Questão 28. Considerando uma função dada por:
$$ f(x) = kx^2 – 2kx + k – 1 \quad \text{com } k \in \mathbb{R},\ k < 0, $$ calcule os valores de \( k \) para que \( f(x) \) seja negativa para todo \( x \in \mathbb{R} \).
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🔎 Entendendo o enunciado:
Queremos determinar os valores de \( k \) que tornam a função sempre negativa, ou seja, a parábola deve estar totalmente abaixo do eixo \( x \).
1) Condições para função sempre negativa:
- Coeficiente de \( x^2 \) negativo → \( a < 0 \)
- Discriminante \( \Delta < 0 \)
2) Identificando os coeficientes:
Na função \( f(x) = kx^2 – 2kx + k – 1 \), temos:
- \( a = k \)
- \( b = -2k \)
- \( c = k – 1 \)
Vamos calcular o discriminante:
$$ \Delta = b^2 – 4ac = (-2k)^2 – 4(k)(k – 1) $$ $$ \Delta = 4k^2 – 4k(k – 1) = 4k^2 – 4k^2 + 4k = 4k $$
3) Impor \( \Delta < 0 \):
$$ 4k < 0 \Rightarrow k < 0 $$
Essa já é a condição do enunciado. Portanto, **todo \( k < 0 \)** torna \( \Delta < 0 \) e o gráfico sempre negativo.
✅ Conclusão:
- f(x) < 0 para todo \( x \in \mathbb{R} \) se \( \boxed{k < 0} \)
