(UFMG) Um certo reservatório, contendo 72 m³ de água, deve ser drenado para limpeza. Decorridas \( t \) horas após o início da drenagem, o volume de água que saiu do reservatório, em m³, é dado por:
$$ V(t) = 24t – 2t^2 $$
Sabendo-se que a drenagem teve início às 10 horas, o reservatório estará completamente vazio às:
- a) 14 horas
- b) 16 horas
- c) 19 horas
- d) 22 horas
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Como o volume total é 72 m³, queremos saber em que instante \( t \) ocorre \( V(t) = 72 \):
$$ 24t – 2t^2 = 72 $$
Colocando tudo na mesma equação:
$$ -2t^2 + 24t – 72 = 0 $$
Multiplicando por -1:
$$ 2t^2 – 24t + 72 = 0 $$
Dividindo por 2:
$$ t^2 – 12t + 36 = 0 $$
Resolvendo com Bhaskara:
$$ \Delta = (-12)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 – 144 = 0 $$
Como \( \Delta = 0 \), a equação tem uma única raiz:
$$ t = \frac{-(-12)}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6 $$
Se a drenagem começou às 10h, então o reservatório estará vazio às:
$$ 10h + 6h = \textbf{16 horas} $$
Resposta: alternativa b) 16 horas.
