🔵 Função Logarítmica: Guia Completo do Zero ao Nível Prova
1) O que é Função Logarítmica?
A função logarítmica é definida por:
\[ f(x) = \log_a(x) \]onde:
- \(a > 0\)
- \(a \neq 1\)
- \(x > 0\)
Ela responde à pergunta: “a qual expoente devemos elevar a base \(a\) para obter \(x\)?”
2) Relação com Função Exponencial
A função logarítmica é a inversa da função exponencial.
\[ y = \log_a(x) \quad \Longleftrightarrow \quad a^y = x \]Exemplo:
\[ \log_2(8) = 3 \quad \text{pois} \quad 2^3 = 8 \]3) Domínio e Imagem
- Domínio: \(x > 0\)
- Imagem: todos os números reais
Importante: não existe logaritmo de número negativo ou zero.
4) Crescimento e Decrescimento
- Se \(a > 1\), a função é crescente.
- Se \(0 < a < 1\), a função é decrescente.
5) Propriedades dos Logaritmos
Essas propriedades são essenciais para simplificação e resolução de questões:
\[ \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \] \[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) – \log_a(y) \] \[ \log_a(x^k) = k \log_a(x) \] \[ \log_a(1) = 0 \] \[ \log_a(a) = 1 \]6) Mudança de Base
\[ \log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)} \]Geralmente usamos base 10 ou base \(e\).
7) Gráfico da Função Logarítmica
- Ponto importante: (1,0)
- Possui assíntota vertical em \(x=0\)
- Cresce lentamente quando \(a>1\)
8) Exercícios Resolvidos
Exercício 1
Calcule \(\log_3(27)\)
\[ 3^3 = 27 \]Resposta: 3
Exercício 2
Resolva: \(\log_2(x) = 5\)
\[ 2^5 = x \] \[ x = 32 \]Resposta: 32
Exercício 3
Simplifique: \(\log(1000)\)
\[ 10^3 = 1000 \]Resposta: 3
9) Erros Mais Comuns
- Esquecer que o domínio é \(x>0\).
- Errar sinais na propriedade do quociente.
- Confundir logaritmo com exponencial.
10) Resumo Estratégico
- Logaritmo é o inverso da exponencial.
- Domínio: números positivos.
- Base maior que 1 → crescente.
- Base entre 0 e 1 → decrescente.
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