Inclinação da Reta (Coeficiente Angular)

Inclinação da Reta (Coeficiente Angular) — Fórmulas, Exemplos e Exercícios

Neste guia você aprende, de forma direta e visual, como calcular a inclinação da reta — também chamada de coeficiente angular e representada por \(m\). Vamos relacionar \(m\) com o ângulo que a reta faz com o eixo \(X\), ver como obter \(m\) a partir de dois pontos ou da equação da reta, e praticar com exercícios comentados.

Inclinação da reta com ângulo θ e β. m = tan θ. matematicaoje.blog

O que é a Inclinação (coeficiente angular)

Considere uma reta \( \ell \) no plano cartesiano. A inclinação mede o quanto a reta “sobe” (variação em \(y\)) para cada unidade que ela “anda” para a direita (variação em \(x\)).

\( m \;=\; \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \)

Quando a reta faz um ângulo \( \theta \) com o eixo \(X\) (medido a partir do eixo \(X\) positivo, no sentido anti-horário), vale a relação trigonométrica:

\( m \;=\; \tan\theta \) (para retas não verticais)

Fórmulas essenciais

1) A partir de dois pontos \(A(x_1,y_1)\) e \(B(x_2,y_2)\):

\( m \;=\; \dfrac{y_2 – y_1}{\,x_2 – x_1\,} \quad (x_2 \ne x_1)\)

2) A partir da equação explícita \(y = mx + b\):

o coeficiente de \(x\) é a inclinação → \(m\)

3) A partir da forma geral \(ax + by + c = 0\) (com \(b \ne 0\)):

\( m \;=\; -\dfrac{a}{b} \)

4) Paralelismo e perpendicularidade (retas não verticais):

Paralelas: \( m_1 = m_2 \) | Perpendiculares: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Dois pontos. Encontre a inclinação da reta que passa por \(A(1,2)\) e \(B(5,10)\).

Solução:

\( m = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \)
\( m = \dfrac{10 – 2}{5 – 1} \)
\( m = \dfrac{8}{4} \)
\( m = 2 \)

Resposta: \(m = 2\).

Exemplo 2 — Forma geral. Determine \(m\) da reta \(3x – 2y + 6 = 0\).

Solução:

\( m = -\dfrac{a}{b} \) com \(a=3\) e \(b=-2\)
\( m = -\dfrac{3}{-2} \)
\( m = \dfrac{3}{2} \)

Resposta: \(m = \dfrac{3}{2}\).

Exemplo 3 — Ângulo de inclinação. Uma reta tem \(m = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Calcule o ângulo \( \theta \) com o eixo \(X\) (em graus).

Solução:

\( m = \tan\theta \)
\( -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan\theta \)
\( \theta = -30^\circ \) (ou \(150^\circ\), direções coterminais)

Resposta: Ângulo de inclinação pode ser tomado como \(150^\circ\) no intervalo \((0^\circ,180^\circ)\).

Lista de exercícios (com soluções)

1. Calcule a inclinação da reta que passa por \(A(-2,3)\) e \(B(4,-1)\).

\( m = \dfrac{-1 – 3}{4 – (-2)} \)
\( m = \dfrac{-4}{6} \)
\( m = -\dfrac{2}{3} \)

2. Determine \(m\) da reta \(2x + 5y – 20 = 0\).

\( m = -\dfrac{a}{b} = -\dfrac{2}{5} \)

3. A reta \(r\) é paralela a \(y = -3x + 1\). Qual é a inclinação de \(r\)?

Retas paralelas têm a mesma inclinação.
\( m_r = -3 \)

4. A reta \(s\) é perpendicular a \(y = \dfrac{1}{2}x – 4\). Encontre \(m_s\).

Perpendiculares: \(m_s \cdot \dfrac{1}{2} = -1\).
\( m_s = -2 \)

5. (Múltipla escolha) A inclinação da reta que passa por \(P(3, -2)\) e \(Q(9, 1)\) é:

A) \( \dfrac{1}{3} \)
B) \( \dfrac{1}{2} \)
C) \( \dfrac{2}{3} \)
D) \( \dfrac{3}{2} \)

\( m = \dfrac{1 – (-2)}{9 – 3} \)
\( m = \dfrac{3}{6} \)
\( m = \dfrac{1}{2} \) → ✅ Alternativa B

6. (Estilo ENEM) Uma rampa deve obedecer \(m = 0{,}08\). Para cada 5 metros na horizontal, a variação vertical será de:

\( m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \Rightarrow \Delta y = m \cdot \Delta x \)
\( \Delta y = 0{,}08 \cdot 5 \)
\( \Delta y = 0{,}40 \) metro

7. Encontre o ângulo de inclinação de \(y = \sqrt{3}\,x\) (em graus).

\( m = \sqrt{3} = \tan\theta \)
\( \theta = 60^\circ \)

8. (Desafio) A reta que passa por \(A(1,1)\) e \(B(k,5)\) tem inclinação \(m=2\). Encontre \(k\).

\( m = \dfrac{5 – 1}{k – 1} = 2 \)
\( \dfrac{4}{k – 1} = 2 \)
\( 4 = 2(k – 1) \)
\( 4 = 2k – 2 \)
\( 6 = 2k \)
\( k = 3 \)

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.