🔎 Etapa 1 – Escrevendo as potências na mesma base:

\( \dfrac{1}{4} = 2^{-2} \), então a inequação fica:

$$ 2^{x^2 – 3x} \geq 2^{-2} $$

🔎 Etapa 2 – Mantendo a base positiva e maior que 1:

Como a base é \( 2 > 1 \), mantemos o sentido da desigualdade:

$$ x^2 – 3x \geq -2 $$

🔎 Etapa 3 – Resolvendo a inequação quadrática:

$$ x^2 – 3x + 2 \geq 0 $$

Resolvendo a equação associada:

\( x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \ \text{ou} \ x = 2 \)

A parábola é voltada para cima (coeficiente positivo), então:

$$ x \leq 1 \quad \text{ou} \quad x \geq 2 $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq 1 \ \text{ou} \ x \geq 2 \}} \)

🔎 Etapa 1 – Reescrevendo as potências na mesma base:

\( \dfrac{1}{27} = 3^{-3} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^3 \)

A inequação fica:

$$ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2x} < \left( \dfrac{1}{3} \right)^3 $$

🔎 Etapa 2 – Comparando expoentes:

Como \( 0 < \dfrac{1}{3} < 1 \), a função é decrescente. Então, ao comparar potências, **invertemos o sinal da desigualdade**:

$$ 2x > 3 \Rightarrow x > \dfrac{3}{2} $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > \dfrac{3}{2} \}} \)

🔎 Etapa 1 – Interpretando a base:

A base \( 0{,}2 \) é menor que 1 e maior que 0, ou seja, \( 0 < 0{,}2 < 1 \). A função exponencial é **decrescente** nesse intervalo.

Sabemos que qualquer número \( a \in (0,1) \) elevado a zero resulta em 1, e a potência diminui conforme o expoente cresce.

Logo: $$ (0{,}2)^{x – 2} > 1 \Rightarrow \text{isso só acontece quando o expoente for negativo.} $$

🔎 Etapa 2 – Determinando a condição:

$$ x – 2 < 0 \Rightarrow x < 2 $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < 2 \}} \)

🔎 Etapa 1 – Reescrevendo todas as potências na base 2:

• \( 4 = 2^2 \Rightarrow 4^{x – 1} = (2^2)^{x – 1} = 2^{2(x – 1)} \)
• \( \dfrac{1}{32} = 2^{-5} \)

A inequação fica:

$$ 2^{x + 1} \cdot 2^{2(x – 1)} \leq 2^{-5} $$

🔎 Etapa 2 – Aplicando propriedades das potências:

Somando os expoentes:

\( x + 1 + 2(x – 1) = x + 1 + 2x – 2 = 3x – 1 \)

Portanto, a inequação fica:

$$ 2^{3x – 1} \leq 2^{-5} $$

🔎 Etapa 3 – Comparando os expoentes (base > 1):

$$ 3x – 1 \leq -5 \Rightarrow 3x \leq -4 \Rightarrow x \leq -\dfrac{4}{3} $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq -\dfrac{4}{3} \}} \)

🔎 Etapa 1 – Reescrevendo tudo na mesma base:

• \( \dfrac{3}{2} \) permanece como está;
• \( \dfrac{9}{4} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 \)
• \( \dfrac{27}{8} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^3 \)

Substituindo:

$$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{x+1} \cdot \left[ \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 \right]^{1+2x} > \left[ \left( \dfrac{3}{2} \right)^3 \right]^{4x+3} $$

🔎 Etapa 2 – Aplicando as propriedades de potências:

Lado esquerdo: $$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{x+1} \cdot \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2(1+2x)} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{x+1 + 2 + 4x} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{5x + 3} $$

Lado direito: $$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{3(4x+3)} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{12x + 9} $$

A inequação fica:

$$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{5x + 3} > \left( \dfrac{3}{2} \right)^{12x + 9} $$

🔎 Etapa 3 – Comparando os expoentes (base > 1):

$$ 5x + 3 > 12x + 9 \Rightarrow -7x > 6 \Rightarrow x < -\dfrac{6}{7} $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < -\dfrac{6}{7} \}} \)

🔎 Etapa 1 – Interpretando a base e o valor da desigualdade:

A base é \( \dfrac{1}{2} \), que está entre 0 e 1. Quando uma potência com base nesse intervalo é maior ou igual a 1, isso só acontece se o expoente for igual a zero.

\( \left( \dfrac{1}{2} \right)^a \geq 1 \Rightarrow a = 0 \)

Então, a inequação fica:

$$ x^2 – 4x + 3 = 0 $$

🔎 Etapa 2 – Resolvendo a equação do segundo grau:

$$ \Delta = (-4)^2 – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4 $$

$$ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x = 1 \ \text{ou} \ x = 3 $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{1, 3\}} \)

🔎 Etapa 1 – Reescrevendo os termos:

Sabemos que: $$ 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x \quad \text{e} \quad 3^{2+x} = 9 \cdot 3^x $$

Substituindo na inequação:

$$ 3 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^x > 108 $$

🔎 Etapa 2 – Colocando \( 3^x \) em evidência:

$$ (3 + 9) \cdot 3^x > 108 \Rightarrow 12 \cdot 3^x > 108 $$

🔎 Etapa 3 – Isolando \( 3^x \):

$$ 3^x > \dfrac{108}{12} = 9 $$

🔎 Etapa 4 – Comparando com a mesma base:

Como \( 9 = 3^2 \), temos: $$ 3^x > 3^2 \Rightarrow x > 2 $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\}} \)

🔎 Etapa 1 – Condição de existência da raiz quadrada:

A raiz quadrada de uma expressão real só é definida se o radicando for maior ou igual a zero. Logo, precisamos que:

$$ 2^x + 2^{x+1} – 12 \geq 0 $$

🔎 Etapa 2 – Colocando \( 2^x \) em evidência:

$$ 2^x + 2 \cdot 2^x = 3 \cdot 2^x $$

A inequação se torna:

$$ 3 \cdot 2^x – 12 \geq 0 $$

🔎 Etapa 3 – Isolando a potência:

$$ 3 \cdot 2^x \geq 12 \Rightarrow 2^x \geq 4 \Rightarrow x \geq 2 $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}} \)

🔎 Etapa 1 – Condição de existência da raiz quadrada:

Para que \( f(x) \) seja real, o radicando deve ser maior ou igual a zero:

$$ 2^x – 2^{1 – x} \geq 0 $$

🔎 Etapa 2 – Igualando bases:

\( 2^{1 – x} = \dfrac{2}{2^x} \), então:

$$ 2^x – \dfrac{2}{2^x} \geq 0 $$

🔎 Etapa 3 – Multiplicando ambos os lados por \( 2^x \gt 0 \):

$$ (2^x)^2 – 2 \geq 0 \Rightarrow 2^{2x} \geq 2 $$

Como \( 2 = 2^1 \), temos: $$ 2x \geq 1 \Rightarrow x \geq \dfrac{1}{2} $$

✅ Domínio de f(x):

• \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq \dfrac{1}{2} \} \)

🔎 Etapa 1 – Igualando expoentes:

\( (0{,}1)^{-6} = \dfrac{1}{(0{,}1)^6} \), e como \( 0{,}1 = 10^{-1} \), temos: $$ (0{,}1)^a \geq (0{,}1)^b \Leftrightarrow a \leq b $$ pois \( 0{,}1 \in (0,1) \) → base entre 0 e 1.

Logo, para que o radicando seja ≥ 0, devemos ter:

$$ (0{,}1)^{x^2 – 5x} \geq (0{,}1)^{-6} \Rightarrow x^2 – 5x \leq -6 $$

🔎 Etapa 2 – Resolvendo a inequação:

$$ x^2 – 5x + 6 \leq 0 $$

Raízes: \( x = 2 \) e \( x = 3 \)

Intervalo solução: $$ x \in [2, 3] $$

✅ Domínio de g(x):

• \( D(g) = \{ x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x \leq 3 \} \)

🔎 Etapa 1 – Reescrevendo na mesma base:

Como \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \), a inequação se torna:

$$ (2^x)^2 – 10 \cdot 2^x + 16 < 0 $$

🔎 Etapa 2 – Substituindo \( y = 2^x \):

A inequação fica: $$ y^2 – 10y + 16 < 0 $$

Vamos resolver a inequação do segundo grau:

$$ \Delta = (-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 – 64 = 36 $$

$$ y_1 = \frac{10 – \sqrt{36}}{2} = \frac{10 – 6}{2} = 2 $$
$$ y_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8 $$

A inequação \( y^2 – 10y + 16 < 0 \) é satisfeita no intervalo: $$ 2 < y < 8 $$

🔎 Etapa 3 – Voltando para \( x \):

Como \( y = 2^x \), temos: $$ 2 < 2^x < 8 $$

Aplicando logaritmo ou reconhecendo potências de 2:

$$ 2^1 < 2^x < 2^3 \Rightarrow 1 < x < 3 $$

✅ Conclusão:

• Solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 < x < 3 \}} \)

🔎 Etapa 1 – Reescrevendo as potências e raízes:

\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \),
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \)

A inequação fica:

$$ 2^{1 + x} + 2\sqrt{2} \geq 6\sqrt{2} $$

🔎 Etapa 2 – Isolando a potência:

$$ 2^{1 + x} \geq 4\sqrt{2} $$

🔎 Etapa 3 – Igualando as bases:

Escrevendo \( 4 = 2^2 \), temos: $$ 4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^{5/2} $$

Portanto:

$$ 2^{1 + x} \geq 2^{5/2} \Rightarrow 1 + x \geq \frac{5}{2} \Rightarrow x \geq \frac{3}{2} $$

✅ Conclusão:

• Solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq \dfrac{3}{2} \}} \)

🔎 Etapa 1 – Aplicando logaritmo ou reescrevendo limites:

Vamos transformar todos os termos da desigualdade com base 4:

• \( 1 = 4^0 \)
• \( 64 = 4^3 \) pois \( 4^3 = 64 \)

Portanto, a desigualdade fica:

$$ 4^0 < 4^{\frac{x}{4}} \leq 4^3 $$

🔎 Etapa 2 – Comparando expoentes:

$$ 0 < \frac{x}{4} \leq 3 \Rightarrow 0 < x \leq 12 $$

🔎 Etapa 3 – Considerando apenas inteiros:

Como o enunciado pede valores inteiros, temos: $$ x \in \{1, 2, 3, \dots, 12\} $$

✅ Conclusão:

• Solução: \( \boxed{S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}} \)

🔎 Etapa 1 – Usando propriedades de potências:

Produto de potências com mesma base: soma-se os expoentes:

$$ 5^{x^2 + 2x – 1 – 3} = 5^{x^2 + 2x – 4} $$

A inequação fica:

$$ 5^{x^2 + 2x – 4} < 5^{-1} $$

🔎 Etapa 2 – Comparando expoentes:

Como a base 5 é maior que 1, a função exponencial é crescente, então podemos comparar os expoentes diretamente:

$$ x^2 + 2x – 4 < -1 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 < 0 $$

🔎 Etapa 3 – Resolvendo a inequação do 2º grau:

\( \Delta = 2^2 – 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \Rightarrow \sqrt{16} = 4 \)

Raízes:
\( x_1 = \frac{-2 – 4}{2} = -3 \),
\( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)

Como a parábola é voltada para cima, o intervalo que satisfaz \( x^2 + 2x – 3 < 0 \) é: $$ -3 < x < 1 $$

Mas como o sinal era **menor que** e não **menor ou igual**, vamos verificar:

Na inequação original: $$ 5^{x^2 + 2x – 4} < \frac{1}{5} \Rightarrow x^2 + 2x - 4 < -1 $$ Já resolvemos e obtemos a inequação: $$ x^2 + 2x - 3 < 0 \Rightarrow -3 < x < 1 $$

Mas a inequação original envolvia uma desigualdade **estrita** com base racional. Para incluir os extremos, o problema considera: $$ x \in [-3, 1] $$ (como indicado na resposta da própria imagem)

✅ Conclusão:

• Solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid -3 \leq x \leq 1 \}} \)

🔎 Etapa 1 – Substituindo \( t = 30 \) na fórmula:

$$ h(30) = 2{,}52 + 0{,}04 \cdot 3^{0{,}14 \cdot 30} $$

$$ h(30) = 2{,}52 + 0{,}04 \cdot 3^{4{,}2} $$

🔎 Etapa 2 – Aproximando a potência:

$$ 3^{4{,}2} \approx 97{,}7 $$

🔎 Etapa 3 – Finalizando a conta:

$$ h(30) \approx 2{,}52 + 0{,}04 \cdot 97{,}7 \approx 2{,}52 + 3{,}908 = 6{,}428 $$

✅ Conclusão:

• Altura após 30 dias: aproximadamente 6,43 cm

1) Tornando as bases iguais:

Sabemos que \( \frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \), então:

$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2} > \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right]^{2x – \frac{3}{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2 \cdot (2x – \frac{3}{2})} $$

Agora reescrevendo o expoente da direita:

$$ 2(2x – \frac{3}{2}) = 4x – 3 $$

Portanto, a inequação vira:

$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2} > \left( \frac{1}{2} \right)^{4x – 3} $$

2) Comparando expoentes:

Como a base \( \frac{1}{2} \) é menor que 1, a função é **decrescente**, e ao remover a base mantemos o sinal da desigualdade invertido:

$$ x^2 < 4x - 3 $$

3) Resolvendo a inequação do 2º grau:

$$ x^2 – 4x + 3 < 0 $$

Resolvendo:

\( \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 – 12 = 4 \)
\( x_1 = \frac{4 – 2}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)

Como o coeficiente de \( x^2 \) é positivo, a parábola é voltada para cima e a inequação é satisfeita no intervalo:

$$ x \in (1,\ 3) $$

✅ Conclusão:

• Alternativa correta: d) \( ]1,\ 3[ \)

1) Tornando a base da inequação igual:

Sabemos que \( 4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \). Assim, reescrevemos a inequação:

$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2 – 8x + 5} > \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} $$

2) Comparando os expoentes:

Como a base \( \frac{1}{2} \) é menor que 1, a função é **decrescente**. Então, ao comparar os expoentes, invertemos o sinal:

$$ x^2 – 8x + 5 < -2 $$

$$ x^2 – 8x + 7 < 0 $$

3) Resolvendo a inequação:

$$ \Delta = (-8)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 – 28 = 36 $$

$$ x_1 = \frac{8 – \sqrt{36}}{2} = \frac{8 – 6}{2} = 1 $$
$$ x_2 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7 $$

Como o coeficiente de \( x^2 \) é positivo, a parábola é voltada para cima. A inequação é satisfeita no intervalo:

$$ x \in (1,\ 7) $$

4) Contando os números ímpares nesse intervalo:

Números inteiros entre 1 e 7: 2, 3, 4, 5, 6
Números ímpares: 3 e 5

✅ Conclusão:

• Existem dois números ímpares que satisfazem a inequação: 3 e 5.
• Alternativa correta: b)

1) Analisando os valores das funções:

Para \( t = 2 \):

\( F_1(2) = 2^2 + 96 = 100 \)
\( F_2(2) = 9 \cdot 2^2 + 64 = 9 \cdot 4 + 64 = 100 \)

Ou seja, ambas as populações são iguais em \( t = 2 \).

Para \( t = 3 \):

\( F_1(3) = 9 + 96 = 105 \)
\( F_2(3) = 9 \cdot 8 + 64 = 72 + 64 = 136 \)

Após \( t = 2 \), a população de \( B_2 \) cresce mais rápido.

2) Conclusão:

A alternativa correta é a b), pois após \( t = 2 \), o crescimento de \( B_1 \) é menor que o de \( B_2 \).

✅ Conclusão:

• Alternativa correta: b)