Função Inversa — Definição, Passo a Passo, Gráficos e Exercícios
Aprenda quando a inversa existe, como calculá-la, como interpretar o gráfico e pratique com exemplos e exercícios (com gabarito).
Definição: \(f^{-1}\) é tal que \(f(f^{-1}(x)) = x\) e \(f^{-1}(f(x)) = x\).
Passos para achar \(f^{-1}\): (1) troque \(f(x)\) por \(y\); (2) isole \(x\) em função de \(y\); (3) troque \(y\) por \(x\) e nomeie \(f^{-1}(x)\).
Gráfico: \(f\) e \(f^{-1}\) são simétricas em relação a \(y=x\).
Exemplos-chave: \(f(x)=ax+b\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}\) (\(a\neq0\)); \(a^x \leftrightarrow \log_a x\) (\(a>0, a\neq1\)).
1) O que é função inversa?
Intuitivamente, a função inversa “desfaz” a ação de \(f\). Se \(f\) leva \(x\) em \(y\), então \(f^{-1}\) leva \(y\) de volta em \(x\). Formalmente, \(f^{-1}\) existe quando \(f\) é bijetora entre o domínio e a imagem.
Em muitos casos, restringimos o domínio de \(f\) para torná-la injetora e assim garantir a existência de \(f^{-1}\) (ex.: quadrática com domínio \(x\ge 0\) ou \(x\le 0\)).
2) Definição e condições
- Injetividade: valores distintos de entrada não podem produzir a mesma saída.
- Sobrejetividade: toda saída no contradomínio deve ser atingida por algum \(x\).
- Bijetividade: injetiva + sobrejetiva → inversa bem definida.
Leituras relacionadas: Funções • Função composta
3) Teste da reta horizontal
Graficamente, uma função é injetiva se qualquer reta horizontal intercepta o gráfico no máximo uma vez. Se não for injetiva, restrinja o domínio.
4) Como encontrar a inversa (passo a passo)
- Escreva \(y = f(x)\).
- Resolva para \(x\) em função de \(y\).
- Troque \(y\) por \(x\) e nomeie a expressão como \(f^{-1}(x)\).
- Verifique: calcule \(f(f^{-1}(x))\) e \(f^{-1}(f(x))\).
5) Relação entre gráficos
Os gráficos de \(f\) e \(f^{-1}\) são reflexos um do outro na reta \(y=x\). Interseções de \(f\) com \(y=x\) (pontos onde \(f(x)=x\)) são pontos fixos que pertencem a ambas.
6) Composição \(f\circ f^{-1}\) e \(f^{-1}\circ f\)
Se \(f^{-1}\) existe, então \(f(f^{-1}(x))=x\) (para \(x\) no domínio de \(f^{-1}\)) e \(f^{-1}(f(x))=x\) (para \(x\) no domínio de \(f\)).
7) Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Linear: \(f(x)=2x+3\)
Passos: \(y=2x+3 \Rightarrow x=\dfrac{y-3}{2}\). Trocando \(y\) por \(x\):
\[\boxed{f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}}\]
Checagem: \(f(f^{-1}(x))=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x\).
Exemplo 2 — Quadrática com restrição: \(f(x)=x^2\), \(x\ge 0\)
Com \(x\ge 0\), \(f\) é injetiva. Faça \(y=x^2 \Rightarrow x=\sqrt{y}\) (raiz principal).
\[\boxed{f^{-1}(x)=\sqrt{x}},\ \ x\ge 0.\]
Sem restrição, a inversa não é função (retas horizontais cortam o gráfico em dois pontos).
Exemplo 3 — Exponencial e Logaritmo: \(f(x)=a^x\) (\(a>0, a\neq1\))
\(y=a^x \Rightarrow x=\log_a y\). Logo,
\[\boxed{f^{-1}(x)=\log_a x},\ \ x>0.\]
Aprofunde em: Função exponencial e Função logarítmica.
8) Casos clássicos
- Afim: \(f(x)=ax+b \Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}\), \(a\neq0\).
- Potência par (com restrição): \(x^2,\ x\ge0 \Rightarrow \sqrt{x}\).
- Potência ímpar: \(x^3 \Rightarrow \sqrt[3]{x}\) (já é bijetora em \(\mathbb{R}\)).
9) Dicas práticas
- Antes de isolar, verifique se a função é injetiva (ou restrinja o domínio).
- Nos logs e expoentes, cuide do domínio (\(x>0\) para log).
- Use a composição como checagem final.
10) Exercícios resolvidos
Exercício R1 — Encontre a inversa de \(f(x)=\dfrac{3x-5}{2}\)
\(y=\dfrac{3x-5}{2}\Rightarrow 2y=3x-5 \Rightarrow 3x=2y+5 \Rightarrow x=\dfrac{2y+5}{3}\).
\[\boxed{f^{-1}(x)=\frac{2x+5}{3}}\]
Exercício R2 — Inversa de \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\) (domínio \(x\neq2\))
\(y=\dfrac{x+1}{x-2}\Rightarrow y(x-2)=x+1 \Rightarrow yx-2y=x+1\Rightarrow yx-x=2y+1\Rightarrow x(y-1)=2y+1\Rightarrow x=\dfrac{2y+1}{y-1}.\)
\[\boxed{f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1}}\] (domínio \(x\neq1\)).
Exercício R3 — Quadrática restrita: \(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\), com \(x\ge 3\)
\(y=(x-3)^2\Rightarrow x-3=\sqrt{y}\) (ramo principal, pois \(x\ge3\)) \(\Rightarrow x=3+\sqrt{y}\).
\[\boxed{f^{-1}(x)=3+\sqrt{x}},\ \ x\ge0.\]
11) Exercícios propostos
- Determine \(f^{-1}(x)\) para \(f(x)=5x-7\).
- Encontre a inversa (se existir) de \(f(x)=x^2-4\) em \((-\infty,0]\) e em \([0,\infty)\).
- Para \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}\), ache \(f^{-1}(x)\) e indique o domínio.
- Mostre que \(f(x)=x^3+1\) é bijetora em \(\mathbb{R}\) e obtenha \(f^{-1}(x)\).
- Se \(f(x)=2^x\), verifique que \(f^{-1}(x)=\log_2 x\) e indique domínio/contradomínio.
12) Continue estudando
Revisão
Relembre bases importantes:
Funções,
Função Composta,
Função Exponencial,
Função Logarítmica.
13) Perguntas frequentes (FAQ)
Como sei se uma função tem inversa?
Verifique a injetividade (teste da reta horizontal). Se necessário, restrinja o domínio. A bijetividade garante inversa bem definida.
O que acontece se a função não for injetiva?
Sem injetividade, a “inversa” não será função. Mas muitas vezes basta limitar o domínio para obter inversa.
Qual a relação com logaritmos e exponenciais?
\(a^x\) e \(\log_a x\) são inversas (com \(a>0, a\neq1\)), espelhadas em \(y=x\).
🔗 Links internos: Funções • Função composta • Função exponencial • Função logarítmica
