Função Afim: 10 Questões Resolvidas Passo a Passo com Interpretação Gráfica e Aplicações

🔎 Entendendo o enunciado:

Temos um equipamento que vale R$ 180.000,00 há 3 anos e hoje vale R$ 135.000,00. O valor diminui de forma linear, e queremos saber quanto valerá daqui a 2 anos (ou seja, daqui a 5 anos após a compra).

1) Cálculo da taxa de depreciação anual:

Em 3 anos, o equipamento perdeu:

$$ 180.000 – 135.000 = 45.000 $$

Logo, a depreciação anual é:

$$ \frac{45.000}{3} = 15.000 \text{ por ano} $$

2) Valor após 5 anos:

$$ \text{Valor final} = 180.000 – (5 \cdot 15.000) = 180.000 – 75.000 = 105.000 $$

✅ Conclusão:

• Valor do equipamento daqui a 2 anos: $$ R\$ 105.000,00 $$
• Alternativa correta: a)

🔎 Entendendo o enunciado:

O medicamento é administrado para aumentar a substância A no corpo, mas essa quantidade deve voltar ao normal após cumprir sua função. Isso significa que o gráfico deve mostrar um aumento, seguido de uma queda até o nível inicial.

Análise das alternativas:

• a) Indica aumento e estabilização — não retorna ao normal.
• b) Aumento constante — não condiz com o retorno.
• c) Forma de parábola — boa opção, mas depende da interpretação do “nível normal”.
• d) Aumenta, atinge um pico e retorna ao valor inicial — correta.
• e) Variações desconexas — não representa bem o processo descrito.

✅ Conclusão:

• Gráfico que representa corretamente o comportamento da substância A: d)

🔎 Entendendo o enunciado:

Devemos observar o comportamento da temperatura da peça ao longo do tempo, analisando se ela está aumentando ou diminuindo em determinados intervalos, e verificar quais afirmações são verdadeiras com base no gráfico.

Análise das alternativas:

• a) Incorreta – A partir de \( t = 10 \) a curva ainda está em queda.
• b) Incorreta – A partir de \( t = 5 \), ainda há crescimento até próximo de \( t = 10 \).
• c) Correta – A partir de \( t = 20 \), a curva começa a crescer continuamente.
• d) Incorreta – O gráfico mostra valores abaixo de 50 entre \( t = 20 \) e \( t = 30 \).
• e) Incorreta – A função não apresenta um mesmo valor de temperatura em 5 instantes distintos.

✅ Conclusão:

• Alternativa correta: c)

🔎 Entendendo o enunciado:

A reta passa por dois pontos conhecidos. Desejamos encontrar o ponto \( P \) onde ela cruza o eixo \( x \) (isto é, onde \( y = 0 \)).

1) Encontrar a equação da reta:

Usamos os pontos \( (0, -4) \) e \( (4, 6) \):

Coeficiente angular:

$$ m = \frac{6 – (-4)}{4 – 0} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $$

Agora, aplicamos na equação geral da reta \( y = mx + b \):

Como passa por \( (0, -4) \), então \( b = -4 \).

Logo, a equação da reta é:

$$ y = \frac{5}{2}x – 4 $$

2) Calcular a abscissa do ponto \( P \):

No ponto \( P \), temos \( y = 0 \). Substituímos:

$$ 0 = \frac{5}{2}x – 4 $$

$$ \frac{5}{2}x = 4 $$

$$ x = \frac{4 \cdot 2}{5} = \frac{8}{5} $$

✅ Conclusão:

• Abscissa do ponto \( P \): $$ \frac{8}{5} $$
• Alternativa correta: d)

🔎 Entendendo o enunciado:

Salário fixo: R$ 300,00.
Comissão: R$ 0,50 por metro quadrado vendido.
No 1º mês: vendeu 500 m de comprimento com 1,40 m de largura.

1) Cálculo da área vendida no 1º mês:

$$ \text{Área} = 500 \times 1{,}4 = 700 \text{ m}^2 $$

Comissão no 1º mês:

$$ 700 \times 0{,}50 = R\$ 350,00 $$

Salário total:

$$ 300 + 350 = R\$ 650,00 $$

2) No 2º mês: vende o dobro → 1000 m × 1,40 m:

$$ \text{Área} = 1000 \times 1{,}4 = 1400 \text{ m}^2 $$

Comissão:

$$ 1400 \times 0{,}50 = R\$ 700,00 $$

Salário total:

$$ 300 + 700 = R\$ 1.000,00 $$

✅ Conclusão:

• 1º mês: R$ 650,00
• 2º mês: R$ 1.000,00
• Alternativa correta: c)

🔎 Entendendo o enunciado:

Temos dois pontos do gráfico de Sr. Luiz:

• \( (15, 85) \): 15 m → R$ 85,00
• \( (25, 100) \): 25 m → R$ 100,00

Vamos determinar a equação da função custo:

1) Cálculo do coeficiente angular:

$$ a = \frac{100 – 85}{25 – 15} = \frac{15}{10} = 1{,}5 $$

Ou seja, ele cobra R$ 1,50 por metro de fio.

2) Determinar a parte fixa:

Usando o ponto \( (15, 85) \):

$$ 85 = 1{,}5 \cdot 15 + b \Rightarrow 85 = 22{,}5 + b \Rightarrow b = 62{,}5 $$

A equação do custo do Sr. Luiz é:

$$ C(x) = 1{,}5x + 62{,}5 $$

3) Comparando com Sr. José:

Sr. José: \( C(x) = 4{,}5x \)

Igualando os dois custos:

$$ 1{,}5x + 62{,}5 = 4{,}5x $$

$$ 62{,}5 = 3x \Rightarrow x = \frac{62{,}5}{3} = 20{,}83… $$

Ou seja, o custo será igual aproximadamente quando forem gastos 20,83 m de fio.

4) Para 20 metros:

• Sr. Luiz: \( C = 1{,}5 \cdot 20 + 62{,}5 = 30 + 62{,}5 = 92{,}5 \)
• Sr. José: \( C = 4{,}5 \cdot 20 = 90 \)

Portanto, por volta de 20 m os valores são praticamente iguais.

✅ Conclusão:

• Alternativa correta: d)

🔎 Entendendo o enunciado:

A função afim \( f(x) = mx + b \) é crescente quando o coeficiente angular \( m > 0 \).

No caso, o coeficiente angular é:

$$ m = 3 – 2a $$

1) Impor a condição de crescimento:

$$ 3 – 2a > 0 $$

$$ -2a > -3 $$

Multiplicando por (-1) e invertendo o sinal:

$$ 2a < 3 \Rightarrow a < \frac{3}{2} $$

✅ Conclusão:

• Para que a função seja crescente: \( a < \frac{3}{2} \)
• Alternativa correta: b)

🔎 Entendendo o enunciado:

Do gráfico, temos que para \( 7 \, m^3 \), a fatura foi de R$ 42,20. Para \( 0 \, m^3 \), o valor é R$ 17,00. Isso indica uma função afim:

1) Determinar a função:

Dois pontos: \( (0, 17) \) e \( (7, 42{,}20) \)

Coeficiente angular:

$$ a = \frac{42{,}20 – 17}{7 – 0} = \frac{25{,}20}{7} \approx 3{,}60 $$

Assim, a função é:

$$ f(x) = 3{,}60x + 17 $$

2) Para 14 m³ (dezembro):

Dobro de 7 m³ → \( x = 14 \)

$$ f(14) = 3{,}60 \cdot 14 + 17 = 50{,}40 + 17 = 67{,}40 $$

✅ Conclusão:

• Fatura de dezembro: R$ 67,40
• Faixa correta: a) superior a R$ 65,00 e inferior a R$ 70,00

🔎 Entendendo o enunciado:

Queremos encontrar o valor de \( t \) que torna os volumes iguais, ou seja:

$$ V_A(t) = V_B(t) $$

1) Igualando as expressões:

$$ 200 + 3t = 5000 – 3t $$

2) Somando \( 3t \) nos dois lados:

$$ 200 + 6t = 5000 $$

3) Subtraindo 200:

$$ 6t = 4800 $$

4) Dividindo por 6:

$$ t = \frac{4800}{6} = 800 $$

✅ Conclusão:

• Instante em que os volumes se igualam: \( t = 800 \) minutos
• Alternativa correta: d)

🔎 Entendendo o enunciado:

As funções são do 1º grau. Vamos verificar se elas se intersectam e se há algum ponto em comum.

1) Avaliar os valores em \( x = 1 \):

Para \( f(x) \):

$$ f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 $$

Para \( g(x) \):

$$ g(1) = -1 + 6 = 5 $$

Logo, ambas passam pelo ponto \( (1, 5) \).

2) Análise das demais alternativas:

• a) Incorreta – funções do 1º grau não têm ponto de máximo.
• b) Incorreta – apenas \( f(x) \) é crescente; \( g(x) \) é decrescente.
• c) Incorreta – ambas têm o mesmo domínio: \( \mathbb{R} \).
• d) Correta
• e) Incorreta – como têm ponto em comum, suas retas se cruzam.

✅ Conclusão:

• Ponto comum: \( (1, 5) \)
• Alternativa correta: d)