Funções Exponenciais na Prática: Crescimento, Rendimento e Aplicações Reais

🔎 Entendendo o enunciado:

Devemos classificar as funções exponenciais como crescente ou decrescente. Para isso, devemos analisar a base da potência e o sinal do expoente.

1) Lembrete teórico:

Uma função exponencial \( f(x) = a^x \):
– É crescente se \( a > 1 \)
– É decrescente se \( 0 < a < 1 \)
– Se a base é invertida por um expoente negativo, também resulta em função decrescente.

2) Analisando cada item:

• a) \( f(x) = 5^x \) → base \( > 1 \) → crescente
• b) \( f(x) = \left(\frac{1}{6}\right)^x \) → base \( < 1 \) → decrescente
• c) \( f(x) = 2^{-x} \) → \( 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \) → base \( < 1 \) → decrescente
• d) \( f(x) = 3^{x/2} \) → base \( > 1 \), e expoente linear positivo → crescente

✅ Conclusão:

• a) Crescente
• b) Decrescente
• c) Decrescente
• d) Crescente

🔎 Entendendo o enunciado:

Para cada função exponencial, devemos:
– Identificar o domínio: valores de \( x \) permitidos;
– Determinar a imagem: os valores que \( f(x) \) pode assumir;
– Considerar o esboço do gráfico como apoio visual.

a) \( f(x) = 3^x \)

• Tipo: Função exponencial crescente.
• Domínio: \( \mathbb{R} \) (qualquer valor real pode ser usado como expoente).
• Imagem: \( \mathbb{R}_+^* \), ou seja, todos os reais positivos, sem incluir o zero.

b) \( f(x) = 2^{x+1} \)

• Tipo: Exponencial crescente, com deslocamento horizontal.
• Domínio: \( \mathbb{R} \)
• Imagem: \( \mathbb{R}_+^* \)

c) \( f(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x \)

• Tipo: Função exponencial decrescente (base entre 0 e 1).
• Domínio: \( \mathbb{R} \)
• Imagem: \( \mathbb{R}_+^* \)

d) \( f(x) = 2^x + 1 \)

• Tipo: Exponencial crescente com translação vertical de +1.
• Domínio: \( \mathbb{R} \)
• Imagem: \( \{y \in \mathbb{R} \mid y > 1\} \)

✅ Conclusão:

• a) Domínio: \( \mathbb{R} \); Imagem: \( \mathbb{R}_+^* \)
• b) Domínio: \( \mathbb{R} \); Imagem: \( \mathbb{R}_+^* \)
• c) Domínio: \( \mathbb{R} \); Imagem: \( \mathbb{R}_+^* \)
• d) Domínio: \( \mathbb{R} \); Imagem: \( \{y \in \mathbb{R} \mid y > 1\} \)

🔎 Entendendo o enunciado:

Duas funções foram dadas:

• Função correta: \( f(t) = 2^t \) – exponencial (crescimento acelerado)
• Função copiada: \( f(t) = 2t \) – linear (crescimento constante)

a) Esboço dos gráficos:

Ambas começam em \( f(0) = 1 \), mas a função exponencial cresce mais rapidamente com o tempo. No gráfico:

• \( 2^0 = 1 \), \( 2^1 = 2 \), \( 2^2 = 4 \), \( 2^3 = 8 \), …
• \( 2 \cdot 0 = 0 \), \( 2 \cdot 1 = 2 \), \( 2 \cdot 2 = 4 \), \( 2 \cdot 3 = 6 \), …

b) Valores iguais:

As funções coincidem quando seus valores são iguais:

• Para \( t = 1 \): \( 2^1 = 2 \) e \( 2 \cdot 1 = 2 \)
• Para \( t = 2 \): \( 2^2 = 4 \) e \( 2 \cdot 2 = 4 \)

Resposta: Sim, para \( t = 1 \) e \( t = 2 \)

c) Conclusão sobre o crescimento:

Ambas as funções são crescentes, porém:

• A função linear cresce de forma constante.
• A função exponencial cresce mais rapidamente à medida que o tempo aumenta.

Conclusão: Ambas são crescentes, mas a exponencial cresce mais rápido.

d) Diferença para \( t = 3 \):

– \( f_{\text{exponencial}}(3) = 2^3 = 8 \) (milhares de bactérias)
– \( f_{\text{linear}}(3) = 2 \cdot 3 = 6 \) (milhares de bactérias)
– Diferença: \( 8 – 6 = 2 \) mil = 2000 bactérias

✅ Resumo final:

• b) Sim, valores iguais para \( t = 1 \) e \( t = 2 \)
• c) Ambas são crescentes, mas a exponencial cresce mais rápido
• d) Diferença para \( t = 3 \): 2000 bactérias

🔎 Entendendo o enunciado:

Vamos analisar o gráfico e usar as expressões fornecidas para o aumento e a diminuição da população bacteriana, conforme a temperatura aumenta.

a) Intervalos de variação:

• Estável de 0 °C a 20 °C (população constante em \( 2 \cdot 10^5 \))
• Aumento de 20 °C a 60 °C (crescimento exponencial)
• Estável de 60 °C a 80 °C (população constante em \( 32 \cdot 10^5 \))
• Diminuição de 80 °C a 120 °C (decrescimento exponencial)

b) Cálculo das quantidades:

• Para 30 °C: \[ f(30) = 2^{0{,}1(30 – 10)} = 2^2 = 4 \Rightarrow 4 \cdot 10^5 = \boxed{400\,000\ bactérias} \]
• Para 50 °C: \[ f(50) = 2^{0{,}1(50 – 10)} = 2^4 = 16 \Rightarrow 16 \cdot 10^5 = \boxed{1\,600\,000\ bactérias} \]
• Para 90 °C: \[ g(90) = 32 – 2^{0{,}2(90 – 80)} = 32 – 2^2 = 32 – 4 = 28\]\[ \Rightarrow 28 \cdot 10^5 = \boxed{800\,000\ bactérias} \]
• Para 110 °C: \[ g(110) = 32 – 2^{0{,}2(110 – 80)} = \]\[ 32 – 2^6 = 32 – 64 = -32 \]\[\ (\text{não faz sentido físico, usamos valor da tabela: }\]\[ 0{,}5 \cdot 10^5 = \boxed{50\,000\ bactérias}) \]

✅ Resumo final:

• a) Aumentou de 20 °C a 60 °C; estável de 0–20 °C e 60–80 °C; diminuiu de 80–120 °C
• b) 30 °C: 400 000 bactérias
  50 °C: 1 600 000 bactérias
  90 °C: 800 000 bactérias
  110 °C: 50 000 bactérias (aproximado da tabela)

🔎 Entendendo o enunciado:

A função exponencial \( f(x) = a^x \) é:

• Crescente se \( a > 1 \)
• Decrescente se \( 0 < a < 1 \)
• Indefinida para \( a \leq 0 \) em \( \mathbb{R} \)

Logo, queremos que a base \( a = k – 3 \) esteja no intervalo \( 0 < k - 3 < 1 \)

Etapa 1 – Montar a inequação:

Queremos: \[ 0 < k - 3 < 1 \]

Etapa 2 – Resolver a inequação composta:

Somando 3 em todos os membros: \[ 0 + 3 < k < 1 + 3 \Rightarrow 3 < k < 4 \]

✅ Conclusão:

Para que a função seja decrescente, o valor de \( k \) deve satisfazer: \[ \boxed{3 < k < 4} \]

a) A construção pode ser feita com o software GeoGebra, inserindo os comandos:

• f(x) = 3^x
• g(x) = 3^x + 2
• h(x) = 3^(x - 2)

b) Todas as funções são exponenciais com base \( > 1 \).
✅ Resposta: As funções \( f \), \( g \) e \( h \) são crescentes.

c)

• Domínio: \( D(f) = D(g) = D(h) = \mathbb{R} \)
• Imagem: \( \text{Im}(f) = \mathbb{R}_+^* \)
  \( \text{Im}(g) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y > 2 \} \)
  \( \text{Im}(h) = \mathbb{R}_+^* \)

d) A função \( m(x) = 3^x – 2 \) é uma translação vertical para baixo do gráfico de \( f(x) = 3^x \).
Ou seja, cada ponto do gráfico de \( f \) é deslocado 2 unidades para baixo.

e) A função \( q(x) = 3^{x+2} \) representa uma translação horizontal para a esquerda do gráfico de \( f(x) = 3^x \), deslocando-o 2 unidades para a esquerda.

f) Ao construir os gráficos de \( f \), \( m \) e \( q \), podemos visualizar:

• \( m(x) \): gráfico mais abaixo, mesma forma que \( f \)
• \( q(x) \): gráfico deslocado para a esquerda

Esses deslocamentos confirmam as transformações descritas nos itens anteriores.

✅ Conclusão geral:

• \( f \), \( g \), \( h \), \( m \) e \( q \) são todas funções exponenciais crescentes
• Transformações em \( f \) afetam posição, mas não o crescimento
• Domínios continuam \( \mathbb{R} \), e as imagens variam conforme a translação vertical

a) Taxa de variação média:

Valor final: R$ 1.017,62
Valor inicial: R$ 1.000,00

\[ \text{Variação média} = \frac{1.017,62 – 1.000,00}{6} = \frac{17,62}{6} ≈ \boxed{R\$ 3,52} \]

b) Lei da função:

Como se trata de juros compostos com taxa de 0,35% ao mês:

\[ f(t) = 1000 \cdot (1 + 0{,}0035)^t = \boxed{f(t) = 1000 \cdot (1{,}0035)^t} \]

c) Valor após 12 meses:

Aplicando \( t = 12 \) na função:

\[ f(12) = 1000 \cdot (1{,}0035)^{12} ≈ 1000 \cdot 1{,}04282 ≈ \boxed{R\$ 1.042,82} \]

✅ Conclusão:

• a) R$ 3,52 por mês (média)
• b) Função: \( f(t) = 1000 \cdot (1{,}0035)^t \)
• c) Após 12 meses: R$ 1.042,82