Domine a função quadrática com esta seleção de 8 questões resolvidas passo a passo. Abordamos desde o cálculo dos zeros com a fórmula de Bhaskara até aplicações práticas em situações reais, como frenagem de veículos e esvaziamento de reservatórios. Inclui análise de gráficos, forma fatorada, interseções com eixos e interpretação de parâmetros. Ideal para reforço escolar, ENEM e concursos!
🧠 Mapas Mentais de MatemáticaEnunciado: Calcule \( k \) de modo que a função dada por \( y = kx^2 – 2x + 3 \) admita o valor 2 como um de seus zeros.
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Se \( x = 2 \) é um dos zeros, então \( f(2) = 0 \). Vamos substituir na função:
$$ y = kx^2 – 2x + 3 $$
Substituindo \( x = 2 \):
$$ 0 = k(2)^2 – 2(2) + 3 $$
$$ 0 = 4k – 4 + 3 $$
$$ 0 = 4k – 1 $$
$$ 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4} $$
Resposta: \( k = \frac{1}{4} \)
Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas definidas a seguir:
a) \( y = x^2 – 6x + 5 \)
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Resposta: \( x’ = 1,\ x” = 5 \)
b) \( y = 3x^2 – 4x \)
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Resposta: \( x’ = 0,\ x” = \frac{4}{3} \)
c) \( y = -x^2 + x – 3 \)
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Resposta: A função não tem zeros (Δ < 0).
d) \( y = x^2 – 9 \)
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Resposta: \( x’ = -3,\ x” = 3 \)
e) \( y = -6x^2 \)
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Resposta: \( x’ = x” = 0 \) (raiz dupla)
f) \( y = 4x^2 – x + \frac{3}{5} \)
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Resposta: A função não tem zeros (Δ < 0).
Enunciado: Considerando a função definida por \( f(x) = ax^2 + bx + 10 \), determine os valores de \( a \) e \( b \), sabendo que seus zeros são \( x’ = -2 \) e \( x” = 5 \). Em seguida, faça um esboço do gráfico dessa função.
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Sabemos que os zeros da função são \( x’ = -2 \) e \( x” = 5 \).
Portanto, a forma fatorada da função é:
$$ f(x) = a(x + 2)(x – 5) $$
Vamos desenvolver essa expressão:
$$ f(x) = a(x^2 – 3x – 10) $$
Mas o termo constante é 10. Comparando com a forma geral \( f(x) = ax^2 + bx + 10 \), fazemos:
$$ a \cdot (-10) = 10 \Rightarrow a = -1 $$
Substituindo \( a = -1 \) na expressão expandida:
$$ f(x) = -1(x^2 – 3x – 10) = -x^2 + 3x + 10 $$
Logo, temos:
- \( a = -1 \)
- \( b = 3 \)
Resposta: \( a = -1 \), \( b = 3 \)
Esboço do gráfico: Parábola voltada para baixo, cortando o eixo \( x \) em \( x = -2 \) e \( x = 5 \), e o eixo \( y \) em \( y = 10 \).
Enunciado: Considere a função \( f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = x^2 + 2mx + 16 \). Determine o valor de \( m \in \mathbb{R} \) de modo que:
a) A função \( f \) tenha um único zero.
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Para que a função tenha um único zero, o discriminante deve ser igual a zero:
$$ \Delta = b^2 – 4ac $$
$$ \Delta = (2m)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 $$
$$ \Delta = 4m^2 – 64 $$
Igualando a zero:
$$ 4m^2 – 64 = 0 $$
$$ 4m^2 = 64 $$
$$ m^2 = 16 $$
$$ m = \pm 4 $$
Resposta: \( m = \pm 4 \)
b) O gráfico da função passe pelo ponto \( (2, -4) \).
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Se \( (2, -4) \) pertence ao gráfico, então \( f(2) = -4 \):
$$ f(x) = x^2 + 2mx + 16 $$
$$ f(2) = (2)^2 + 2m(2) + 16 $$
$$ -4 = 4 + 4m + 16 $$
$$ -4 = 4m + 20 $$
$$ 4m = -24 $$
$$ m = -6 $$
Resposta: \( m = -6 \)
Enunciado: Determine o parâmetro real \( k \) de modo que a função \( f(x) = x^2 – 2x + k \) tenha:
a) dois zeros
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Para que haja dois zeros, o discriminante deve ser positivo:
$$ \Delta = b^2 – 4ac $$
$$ \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot k $$
$$ \Delta = 4 – 4k $$
$$ \Delta > 0 \Rightarrow 4 – 4k > 0 $$
$$ -4k > -4 $$
$$ k < 1 $$
Resposta: \( k < 1 \)
b) um único zero
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Para que haja um único zero real, o discriminante deve ser nulo:
$$ \Delta = 4 – 4k = 0 $$
$$ 4 = 4k \Rightarrow k = 1 $$
Resposta: \( k = 1 \)
c) nenhum zero
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Para que não haja zeros reais, o discriminante deve ser negativo:
$$ \Delta = 4 – 4k < 0 $$
$$ -4k < -4 $$
$$ k > 1 $$
Resposta: \( k > 1 \)
(UFMG) Um certo reservatório, contendo 72 m³ de água, deve ser drenado para limpeza. Decorridas \( t \) horas após o início da drenagem, o volume de água que saiu do reservatório, em m³, é dado por:
$$ V(t) = 24t – 2t^2 $$
Sabendo-se que a drenagem teve início às 10 horas, o reservatório estará completamente vazio às:
- a) 14 horas
- b) 16 horas
- c) 19 horas
- d) 22 horas
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Como o volume total é 72 m³, queremos saber em que instante \( t \) ocorre \( V(t) = 72 \):
$$ 24t – 2t^2 = 72 $$
Colocando tudo na mesma equação:
$$ -2t^2 + 24t – 72 = 0 $$
Multiplicando por -1:
$$ 2t^2 – 24t + 72 = 0 $$
Dividindo por 2:
$$ t^2 – 12t + 36 = 0 $$
Resolvendo com Bhaskara:
$$ \Delta = (-12)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 – 144 = 0 $$
Como \( \Delta = 0 \), a equação tem uma única raiz:
$$ t = \frac{-(-12)}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6 $$
Se a drenagem começou às 10h, então o reservatório estará vazio às:
$$ 10h + 6h = \textbf{16 horas} $$
Resposta: alternativa b) 16 horas.
Determine:
a) Os pontos de interseção da parábola com o eixo das abscissas
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Interseção com o eixo \( x \) ocorre quando \( f(x) = 0 \):
$$ f(x) = (x + 1)(x – 3) = 0 $$
$$ x = -1 \quad \text{ou} \quad x = 3 $$
Resposta: \( (-1,\ 0) \) e \( (3,\ 0) \)
b) O ponto de interseção da parábola com o eixo das ordenadas
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Para encontrar \( f(0) \):
$$ f(0) = (0 + 1)(0 – 3) = 1 \cdot (-3) = -3 $$
Resposta: \( (0,\ -3) \)
c) O ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas
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Para \( g(x) = \dfrac{x}{2} + 3 \), calculamos \( g(0) \):
$$ g(0) = \frac{0}{2} + 3 = 3 $$
Resposta: \( (0,\ 3) \)
d) O ponto de interseção da reta com a parábola situado no 2º quadrante
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Igualamos as expressões para encontrar os pontos de interseção:
$$ f(x) = g(x) $$
$$ (x + 1)(x – 3) = \frac{x}{2} + 3 $$
Expandindo o lado esquerdo:
$$ x^2 – 2x – 3 = \frac{x}{2} + 3 $$
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
$$ 2x^2 – 4x – 6 = x + 6 $$
Colocando tudo em um lado:
$$ 2x^2 – 5x – 12 = 0 $$
Aplicando Bhaskara:
$$ \Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 $$
$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 11}{4} $$
$$ x_1 = \frac{16}{4} = 4, \quad x_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} $$
Substituindo \( x = -\frac{3}{2} \) em \( g(x) \):
$$ g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{-\frac{3}{2}}{2} + 3 = -\frac{3}{4} + 3 = \frac{9}{4} $$
Resposta: \( \left(-\frac{3}{2},\ \frac{9}{4} \right) \)
16. (UFPR) A distância que um automóvel percorre a partir do momento em que um condutor pisa no freio até a parada total do veículo é chamada de distância de frenagem. Suponha que a distância de frenagem \( d \), em metros, possa ser calculada pela fórmula:
$$ d(v) = \frac{1}{120}(v^2 + 8v) $$
sendo \( v \) a velocidade do automóvel, em quilômetros por hora, no momento em que o condutor pisa no freio.
a) Qual é a distância de frenagem de um automóvel que se desloca a uma velocidade de 40 km/h?
b) A que velocidade um automóvel deve estar para que sua distância de frenagem seja de 53,2 m?
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Substituímos \( v = 40 \) na fórmula:
$$ d(40) = \frac{1}{120}(40^2 + 8 \cdot 40) $$
$$ d(40) = \frac{1}{120}(1600 + 320) $$
$$ d(40) = \frac{1}{120}(1920) $$
$$ d(40) = 16\ \text{m} $$
Resposta: 16 metros
🔍 Ver solução b)
Temos:
$$ d(v) = \frac{1}{120}(v^2 + 8v) = 53,2 $$
Multiplicando ambos os lados por 120:
$$ v^2 + 8v = 53,2 \cdot 120 = 6384 $$
Resolvendo a equação quadrática:
$$ v^2 + 8v – 6384 = 0 $$
Aplicando Bhaskara:
$$ \Delta = 8^2 + 4 \cdot 6384 = 64 + 25536 = 25600 $$
$$ v = \frac{-8 \pm \sqrt{25600}}{2} = \frac{-8 \pm 160}{2} $$
$$ v_1 = \frac{-8 + 160}{2} = 76, \quad v_2 = \frac{-8 – 160}{2} = -84 $$
Desprezamos o valor negativo.
Resposta: 76 km/h
