Intercepto no eixo y da parábola (função quadrática)

O intercepto no eixo y (ou interseção com o eixo \(Oy\)) de uma parábola é o ponto do gráfico de \(f(x)=ax^2+bx+c\) onde \(x=0\). Por definição:

\[ \text{Intercepto em } y = (0,\,f(0)) \quad\text{e, em } f(x)=ax^2+bx+c,\quad f(0)=c. \]

Ou seja, o intercepto em \(y\) é sempre o ponto \((0,c)\). Se \(c>0\), fica acima do eixo \(x\); se \(c<0\), fica abaixo; se \(c=0\), o gráfico passa pela origem \((0,0)\).

Intercepto no eixo y da parábola: ponto (0, c) em f(x)=ax²+bx+c.

Função quadrática: guia Gráfico da função quadrática Partes da parábola Vértice Coeficiente \(a\) Coeficientes \(b\) e \(c\) Zeros da quadrática Máximo e mínimo

Como achar o intercepto em y nas diferentes formas

Forma padrão \(ax^2+bx+c\)

Substitua \(x=0\):

\[ f(0)=a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c = 0 + 0 + c = c. \]

Forma canônica \(a(x-h)^2+k\)

Use \(x=0\):

\[ f(0)=a(0-h)^2 + k = a h^2 + k. \]

O intercepto é \((0,\,a h^2 + k)\).

Forma fatorada \(a(x-x_1)(x-x_2)\)

Novamente \(x=0\):

\[ f(0)=a(0-x_1)(0-x_2) = a(-x_1)(-x_2) = a\,x_1x_2. \]

Logo \(c=a\,x_1x_2\) (coerente com as relações de Viète).

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Exemplos resolvidos (com as contas em coluna)

Exemplo 1 — \(f(x)=2x^2-3x+5\)

Intercepto em \(y\):

\[ \begin{aligned} f(0)&=2\cdot 0^2 – 3\cdot 0 + 5\\ &=0\\ &\ \ – 0\\ &\ \ \ \ + 5\\ &=5 \end{aligned} \]

Ponto \((0,5)\). Aqui, \(c=5\).

Exemplo 2 — \(g(x)=3(x-2)^2-4\)

Forma canônica:

\[ \begin{aligned} f(0)&=3(0-2)^2 – 4\\ &=3\cdot 4 – 4\\ &=12 – 4\\ &=8 \end{aligned} \]

Intercepto \((0,8)\).

Exemplo 3 — \(h(x)=-2(x+1)(x-3)\)

Forma fatorada:

\[ \begin{aligned} f(0)&=-2(0+1)(0-3)\\ &=-2\cdot 1 \cdot (-3)\\ &=6 \end{aligned} \]

Intercepto \((0,6)\). Note que \(c=a\,x_1x_2=-2\cdot(-1)\cdot 3=6\).

Exemplo 4 (interpretação física) — Altura de um objeto

Um lançamento vertical é modelado por \(h(t)=-5t^2+20t+1{,}5\) (unidades SI). A altura inicial é o intercepto em \(y\):

\[ \begin{aligned} h(0)&=-5\cdot 0^2 + 20\cdot 0 + 1{,}5\\ &=0\\ &\ \ + 0\\ &\ \ \ \ + 1{,}5\\ &=1{,}5\ \text{m} \end{aligned} \]

Leituras úteis e conexões

Coeficientes \(b\) e \(c\): como \(c\) desloca o gráfico no eixo \(y\).
Zeros da quadrática: intercepto em \(y\) não é raiz (a menos que \(c=0\)).
Vértice e máximo/mínimo: como o “pico” ou “vale” se relaciona com \(c\) e \(a\).
Construção do gráfico: tabelas, vértice e interceptos.

Erros comuns

Confundir intercepto em \(y\) com raízes: raízes são onde \(y=0\); intercepto em \(y\) é onde \(x=0\).
Esquecer o sinal de \(c\): ele indica se o ponto \((0,c)\) está acima ou abaixo do eixo \(x\).
Trocar formas: em \(a(x-h)^2+k\), o intercepto é \(a h^2 + k\), não “\(k\)” (a menos que \(h=0\)).