Questão 7. (Fuvest-SP) A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais.
Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo?
a) R$ 2.000,00 b) R$ 3.200,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 4.800,00
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Entendendo o enunciado:
Temos uma relação entre preço e quantidade vendida. A arrecadação depende do produto entre a quantidade de combos vendidos e o preço de cada um.
1) Definir a variável:
Seja \( x \) o número de reais reduzidos no preço.
Então:
Preço: \( 10 – x \)
Quantidade: \( 200 + 100x \)
2) Função da arrecadação:
$$ R(x) = (10 – x)(200 + 100x) $$
Aplicando distributiva:
$$ R(x) = 10 \cdot 200 + 10 \cdot 100x – x \cdot 200 – x \cdot 100x $$
$$ R(x) = 2000 + 1000x – 200x – 100x^2 $$
$$ R(x) = -100x^2 + 800x + 2000 $$
3) Máximo da função:
$$ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{800}{2 \cdot (-100)} = \frac{800}{200} = 4 $$
4) Substituir \( x = 4 \) na função:
Preço = R$ 6,00
Quantidade = \( 200 + 100 \cdot 4 = 600 \)
Arrecadação = \( 600 \cdot 6 = 3600 \)
✅ Conclusão:
- Máxima arrecadação: $$ \boxed{R\$ 3.600,00} $$
- Alternativa correta: c)
