Fuso Esférico

Na geometria espacial, o fuso esférico é uma região da superfície da esfera delimitada por dois semicírculos que têm o mesmo diâmetro. É como uma “fatia” da esfera, semelhante aos fusos horários do globo terrestre.

1) Definição

Considere uma esfera de raio \(R\). Se tomarmos dois planos que passam pelo eixo da esfera, o espaço compreendido entre esses planos, limitado pela superfície esférica, forma um fuso esférico.

Ângulo central (\(\alpha\)): ângulo formado pelos dois planos no centro da esfera.
Arco equatorial: arco da circunferência máxima (equador) compreendido entre os planos.

2) Área do fuso esférico

A área do fuso é proporcional ao ângulo central \(\alpha\), em relação à área total da esfera:

\( A_f = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 4\pi R^2 \)

Se o ângulo estiver em radianos:

\( A_f = \dfrac{\alpha}{2\pi}\cdot 4\pi R^2 = 2\alpha R^2 \)

3) Volume da cunha esférica (ou setor esférico)

O setor esférico é o sólido gerado ao girar o fuso esférico em torno do eixo da esfera. Seu volume também é proporcional ao ângulo \(\alpha\):

\( V = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot \dfrac{4}{3}\pi R^3 \)

Em radianos:

\( V = \dfrac{\alpha}{2\pi}\cdot \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{2}{3}\alpha R^3 \)

4) Exemplos resolvidos

Exemplo 1: Determine a área de um fuso esférico de ângulo central \(\alpha=90^\circ\) em uma esfera de raio \(R=6\) cm.

Mostrar solução

\(A=\frac{90}{360}\cdot4\pi R^2=\frac{1}{4}\cdot4\pi\cdot36=36\pi\;\text{cm}^2\).

Exemplo 2: Calcule o volume do setor esférico correspondente a um fuso de \(\alpha=\pi/3\) rad em uma esfera de raio \(R=3\) cm.

Mostrar solução

\(V=\frac{2}{3}\alpha R^3=\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{3}\cdot27=6\pi\;\text{cm}^3\).

5) Aplicações do fuso esférico

Geografia: fusos horários são representados por fusos esféricos na superfície terrestre.
Astronomia: delimitação de áreas no globo celeste.
Engenharia: cálculos em estruturas esféricas, como cúpulas e reservatórios.