Gráfico: Domínio e Imagem

Este guia mostra como extrair domínio (todos os valores de \(x\) usados) e imagem (todos os \(y\) produzidos) olhando apenas para o gráfico. Antes, vale revisar: Plano Cartesiano, Gráfico de uma Função, Domínio de uma Função, Imagem de uma Função e Contradomínio. Para treinar, use o Banco de Questões.

Gráfico destacando o domínio no eixo x e a imagem no eixo y

Definições. Para uma função \(f\):

Domínio \(D(f)\): conjunto de todas as abscissas \(x\) para as quais \(f(x)\) está definido (procure a “sombra” do traço no eixo \(x\)).
Imagem \(\mathrm{Im}(f)\): conjunto de todos os valores \(y=f(x)\) que aparecem (a “sombra” no eixo \(y\)).

Como ler no gráfico — passo a passo

Varra horizontalmente o desenho e projete no eixo \(x\): isso dá o domínio.
Varra verticalmente e projete no eixo \(y\): isso dá a imagem.
Círculo fechado = ponto incluído; círculo aberto = ponto excluído.
Se houver “buracos” ou interrupções, escreva o resultado como união de intervalos.
Setas na ponta indicam que o gráfico continua e o intervalo é infinito.

Notação de intervalos (lembrete rápido)

Notação	Leitura	Inclui extremidades?
\([a,b]\)	entre \(a\) e \(b\)	sim, sim
\((a,b)\)	entre \(a\) e \(b\)	não, não
\([a,b)\)	de \(a\) até \(b\)	sim, não
\((-\infty,b]\)	menores ou iguais a \(b\)	∞ nunca é incluído
\([a,\infty)\)	maiores ou iguais a \(a\)	∞ nunca é incluído

Exemplo guiado usando a figura

No gráfico acima, observamos:

O traço começa em \(x=-4\) com ponto fechado e termina em \(x=7\) com ponto aberto ⇒ domínio \(\;D(f)=[-4,\,7)\).
O menor valor de \(y\) é \(-3\) (ponto fechado) e o maior é \(6\) (atingido) ⇒ imagem \(\;\mathrm{Im}(f)=[-3,\,6]\).

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Armadilhas comuns

Buracos (círculo aberto): o valor não pertence ao conjunto correspondente.
Domínio ≠ contradomínio: o contradomínio é o conjunto-alvo declarado; a imagem é o que de fato aparece no gráfico.
Função “por partes”: pode gerar união de intervalos no domínio e “saltos” na imagem.
Escalas diferentes: confira as marcações dos eixos antes de ler valores.

➡️ Praticar domínio e imagem no Banco de Questões

Exercícios (múltipla escolha) com solução

1) Pelo gráfico desta página, assinale o par correto \((D(f),\mathrm{Im}(f))\):

\(([-4,7),\,[-3,6])\)
\(((-4,7],\,(-3,6))\)
\(([-4,7],\,[-3,6))\)
\(((-4,7),\,[-3,6])\)

Ver solução

Domínio começa fechado em \(-4\) e termina aberto em \(7\): \([-4,7)\). Imagem vai de \(-3\) a \(6\), ambos incluídos: \([-3,6]\). Alternativa (a).

2) Para \(g(x)= (x-5)^2-3\) com domínio \(\mathbb{R}\), a imagem é:

\((-\infty,-3]\)
\([-3,\infty)\)
\((-\infty,\infty)\)
\([-5,3]\)

Ver solução

Parábola voltada para cima, mínimo no vértice \(y=-3\). Logo \([-3,\infty)\). Alternativa (b).

3) Para \(h(x)=|x-2|\) restrita a \(x\ge0\), temos:

\(D(h)=[0,\infty)\) e \(\mathrm{Im}(h)=[0,\infty)\)
\(D(h)=(-\infty,\infty)\) e \(\mathrm{Im}(h)=[0,\infty)\)
\(D(h)=[0,\infty)\) e \(\mathrm{Im}(h)=(-\infty,\infty)\)
\(D(h)=(0,\infty)\) e \(\mathrm{Im}(h)=(0,\infty)\)

Ver solução

Restrição dá \([0,\infty)\) no domínio; valores do módulo são \(\ge0\): imagem \([0,\infty)\). Alternativa (a).

4) A função \(p(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) tem:

\(D=\mathbb{R}\) e \(\mathrm{Im}=\mathbb{R}\)
\(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) e \(\mathrm{Im}=\mathbb{R}\)
\(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) e \(\mathrm{Im}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
\(D=\mathbb{R}\) e \(\mathrm{Im}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\)

Ver solução

Simplifica para \(p(x)=x+1\) com buraco em \(x=1\). Logo \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) e o valor \(y=2\) não é atingido: \(\mathrm{Im}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Alternativa (c).

5) Considere \(q(x)=2x+3\) com \(x\in[-1,3]\). O par \((D(q),\mathrm{Im}(q))\) é: