Gráfico de uma Função

Antes de mergulhar nos gráficos, revise Plano Cartesiano, Ponto no Plano e a base de Domínio, Imagem e Contradomínio. Para treinar, use o Banco de Questões.

Exemplos de gráficos de funções: polinomial, quadrática e afim

Definição. O gráfico de uma função \(f\) é o conjunto de todos os pontos \((x,y)\) tais que \(x\in D(f)\) e \(y=f(x)\).

Leitura direta no gráfico

Valor da função em \(x=a\): projete verticalmente até a curva e leia \(y=f(a)\).
Zeros: abscissas onde a curva cruza o eixo \(x\) (soluções de \(f(x)=0\)).
Intercepto em \(y\): ponto onde a curva cruza o eixo \(y\) (valor \(f(0)\)).
Crescimento/decrescimento: em trechos ascendentes \(f\) cresce; descendentes, decresce.
Máximo/Mínimo locais: picos e vales do gráfico; ajudam a descrever a imagem em intervalos.

Famílias clássicas de gráficos

Função	Forma do gráfico	Pontos-chave
Afim \(y=mx+b\)	Reta	Inclinação \(m\); intercepto \(b=f(0)\); zero em \(-b/m\) (se \(m\neq0\))
Quadrática \(y=ax^2+bx+c\)	Parábola	Vértice \(\left(\!-\,\frac{b}{2a},\,\frac{-\Delta}{4a}\right)\); abre p/ cima se \(a>0\)
Módulo \(y=\|x\|\) ou \(y=\|ax+b\|\)	“V”	Quebra onde o argumento do módulo zera
Exponencial \(y=a^x\) \((a>1)\)	Crescente	Ponto \((0,1)\); nunca cruza \(y=0\)
Logarítmica \(y=\log_a x\)	Cresce devagar	Passa em \((1,0)\); domínio \(x>0\)

Para aprofundar: Equações do 1º Grau, Função do 2º Grau, Logaritmos.

Transformações que “movem” o gráfico

Translação vertical: \(y=f(x)+k\) move \(k\) unidades no eixo \(y\).
Translação horizontal: \(y=f(x-h)\) move \(h\) unidades no eixo \(x\) (para a direita se \(h>0\)).
Reflexões: \(y=-f(x)\) espelha no eixo \(x\); \(y=f(-x)\) espelha no eixo \(y\).
Alongamentos: \(y=a\cdot f(x)\) estica/comprime verticalmente; \(y=f(bx)\) horizontalmente.

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Exemplos comentados

1) Lendo valores no gráfico

Se o gráfico passa por \((1,3)\) e \((3,7)\), então \(f(1)=3\) e \(f(3)=7\). Se cruza o eixo \(x\) em \(x=2\), então \(f(2)=0\) (zero).

2) Esboço rápido — reta

\(f(x)=2x-1\). Intercepto: \(f(0)=-1\) → ponto \((0,-1)\). Zero: \(2x-1=0\Rightarrow x=\tfrac12\) → ponto \((\tfrac12,0)\). Trace a reta por esses dois pontos.

3) Esboço rápido — parábola

\(g(x)=x^2-4x+3\). \(\Delta=16-12=4\) → zeros: \(x=1\) e \(x=3\). Vértice: \(\left(2, -1\right)\). A parábola abre para cima e toca o eixo \(x\) em 1 e 3.

4) Função por partes

\(h(x)=\begin{cases}2x+1,&x\le 0\\ x^2,&x>0\end{cases}\). Esboce cada lei em seu intervalo; verifique continuidade em \(x=0\): \(h(0^-)=1\) e \(h(0^+)=0\) → salto.

➡️ Praticar leitura e esboço de gráficos

Exercícios (múltipla escolha) com solução

1) A reta que passa por \((0,3)\) e \((2,7)\) tem equação:

\(y=2x+3\)
\(y=4x-1\)
\(y=3x+1\)
\(y=x+3\)

Ver solução

Inclinação \(m=\frac{7-3}{2-0}=2\); usando \(y=mx+b\) e \((0,3)\) → \(b=3\). Equação: \(y=2x+3\). Alternativa (a).

2) No gráfico da parábola \(y=-(x-2)^2+6\), o vértice é:

\((2,6)\)
\((6,2)\)
\((0,6)\)
\((2,-6)\)

Ver solução

Forma canônica \(y=a(x-h)^2+k\) → vértice \((h,k)=(2,6)\). Alternativa (a).

3) A imagem de \(f(x)=|x|-2\) é:

\([0,\infty)\)
\((-\infty,2]\)
\([-2,\infty)\)
\((-\infty,-2]\)

Ver solução

\(|x|\ge0\Rightarrow |x|-2\ge-2\). Logo \(\mathrm{Im}(f)=[-2,\infty)\). Alternativa (c).

4) O gráfico de \(y=f(x)\) cruza o eixo \(x\) em \(x=-1\) e \(x=3\) e o eixo \(y\) em \(y=3\). Qual das opções pode ser \(f(x)\)?

\(f(x)=x^2-2x-3\)
\(f(x)=x^2-3x-4\)
\(f(x)=x^2+2x-3\)
\(f(x)=x^2-2x+3\)

Ver solução

Zeros \(-1\) e \(3\) ⇒ fatoração \((x+1)(x-3)=x^2-2x-3\). Intercepto em \(y\) é \(f(0)=-3\), mas o enunciado pede \(y=3\). Multiplicando por \(-1\) inverteria todos os sinais e mudaria os zeros. Das alternativas, a única com zeros \(-1\) e \(3\) é (a); porém seu \(f(0)=-3\). Logo a descrição completa não bate — isso mostra que o intercepto determina um múltiplo escalar. Se o gráfico cruza \(y\) em \(+3\), a função poderia ser \(-x^2+2x+3\) (não listada). Entre as alternativas dadas, a que atende aos zeros é (a).

5) A transformação \(y=f(x-4)+2\) desloca o gráfico de \(f\):