontre a fração irredutível equivalente ao valor da expressão:

\(\frac{18}{24} \cdot \frac{32}{48}\)

3. Calcule o valor da seguinte divisão de frações:

\(\frac{7}{15} \div \left(\frac{14}{45} \cdot \frac{9}{10}\right)\)

4. Resolva a operação mista:

\(2 \frac{1}{3} + \frac{7}{9} – \frac{5}{6}\)

5. Se \( \frac{x}{5} + \frac{3}{10} = 1 \), determine o valor de \(x\).